Particella quantistica in una buca infinita di potenziale

Lezione 9 - Problemi unidimensionali con

l’equazione di Schr¨

odinger

Unit`

a 9.1 Particella quantistica in una buca infinita

di potenziale

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

L’equazione di Schr¨

odinger stazionaria (I)

Come abbiamo gi`a visto varie volte, data la formula classica dell’energia E di una particella non relativistica di massa m e quantit`a di moto p soggetta ad un potenziale esterno U(r), cio`e

E = p 2

2m + U(r) , (1)

utilizzando le regole di quantizzazione E ←→ _{i ~} ∂

∂t , (2)

p ←→ −i ~∇ . (3)

si ottiene la seguente l’equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo i ~_∂t∂ ψ(r, t) = ˆH ψ(r, t) , (4) dove ψ(r, t) `e la funzione d’onda associata alla particella e

ˆ H = −~

2 2m∇

2_{+ U(r) (5)}

L’equazione di Schr¨

odinger stazionaria (II)

i ~∂ ∂tψ(r, t) =  −~ 2 2m∇ 2_{+ U(r)}  ψ(r, t) , (6) ponendo ψ(r, t) = φ(r) e−iEt/~ (7) si ottiene subito E φ(r) =  −~ 2 2m∇ 2_{+ U(r)}  φ(r) , (8)

che `e nota come equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo o stazionaria. Ovviamente questa equazione si puo riscrivere formalmente come

ˆ

Hφ(r) = E φ(r) , (9)

cio`e come una equazione agli autovalori. In generale vi sono tanti valori reali di E , detti autovalori (o livelli energetici) che soddisfano questa equazione e delle corrispondenti funzioni φ(r), dette autofunzioni.

L’equazione di Schr¨

odinger stazionaria (III)

Ricordiamo che per ottenere l’equazione di Schr¨odinger stazionaria abbiamo fatto l’ipotesi che

ψ(r, t) = φ(r) e−iEt/~ (10)

dalla quale segue subito che

|ψ(r, t)|2_{= |φ(r)|}2 ₍₁₁₎

a patto che E sia un numero reale.

Dunque, le funzioni d’onda che soddisfano l’Eq. (10) sono una classe molto particolare delle soluzioni della equazione di Schr¨odinger

dipendente dal tempo: sono quelle per le quali la densit`a di probabilit`a non dipende dal tempo. Sono per questo dette funzioni d’onda stazionarie.

Nella parte rimanente di questo corso ci occuparemo principalmente delle funzioni d’onda stazionarie e le corrispondenti autofunzioni ed autovalori.

Particella 1D in una buca infinita di potenziale (I)

L’equazione di Schr¨odinger stazionaria per una particella che si muove solo lungo l’asse delle x e data da

ˆ H φ(x ) = E φ(x ) , (12) dove ˆ H = −~ 2 2m d2 dx2 + U(x ) (13)

e l’operatore hamiltoniano di questo problema unidimensionale (1D). Assumiamo che il potenziale esterno U(x ) sia una buca infinita, cio`e

U(x ) = 

0 se 0 ≤ x ≤ L

+∞ altrove (14)

Quindi la particella `e libera di muoversi nella regione delle x tra 0 ed L, mentre non si pu`o spostare nelle regioni esterne a questo intervallo [0, L] dato che li la barriera di potenziale diventa infinitamente repulsiva.

Particella 1D in una buca infinita di potenziale (II)

Sostanzialmente il problema in esame si riduce a quello descritto dalla equazione di Schrodinger stazionaria

−~ 2 2m

d2

dx2φ(x ) = E φ(x ) (15)

con le condizioni iniziali al contorno: φ(0) = 0 e φ(L) = 0. L’equazione si puo riscrivere come segue

φ00(x ) + k2φ(x ) = 0 , (16) dove la costante k risulta data da

k = r

2mE

~2 . (17)

Si tratta di una equazione differenziale del second’ordine a coefficienti constanti.

Particella 1D in una buca infinita di potenziale (III)

Come abbiamo visto nelle precedenti lezioni, la soluzione generale `e quindi φ(x ) = A eλ1x_{+ B e}λ2x _{, (18)}

dove λ1e λ2sono le soluzioni dell’equzione algebrica

λ2+ k2= 0 , (19)

ovverosia

λ1= i k λ2= −i k . (20)

La soluzione diventa allora

φ(x ) = A eikx+ B e−ikx, (21) dove le costanti arbitrarie A e B vengono determinate tramite le

Particella 1D in una buca infinita di potenziale (IV)

0 = φ(0) = A + B , (22)

da cui A = −B. Ma anche

0 = φ(L) = A eikL+ B e−ikL= A eikL− A e−ikL = 2 i A sin (kL) . (23) Ne segue che

k L = π n (24)

dove n `e un numero intero diverso da zero. Ovverosia k = π

Ln . (25)

Ricordando la definizione della costante k, che `e proprio il numero d’onda, otteniamo

En= ~ 2_π2 2mL2n

2_{, (26)}

Livelli energetici e autofunzioni nella buca infinita (I)

φn(x ) = A sin (π Lnx ) (27) ed i corrispondenti autovalori En=~ 2_k2 n 2m = ~2π2 2mL2n 2_{. (28)}

Rimane da determinare la costante arbitraria A. Imponendo la normalizzazione

Z L 0

|φn(x )|2_{dx = 1 (29)}

dopo alcuni calcoli si trova

A = r

2

L . (30)

Quindi, lo stato di minima energia del sistema (stato fondamentale) ha funzione d’onda ed energia

φ1(x ) = r 2 Lsin ( π Lx ) con E1= ~2π2 2mL2 . (31)