Esercizi sui prodotti notevoli (2017/2018)

Liceo “F. Buonarroti” Pisa - Prof. Francesco Daddi

Esercizi di Matematica

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_{C Liceo delle Scienze Applicate}

_22/12/2017

Esercizio 1. Sviluppa (3 x + 1 − y2_{)(3 x + 1 + y}2_{). [R. (3 x + 1)}2_{− y}2
2

= 9 x2+ 6 x + 1 − y4.]

Esercizio 2. Sviluppa (2 xy2_{− 1)}7 _{utilizzando il triangolo di Tartaglia. Quanto vale l’espressione per x = 1 e} y = −1? [R. 128 x7_y14_{− 448 x}6_y12_{+ 672 x}5_y10_{− 560 x}4_y8_{+ 280 x}3_y6_{− 84 x}2_y4_{+ 14 xy}2_{− 1.]}

Esercizio 3. Sviluppa (x − 1)(y + 2)(xy − 1) + (x − 2 y)(3 x2_{+ y).} [R. x2_y2_{− 2 xy − 4 x}2_{y − 2 x − xy}2_{+ y + 2 + 3 x}3_{− 2 y}2_.]

Esercizio 4. Calcola 59 · 61 utilizzando i prodotti notevoli; (suggerimento: scrivi il prodotto come (60 − 1) · (60 + 1)e sfrutta la formula (A − B) · (A + B) = A2_{− B}2_).

Esercizio 5. Si trovi la formula generale per il cubo di un trinomio; (suggerimento:

(A + B + C)3= [(A + B) + C]3= (A + B)3+ 3(A + B)2C + 3(A + B)C2+ C3= ... = = A3+ 3 A2B + 3 A2C + 3 AB2+ 6 ABC + 3 AC2+ B3+ 3 B2C + 3 BC2+ C3 si provi la formula per A = B = C = 1).

Esercizio 6. Sviluppa (2x − y2₎5_{. Calcola inoltre il valore dell’espressione per x = 1 e y = 0.} [R. 32 x5_{− 80 x}4_y2_{+ 80 x}3_y4_{− 40 x}2_y6_{+ 10 xy}8_{− y}10_]

Esercizio 7. Calcola (x + 2y − x + y)2(Suggerimento: guardare attentamente la parentesi..).

Esercizio 8. Svolgi l’espressione: x2_{− 2 y}3
2

· (3x − y) .[R. 3 x5_{− x}4_{y − 12 x}3_y3_{+ 4 x}2_y4_{+ 12 xy}6_{− 4 y}7_]

Esercizio 9. Semplifica la seguente espressione:

(−3 a3bc2)(−2 bc2) +  −5 4ab   −2 5abc  (−8 ac3) [R. 2 a3b2c4] .

Esercizio 10. Semplifica la seguente espressione: " −x3y5−  −5 4xy 2 2 −32 25xy #3 [R. x9y15] .

Esercizio 11. Semplifica la seguente espressione:

(−2 xy)2 : (xy2) − (−2 x2) : (−4x) + (" 4 x  −1 2x 2_y3 2# : xy2
3 ) : (2 x) [R. 4 x] .

Esercizio 12. Sviluppa le seguenti espressioni:  1 2 − 3 x 2 ;  3 x −1 2 2

.Cosa osservi? Se l’esponente è 3, cosa accade? Sai trovare una regola generale?

Esercizio 13. Sviluppa la seguente espressione: (x2_{− 2y + 1)}3 _.

[R. x6_{− 6 x}4_{y + 3 x}4_{+ 12 x}2_y2_{− 12 x}2_{y + 3 x}2_{− 8 y}3_{+ 12 y}2_{− 6 y + 1]}

Esercizio 14. Semplifica la seguente espressione: x −  −1 2 3 −  −3 4x + 0, 5 2 .[R. − 9 16x 2₊11 6 x − 119 648]

Esercizio 15. Scrivi il grafo di calcolo dell’espressione [(5 + 7) · 2 + 6] · (−3).

Esercizio 16. Se in un rettangolo si diminuisce la lunghezza di un lato del 20% e si aumenta la lunghezza dell’altro lato del 20% l’area resta invariata? Motivare la risposta.

Esercizio 17. Sviluppa (x − 3 y2₎4_{con il triangolo di Tartaglia. [R. x}4_{− 12 x}3_y2_{+ 54 x}2_y4_{− 108 xy}6_{+ 81 y}8_]

Esercizio 18. Sviluppa (2 x + y3_{− 5 − x}2_)(y3_{+ 5 − x}2_{+ 2 x).}

[R. (2 x + y3_{− x}2₎2_{− 5}2_{= 4 x}2_{+ 4 xy}3_{− 4 x}3_{+ y}6_{− 2 x}2_y3_{+ x}4_{− 25]}

Esercizio 19. Calcola il quoziente e il resto della divisione (2 x3_{− x + 1) : (x − 1).} [R. Q(x) = 2 x2_{+ 2 x + 1 ; R = 2; si verifichi in questo modo i risultati trovati:}

(2 x2+ 2 x + 1)(x − 1) + 2 = 2 x3− x + 1]

Esercizio 20. Come devo scegliere k in modo tale che il resto della divisione (x2_{− x + k) : (x + 2)sia uguale a 5 ?} (suggerimento: si esegua la divisione polinomiale considerando k come parametro; si trova il risultato k = −1).

Esercizio 21. Determina k in modo tale che il resto della divisione (x3_{− k x + 2) : (x − 1)abbia come resto 0.} [R. k = 3]

Esercizio 22. Si determini il valore di k per cui la divisione polinomiale (x3_{− 2 x}2_{+ k x) : (x}2_{− 1) è esatta} (resto nullo). [R. il problema non ha soluzione]

Esercizio 23. Fattorizza il polinomio x2_{+ x − 20. [R. (x + 5)(x − 4)]}

Esercizio 24. Fattorizza il polinomio 4 x2_{− 11 x − 3. [R. (4 x + 1)(x − 3) oppure 4} 

x +1 4



(x − 3)]

Esercizio 25. Dimostra che la differenza dei quadrati di due numeri naturali, che differiscono di 2, è un multiplo di 4; (suggerimento: indica con x uno dei due numeri, l’altro sarà...).

Esercizio 26. Dimostra che la differenza dei quadrati di due numeri dispari consecutivi è uguale al quadruplo del numero pari compreso tra i due dispari. Suggerimento: scelto 2 x − 1 come numero dispari minore, quello maggiore è, chiaramente, 2 x + 1. Si osservi che il numero pari compreso tra di essi è 2 x.

Esercizio 27. Dimostra che la differenza tra il quadrato di un numero dispari e il quadrato del numero pari immediatamente precedente è uguale al successivo del doppio del numero pari. Suggerimento: il numero pari sia 2 x, quindi il numero dispari è 2 x + 1.

Esercizio 28. Dimostra che la differenza dei cubi di due dispari consecutivi supera di 2 il sestuplo del quadrato del numero pari compreso tra i due dispari.