cinematica_2d_esercizi_v1

Cinematica 2d

Monaco Alfonso

Moto parabolico

n  Il moto nelle direzioni X e Y possono essere separati

n  Nella direzione X il moto è rettilineo uniforme

n  Nella direzione Y il moto è uniformemente accelerato (per effetto

della gravità)

n  Questi due moti combinati danno una traiettoria parabolica Y V_0Y A V_{0 y = V} 0Y/V0X *x – g*x2/(2*V0X2) x (t) = V_0X*t = V₀*CosA*t; y (t) = V_0Y*t – g*t2_/2 = _V 0*SinA*t – g*t2/2; g

Esercizio (traccia)

n  Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo

pari a v = 17 m/s e con un angolo di q = 58° sopra l’orizzontale.

n  Trascurando la resistenza dell’aria, determinare il

tempo impiegato a raggiungere la massima altezza.

n  Qual è la massima altezza e la sua distanza

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 17 m/s 2.  Angolo A = 58° X Y V_0Y A h V₀ L

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 17 m/s

2.  Angolo A = 58° •_{la max altezza = ?}   t per raggiungere

La massima altezza viene raggiunta quando la componente lungo Y della velocità è nulla!!! V_Y = V_0Y – g t = X Y V_0Y A h V₀*Sen(A) – g*t = 0 V₀ t = V₀*SenA /g = 17 Sen (58°)/9.8 = 1.47 s

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 17 m/s

2.  Angolo A = 58° •  h = ?, L = ?

Componente X: moto rettilineo uniforme

L = V_0X t = V₀*Cos(A)*t = 17 * Cos(58°) * 1.47 = 13.24 m X Y V_0Y A h V₀ V_0X

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 17 m/s 2.  Angolo A = 58° •  h = ?, L = ? X Y V_0Y A h V₀ V_0X

Componente Y: moto rettilineo uniformemente ritardato

h = V_0Y*t – g t2_{/2 = V}

0*SenA *t – g t2/2 =

Esercizio (traccia)

n  Una palla viene lanciata da una finestra dell’ultimo

piano di un edificio. La palla ha una velocità iniziale v₀ =

10 m/s ed una inclinazione verso il basso di 30.0°. La palla arriva al suolo dopo 3.0 sec.

Determinare:

1) La distanza L misurata dalla base dell’edificio, in un piano orizzontale, del punto di impatto con il suolo; 2) L’altezza da cui viene lanciata la palla;

3) Il tempo impiegato dalla palla per raggiungere un punto nell’aria, 10.0 m al di sotto del livello di lancio.

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 10 m/s

2.  Angolo A = - 30°

3.  Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s

•  L = ? X Y A h V₀ L

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 10 m/s 2.  Angolo A = - 30°

3.  Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s

•  L = ? X Y A h V₀ L L = V_0X*T = V₀*Cos(A) *t = 10 * Cos (-30°) * 3.0 = 25.98 m

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 10 m/s 2.  Angolo A = - 30°

3.  Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s

•  h = ? = - 10 * Sen(-30*) * 3.0 +9.8 32_{/2 =} = 59.1 m X Y A h h = - V₀ *Sen(A) *T + g *T2_{/2 =} V₀ 0 = h + V_0Y*T – g *T2_/2

Quando la palla tocca terra la sua componente Y sarà y = 0 !!!

Condizione iniziale sulla componente Y

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 10 m/s 2.  Angolo A = - 30°

3.  Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s

•  t (y = 59.1 - 10) = ? X Y A h V₀ h + V_0Y *t – g*t2_{/2 = 59.1 -10}

In questo caso dobbiamo imporre y = 59.1 – 10 = 49.1 m !!!

g*t2_{/2 - V}

0Y*t -10 = 0

Equazione di secondo grado in t

Ammette DUE soluzioni:

1.  t = 1.01 s

2.  t = -2.02 s

Esercizio (traccia)

n  Un proiettile viene sparato con velocità iniziale v₀ =

250 m/s da un’arma posta ad una altezza di 30 metri rispetto al terreno e con un angolo di inclinazione

verso l’alto di 30°. Calcolare:

a)  per quanto tempo rimane il proiettile in aria;

b)  a che distanza orizzontale il proiettile andrà a colpire il

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 250 m/s 2.  Angolo A = 30° 3.  h₀ = 30 m •  T = ? X V_0Y A V₀ L V_0X h

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 250 m/s 2.  Angolo A = 30° 3.  h₀ = 30 m •  T = ? Moto lungo Y y = y₀ + V_0Y *t – g*t2_/2 X V_0Y A V₀ V_0X

Equazione di secondo grado in T

h

h + V₀ *Sen(A) T – g *T2_{/2 = 0}

1.  T = 25.75 sec

2.  T = -0.24 sec

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 250 m/s 2.  Angolo A = 30° • L = ? X V_0Y A V₀ V_0X h

Componente X: moto rettilineo uniforme

Esercizio (traccia)

n  Un aereo di soccorso lancia un pacco viveri mentre vola

a 200 m di altezza rispetto al suolo e ad una velocità di 40.0 m/s. Determinare:

1.  dopo quanto tempo il pacco viveri raggiunge il suolo;

2.  a quale distanza il pacco raggiunge il suolo, rispetto al

punto in cui viene lasciato cadere (distanza sull’asse X).

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 40 m/s 2.  h = 200 m •  T = ?, L = ? X Y h V₀

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 40 m/s 2.  h = 200 m •  T = ?, L = ? X Y h T = (2*h/g)0.5 _{= 6.39 sec} V₀ 0 = h – g*T2_/2

Quando la palla tocca terra la sua componente Y sarà y = 0 !!!

Notate che non c’è componente Y per la velocità!!!

Condizione iniziale sulla componente Y

Esercizio (soluzione)

1.  |V₀| = 40 m/s 2.  h = 200 m •  V_fin = ? X Y h V₀ L V_fin V_finX = V₀ = 40 m/s

poiché non c’è accelerazione lungo X!! V_finY = -g*T = -62,62 m/s

poiché non c’è velocità iniziale lungo Y

|V_fin| = (V_finX 2 + V_finY 2)0.5 _{= 74.31 m/s}

Direzione V_fin = ArcTan(V_finY/V_finX)= -57.43°

In senso orario rispetto all’asse X positivo

Moto circolare

X

Y Velocità angolare media: ω = Δθ/ Δt

Δθ Notate l’analogia con il moto rettilineo; al

posto dello spostamento abbiamo la variazione dell’angolo

V_t

ω  può essere definita istante per istante se Δt tende a 0 In generale: v_t = ω × _R

Moto in 2 D (circonferenza)

X

Y

θ

La velocità tangenziale vale (costante in modulo ma non in direzione): v_t = ω*R ω = 2π/Τ = 2π*f

V_t

Moto circolare uniforme:

ω è costante in modulo direzione e verso.

R

L’accelerazione è diretta verso l’interno della traiettoria (accelerazione centripeta).

a_c

Vale l’equazione oraria: θ = θ0 + ω t

Dipende dal cambio della direzione di v_t e non dal suo modulo (che è costante)

Τ (periodo): tempo necessario a compiere un giro (s)

Esercizio (traccia)

n 

Un disco in vinile viene messo in rotazione da

un giradischi in modo da compiere 33,3 giri al

minuto.

n 

Calcolare la velocità angolare del disco.

n 

Uno dei brani musicali incisi sul disco dura 4

min e 12 sec. Calcolare quante rotazioni

compie il disco durante la riproduzione del

brano.

Esercizio (soluzione)

X Y 1.  Frequenza f = 33.3 min-1 2.  t_brano = 4 min 12 s = 252 s •  velocità angolare ω = ?,

•  Numero di rotazioni in t_brano = ?

Esercizio (soluzione)

X

Y

1.  Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz

2.  t_brano = 4 min 12 s = 252 s •_•  velocità angolare ω = ?,

 

Numero di rotazioni in t_brano = ?

Il moto è circolare uniforme (velocità

angolare costante poiché la frequenza è costante)

Esercizio (soluzione)

X

Y

1.  Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz

2.  t_brano = 4 min 12 s = 252 s •_•  velocità angolare ω = ?,

 

Numero di rotazioni in t_brano = ?

Il numero di giri dipende dalla durata del brano e dalla frequenza!!!

Esercizio (traccia)

n  Un disco ha raggio R = 20 cm e ruota con velocità

angolare costante ω = 10 rad/s.

n  Calcolare la velocità tangenziale di un oggetto fermo

sul disco a distanza 10 cm dal centro e sul bordo.

n  Calcolare l’accelerazione centripeta a 10 cm dal

Esercizio (soluzione)

1.  ω = 10 rad/sec 2.  R = 20 cm = 0.2 m 3.  r = 10 cm = 0.1 m •  v_t(r=10)=?, v_t(r=20)=? X Y v_t R v_t

Esercizio (soluzione)

X Y 1.  ω = 10 rad/s 2.  R = 20 cm = 0.2 m 3.  r = 10 cm = 0.1 m •  v_t(r=0.1)=?, v_t(r=0.2)=?

Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante)

La velocità tangenziale dipende dalla posizione sul disco v_t(r=10) = ω*r = 10 * 0.1 = 1 m/s v_t(r=20) = ω*r = 10 * 0.2 = 2 m/s v_t R v_t

Anche se la velocità angolare è la stessa, oggetti a distanza diversa dal centro hanno velocità tangenziali diverse

Esercizio (soluzione)

X

Y

•  a_c(r=0.1)=?, a_c(r=0.2)=?

Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante)

C’è solo accelerazione centripeta (poiché la velocità varia in DIREZIONE ma non in

MODULO)

a_c(r=0.1) = ω2_{*r = 10}2 _{* 0.1 = 10 m/s}2

a_c(r=0.2) = ω2_{*r = 10}2 _{* 0.2 = 20 m/s}2

a_t

R

Oggetti a distanza diversa dal centro hanno accelerazioni centripete diverse.

1.  ω = 10 rad/s

2.  R = 20 cm = 0.2 m

Esercizio (traccia)

n  Un’auto procede in direzione Nord-Est con velocità

costante v = 75 km/h. all’istante t₀ una seconda auto si

trova a 20 km dalla prima in direzione Est. La seconda auto si muove, partendo da ferma, con accelerazione cotante. Sapendo che le due auto si incontrano dopo 20 min, determinare:

1.  Il punto P dove le due auto si incontrano;

2.  Il modulo e la direzione di a;

Esercizio (soluzione)

v = 75 km/h = 21 m/s L = 20 km = 2*104 _m t = 20 min = 1200 s L x y v a

Esercizio (soluzione)

v = 75 km/h = 21 m/s L = 20 km = 2*104 _m t = 20 min = 1200 s L x y v a v_x = v*cos(45°) = 16 m/s v_y = v*sen(45°) = 16 m/s P(x,y) = ?

La prima auto si muove di moto rettilineo uniforme

X_p = v_x*t = 16 * 1200 = 19200 m Y_p= v_y*t = 16*1200 = 19200 m

Esercizio (soluzione)

v = 75 km/h = 21 m/s L = 20 km = 2*104 _m t = 20 min = 1200 s L x y v a v_x = v*cos(45°) = 16 m/s v_x = v*cos(45°) = 16 m/s a = ?

La seconda auto si muove di moto rettilineo unif. accelerato

x₂ = L -1/2*a_x*t2 y₂ = 1/2*a_y*t2 Imponiamo x_p=x_{2 ,} y_p=y_{2 ,} a_x = 2*(L- xp)/t2 _{= 0.001 m/s}2 a_y = 2*(xp)/t2 _{= 0.027 m/s}2 |a| = (a_x2 _{+ a} y2)1/2 = 0.027 m/s2

Esercizio (soluzione)

v = 75 km/h = 21 m/s L = 20 km = 2*104 _m t = 20 min = 1200 s L x y v a v_x = v*cos(45°) = 16 m/s v_x = v*cos(45°) = 16 m/s s₂ = ? x₂ = 800 m y₂= 19200m s₂= (x₂2 _{+ y} 22)1/2 = 19217 m

Esercizio (traccia)

n  Una palla all’estremità di una fune ruota con moto

uniforme lungo una circonferenza orizzontale di raggio R = 0.250 m. Il piano della circonferenza è ad una altezza di 2.00 m dal suolo. La fune si rompe e la palla atterra a 4.00 m (misurati sull’orizzontale) dal punto in cui la fune si muove.

n  Calcolare l’accelerazione centripeta della palla durante

Esercizio (soluzione)

1.  r = 0.25 m, h = 2 m 2.  L = 4 m •  accelerazione centripeta = ? h r dopo il distacco della pallina X Y h V₀ L V₀ Per l’accelerazione centripeta ci serve la velocità V₀ Usiamo il moto parabolico!!!!

Esercizio (soluzione)

1.  r = 0.25 m, h = 2 m 2.  L = 4 m •  accelerazione centripeta = ? h r dopo il distacco della pallina X Y h V₀ L V₀ Componente X: L = V₀ T Componente Y: h - gT2_{/2 = 0}

Chiamiamo T l’istante in cui la palla tocca terra

Esercizio (soluzione)

1.  r = 0.250 m, h = 2 m 2.  L = 4 m •  accelerazione centripeta = ? h r dopo il distacco della pallina X Y h V₀ L V₀ Combinandole otteniamo V₀ = (g L2 _{/ 2h)}0.5 _{= 6.26 m/s} Accelerazione centripeta a_c = V₀2_{/r = 156.75 m/s}2