MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
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aSessione, appello unico, 02 settembre 2019
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `e il pun- teggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate e devono essere ripor- tate sulla cartella intestata a sei facciate. Si deve consegnare solo una cartella a sei facciate contenente il presente testo, anche nel caso in cui ci si ritiri, senza fogli di brutta copia. La soglia per la sufficienza `e 18/30. Tempo a disposizione: 120 minuti.
1. Si consideri l’equazione differenziale [3]
...x = ¨x + 4x .
Senza riportare i calcoli, se ne scriva la soluzione generale (si tenga presente che λ = 2 `e radice del polinomio caratteristico dell’equazione).
2. In un piano verticale , un’asta rigida AB di lunghezza L e massa M `e [7]
poggiata a terra (asse x) in A e alla parete (asse y) in B. L’appoggio in B `e privo di attrito, mentre in A si ha attrito statico di coefficiente fs. Sia α(< π/2) l’angolo di inclinazione dell’asta rispetto a terra. Sul sistema agisce la gravit`a.
(a) Determinare le reazioni vincolari in A e in B.
(b) Determinare il valore minimo dell’angolo di inclinazione affinch´e l’asta sia in equilibrio.
3. Dedurre le equazioni di Lagrange per un punto materiale vincolato a [13]
muoversi su una superficie sotto l’ipotesi di vincolo ideale. Inoltre:
(a) Dedurre la forma delle equazioni di Lagrange nel caso in cui sul punto agiscono solo forze conservative.
(b) Nel caso conservativo di cui sopra, mostrare quali sono le leggi di conservazione corrispondenti al caso di una coordinata ignorabile (o ciclica) e al caso in cui la lagrangiana non dipende esplicita- mente dal tempo.
4. Un punto materiale P di massa m `e connesso ad un punto Q da una [12]
molla ideale di costante k e si muove lungo la verticale per Q, sotto l’azione della gravit`a e in assenza di attrito. Il punto Q si muove di moto assegnato: se l’asse verticale diretto verso il basso `e l’asse x, allora xQ = A cos(Ωt).
(a) Fare un disegno del sistema e scrivere l’equazione di Newton sod- disfatta dalla ascissa xP del punto P .
(b) Trovare la soluzione generale dell’equazione di cui sopra, determi- nando xP(t), sotto l’ipotesi Ω 6= ω, essendo ω =pk/m.
(c) Discutere il caso in cui Ω `e prossima a ω e il caso limite Ω → ω.
(d) Determinare la reazione vincolare sul punto Q assumendo che quest’ultimo abbia massa M .
