Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale

Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale

( ) 0

V x  se ^x0 oppure ^{x L}

( ) 0

V x V se 0 x L 

consideriamo il caso in cui l’energia totale della particella sia inferiore al potenziale V₀ ossia E < V₀

non sono inizialmente presenti onde regressive oltre la barriera quindi non c’e’

termine del tipo G’e^-ikx

vi sono quindi cinque coefficienti da determinare con le quattro condizioni di continuita’ della funzione e della sua

le condizioni di continuita’ della funzione d’onda e della sua derivata prima in x = 0 forniscono

risolvendo per A

sfruttando le altre due condizioni di continuita’

e e

0

0 ( )

2 /

( ) 0 ( ) con

2 ( ) / ( ) ( )

ikx ikx

x x

ikx

Ae Be x I

k mE

x Ce De x L II

m V E

Fe x L III

 

 

 

 



  

 

   

  

 





 

A B C D   (0) (0)

I II

  _I^'(0)_II^' (0) ikA ikB CD

1 1

(1 ) (1 )

2 2

A C D

ik ik

 

   

ikB C D ikA

   

kB i C i D kA    

ossia ^{B i C i D A}

k k

 

  

A i C i D A C D

k k

 

     2A C i C D i D

k k

 

   

1 1

(1 ) (1 )

2 2

A i C i D

k k

 

   

L L ikL

Ce^ De^  Fe

( ) ( )

II L III L

  _II^' ( )L _III^' ( )L si ottiene

ossia ^{C e L D e L FikeikL}

A B C D   si ottiene

derivata prima nei punti x = 0 ed x = L piu’ la condizione di normalizzazione

in definitiva

e da

esprimendo A in funzione di F

ossia ^{1( )}

2

x x

coshx  e e^

1( )

2

x x

sinhx e e^

dove e

2 2 1

cosh x senh x 

e sfruttando la relazione

il rapporto e’ detto coefficiente di trasmissione T

dal punto di vista classico nessuna trasmissione e’ possibile oltre la barriera di potenziale in quanto essendo E < V₀

dal punto di vista quantistico viceversa la particella possiede proprieta’ ondulatorie quindi una parte dell’onda di probabilita’ viene sempre trasmessa oltre la barriera di potenziale

risolvendo per C e D si ottiene

1 1

(1 )(1 ) (1 )(1 )

4 4

L ikL L ikL

ik ik

A e e e e F

ik ik

 

 

 

  

      

1 1

2 ( ) ( ) ( )

2 4

ikL k

A Fe cosh L i senh L

k

  



 

    

2

2

F A

2 2

T F

 A

2 2

1

1 1( ) ( )

4

k senh L k

 





 

1 (1 )

2

L ik ikL

C e ^ F e



   1

(1 ) 2

L ik ikL

D e F^ e

 

e

l’energia cinetica risulterebbe negativa all’interno della barriera

l’effetto e’ tanto piu’ marcato quanto e’ piccola la massa della particella e quanto piu’

la sua energia totale E e’ grande e si approssima a V₀ riesce

2 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( )

4

A F cosh L k senh L

k

  



 

     cosh x²  1 senh x²

2 2 2 1 2 2

1 ( ) ( ) ( )

4

A F senh L k senh L

k

  



 

     

2 2

2 2 2 2

2 2

1 ( ) 1( 2 ) ( )

4

k k

A F senh L senh L

k k

 

 

 

 

      

 

2 2

2 2 2 2

2 2

1 ( ) 1( 2) ( )

4

A F senh L k senh L

k

  



 

      

 

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

1 4 ( ) ( 2) ( )

4 4

A F senh L k senh L

k

  



 

      

 

2 2

2 2 2

2 2

1 1( 2) ( )

4

A F k senh L

k

 



 

     

 

2 2 1 2 2

1 ( ) ( )

4

A F k senh L

k

 



 

    

0

E

 V

2

1

1 1

1 ( )

4 (1 ) T

senh L

 



 

0 0

2 0

0 0

4 1

2 4 1

( )

( )

( )

E E

V V

T m V E E E

sinh L

V V



   

 

 

 

  

2

0 0

1

1 1

1 ( )

4 (1 )

T

senh L

E E

V V









0 0

2

0 0

0 0

4 (1 )

1 1

4 (1 ) 1 ( )

4 (1 )

E E

V V

E E

senh L

E E

V V

V V





  

 

 

   

  

 

 

0 0

2

0 0

4 (1 )

4 (1 ) ( )

E E

V V

E E

senh L

V V 





 

0 0

2 0

0 0

4 (1 )

2 ( )

4 (1 )

E E

V V

m U E E E

senh L

V V



   

 

 

 

  

se si introduce il parametro adimensionale il coefficiente di trasmissione si puo’ scrivere come

in conclusione

Barriere di potenziale, effetto tunnel e il decadimento alfa

Un elettrone incontra una barriera di larghezza L = 15 nm e di altezza U₀ = 0.1 eV .

) 1

( ) 4

( sinh 2

) 1

( 4

0 0

2 0

0 0

U E U

L E E U m

U E U

E T













 





 2 ( ) 4 (1 )

sinh

) (

sinh 2

0 0

2 0

2 0

U E U

L E E U m

E L U m R













 











 







entro la barriera la funzione d’onda e’ proporzionale ad e^-x, scritto anche come e^-x/

dove  e’ la lunghezza di penetrazione

se la larghezza della barriera L e’ molto maggiore della lunghezza di penetrazione  si parla di barriere

“larghe” . In questi casi la probabilita’ di effetto tunnel sara’ molto piccola



) (

2m U₀  E



e :

in altri termini si parla di barriere larghe

quando : ¹

) (

2 ₀

 



 m U E L

L L

 



in presenza di barriere larghe vale l’approssimazione :

16 ( 1 )

) (

2 2

0 0

0











 





E U m

U e E U

T E

per una barriera di potenziale di altezza U₀ e larghezza L si ha :

Determinare quale sia la probabilita’ di trasmissione se la sua energia e’ di 0.04 eV.

E se fosse di 0.06 eV ?

E L U m E L

U

m e

U E U

E e

U E U

E

T ^



) ( 2 2

0 0

) ( 2 2

0 0

0

0 16 (1 )

4

) 1

( 4

 

  





) 1

( 2 4

1 4

) 1

( 4

) 1

( ) 4

( sinh 2

) 1

( 4

0 0

) ( 2 2 )

( 2 2

0 0

0 0

0 2

0 0

0 0

U E U

E e

e

U E U

E

U E U

L E E U m

U E U

E T

E L U L m

E U m





 

















 



 _

 







in presenza di barriere larghe : 2 ( ₀ ) 1

 



 m U E L

L L

 



E L U m

e

) (

2 2 ⁰

 m U E L

e

) (

2 2 ⁰

 percio’ il

termine

quindi si ha che

e le costanti potranno essere trascurate rispetto a 2

) 1 2 cosh(

2

sinh² x  1 x 

) 2 cosh(

x

x e

x e

 

 2

1 4

sinh

2 2

2  e ^x e^{ x} 

x

infatti : e dato che

quindi il coefficiente di trasmissione potra’ essere riscritto come:

e

T 

da notare la dipendenza esponenziale del coefficiente di tramissione :

1 8 . 18 10 10 15

055 . 1

10 6 . 1 ) 04 . 0 10 . 0 ( 10 11 . 9 ) 2

(

2 ₉

34

19 31

0   











 

 m U E L ^ _ ^{ }

L

 

per un elettrone di energia E = 0.04 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm :

1 4 . 15 10 10 15

055 . 1

10 6 . 1 ) 06 . 0 10 . 0 ( 10 11 . 9 ) 2

(

2 ₉

34

19 31

0   











 

 m U E L ^ _ ^{ }

L

 

per un elettrone di energia E = 0.06 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm :

in conclusione la barriera e’ comunque di molto piu’ ampia della profondita’ di penetrazione dell’ elettrone dunque si potra’ in entrambi i casi usare

l’approssimazione per barriere larghe .

16 8

. 18 2 )

( 2 2

0 0

04 .

0

) 1 . 8 10

10 . 0

04 . 1 0 10 ( . 0

04 . 16 0 )

1 ( 16

0

















 



   



 e e

U E U

T E

E U m



13 4

. 15 2 )

( 2 2

0 0

06 .

0

) 1 . 8 10

10 . 0

06 . 1 0 10 ( . 0

06 . 16 0 )

1 ( 16

0

















 



   



 e e

U E U

T E

E U m



da notare come, a causa della dipendenza esponenziale, la probabilita’ di tunnelling dipenda in modo cruciale dall’energia della particella. Nell’esempio la probabilita’

varia di molti ordini di grandezza, mentre l’energia della particella e’ variata del 50%

verifichiamo che sussistano nel problema dato le condizioni di barriera larga:

per una successione di barriere tutte uguali poste una dopo l’altra si puo’ ottenere (trascurando la riflessione da ogni barriera) l’ espressione approssimata :

 ^ 



i i

L

i

e

T

T



 e

T

se la barriera e’ generica, U sara’ una funzione di x e potremo pensare di dividere la barriera in tante barriere successive di profondita’ x tutte uguali poste una dopo l’altra

Sempre trascurando la riflessione da ogni barriera si ha :

 

 

i

x

x

e

e

T

1

2

2 ^x ( )

x x dx

T ^ e

^

2

ln T _{  }

 ( ) x dx

ovvero :

al limite si puo’ pensare di rendere x infinitesimo, facendo attenzione che le condizioni per avere una barriera larga rimangano valide

se per una barriera larga si ha che

T  e

^



) (

2m U₀  E



Uranio 238 : 92 protoni e 146 neutroni

Decadimento alfa

Torio 234 : 90 protoni e 144 neutroni + He 2

-U

U(r)

r

r

r

E 0

R

~ 10

m E ~ 5 MeV

finche’ si trova all’interno del nucleo una qualsiasi particella alfa costituente risente di forze attrattive che si possono pensare derivate da un potenziale costante

l’andamento del potenziale puo’ quindi essere schematizzato come :

di conseguenza una particella alfa si trova in un punto di massimo potenziale quando e’ a distanza pari al raggio nucleare r₀ .

Un nucleo atomico pesante puo’ essere pensato come composto di molte particelle alfa legate da forze attrattive nucleari, dunque effettive solo quando le particelle sono a breve distanza una dall’altra.

a distanze maggiori di r₀ e’ presente il potenziale dovuto alla repulsione coulombiana tra nucleo e particella alfa.

Mentre le particelle alfa vengono emesse con energie sempre inferiori a 10 MeV !

Per superare questa barriera coulombiana una particella alfa intrappolata all’interno del nucleo dovrebbe possedere una energia di almeno 35 MeV e quindi se la si trova a

grande distanza dal nucleo con energia E ci si aspetterebbe classicamente che abbia energia > 35 MeV

Una stima per l’atomo di torio 234 porta ad un valore di circa 35 MeV il valore del massimo del potenziale.

la cui estensione oltre il diametro nucleare , pari a qualche unita’ in termini di fermi, si esaurisce molto in fretta oltre il raggio

nucleare r₀.

per 4

2 Z

per )

(

0 0

2 '

0 0

r r r

e

r r U

r U













dove Z’ e’ la carica del nucleo dopo la disintegrazione

I limiti di integrazione vanno da r₀ al valore r₁ distanza alla quale il potenziale uguagliera’

l’energia E della particella alfa emessa nella disintegrazione

4 2 Z

1 0

2 '

r E e

 

E cost 4

2 Z

0 2 '

1

 

E r e













 



 ¹

0 1

0 1

0

) 1 (

2 2 4 )

2 (Z 2 ) 2

( 2 2

ln ₂⁰ ₂ ¹

2 '

2

0 r

r r

r r

r

r dr r dr mE

r E m e

E dr U

T m













 ¹

0

2 / 1 1

1/2

2 ) ( 1)

(2 2 ln

r r

r dr r T mE



/2 - 1 2

/ 1 0

1/2 2 0 1/2 1/2 0

' 2 )

( -

r Z' ) 4 (

ln e mE e m Z E

T ^ _





se l’energia e’ espressa in MeV ed r₀ in unita’ di 10^-15 si ha :

/2 - 1 1/2

0

1/2 r -3.95 '

Z' 2.97

lnT   Z E

numero di decadimenti numero di urti contro la barriera

( )(Probabilita' di trasmissione) unita'di tempo unita'di tempo

T nucleo) il

re attraversa per

tempo ( 1 tempo

di unita'

i decadiment di

numero





T ) velocita'

nucleo del

diametro ( 1

tempo di

unita'

i decadiment di

numero





dove la velocita’ della particella e’ assunta essere (2E/m)^1/2

questa epressione vale per una singola particella alfa, ma andrebbe ricalcolata applicando un fattore moltiplicativo

la frequenza di decadimento , il cosiddetto “rate” si puo’ stimare dalla relazione :

vi possono quindi essere molte particelle alfa che simultaneamente tentano di superare la barriera.

per ottenere la vita media basta ricordare che il rate e’ inversamente proporzionale alla vita media

valutato pensando che un nucleo puo’ essere immaginato come fatto di tante particelle alfa strettamente legate

Nucleo  emettitore

Energia della

particella 

Vita media  del decadimento 

Po 212 8.8 4.4 10^-7 sec

Rn 220 6.3 79 sec

Ra 224 5.7 5.3 giorni

Ra 226 4.8 2300 anni

U 238 4.3 6.5 10⁹ anni