CAPITOLO 7 Prova di flessione

CAPITOLO 7

Prova di flessione

7.1 Introduzione

Nel corso della caratterizzazione sperimentale della schiuma sintattica E-Foam sono state effettuate delle prove di flessione a 3 punti e a 4 punti. Le prove a flessione sono state realizzate allo scopo di ricavare i valori delle tensioni di rottura del provino e di confrontarli con gli unici dati sperimentali, riguardanti l’E-Foam, già in possesso e che sono stati forniti dalla Nuova Connavi S.r.l.

Le prove sono state elaborate in base alla norma ASTM D 790M “Standard Test Method for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics”.

In base a questa normativa vengono descritti due modalità di prova, definiti Test Method I, corrispondente alla prova di flessione a tre punti; e il Test Method II corrispondente alla prova di flessione a quattro punti.

La normativa consultata specifica l’utilizzo di questa tipologia di prove, in particolare la prova a tre punti, principalmente allo scopo di effettuare un controllo di qualità sul materiale. La prova a quattro punti, risulta invece più significativa, poiché il momento flettente massimo risulta distribuito su un volume di materiale maggiore, al contrario della prova a tre punti, dove il momento flettente massimo risulta solo nella sezione corrispondente al punto di applicazione del carico.

I provini sono stati ricavati da un unico pannello di schiuma sintattica e tagliati con una fresa circolare a lama diamantata, presentavano quindi una finitura superficiale non ottimale.

La miscelazione dei componenti costituenti la schiuma sintattica non è avvenuta sottovuoto, quindi è probabile la presenza di bolle d’aria disperse in maniera casuale all’interno del materiale.

Sono stati realizzati 30 provini, 15 provini sono stati sottoposti a flessione a 4 punti, 5 provini a flessione 3 punti, mentre 10 sono stati scartati per la presenza di evidenti difetti superficiali. La loro geometria nominale è rappresentata in figura 7.1, ed è stata definita tenendo presente la norma sopra citata , ma anche in base alle dimensioni del panello a disposizione.

Figura 7.1 – Geometria dei provini (dimensioni in mm)

Lunghezza di prova 120 mm

Altezza 15 mm

Larghezza 5,5 mm

Area sezione resistente 82.5 mm² Momento d’inerzia della sezione resistente 208 mm4

Tabella 7.1 – Dati della geometria dei provini

La macchina di prova utilizzata è una Instron con cella di carico da 100 kN.

Tutti i provini sono stati misurati e pesati al fine di valutare la densità. Il valore medio della densità misurato, è di 509 Kg/m³, in linea con il valore teorico.

7.2 Analisi teorica dello stato di tensione

La geometria del provino presenta dei rapporti di snellezza tali da garantire l’applicabilità della teoria del Saint-Venant e di modellare il provino come trave. Tuttavia nel calcolo delle tensioni risulta interessante valutare l’effetto del carico trasversale che si sviluppa per l’applicazione del carico concentrato sulla superficie del provino.

Si consideri il caso di prova di una flessione a 3 punti su una trave avente geometria identica a quella dei provini testati. La figura 7.2, riporta una schematizzazione della prova:

Figura 7.2 – Schema di prova di flessione a 3 punti, applicazione del carico concentrato L’applicazione del carico avviene tramite un coltello di acciaio, posizionato nella mezzeria del provino. In quella zona oltre il carico verticale P, nasce sempre in corrispondenza del punto di applicazione del carico concentrato, un carico avente modulo P/π e diretto lungo l’asse del provino. Questo carico “trasversale”, fa nascere lungo la sezione corrispondente al punto di applicazione del carico, delle tensione normali, che tendono teoricamente all’infinito nel punto di applicazione, e che alterano la distribuzione delle tensioni nella sezione stessa.

La figura 7.2 riporta le schematizzazione del fenomeno sopra descritto. Per semplicità si è considerato solo metà del provino. (In questo caso il carico P è da intendersi come metà del carico effettivamente applicato.)

L’effettivo stato di tensione è stato quindi calcolato per via analitica, e per via numerica, tramite una modellazione agli elementi finiti, per valutare l’esattezza della valutazione analitica.

o Valutazione analitica dello stato di tensione

Lo stato di tensione è stato calcolato per via analitica tenendo conto della seguente schematizzazione (Figura 7.2) . Anche in questo caso il carico agente è da intendersi come la metà del carico totale, poiché si è semplificato il modello sfruttando la geometria.

In base a questo schema sul provino agiscono come caratteristiche di sollecitazione, il momento flettente principale dovuto al carico nominale P, il momento flettente secondario dovuto al carico trasversale P/π , di cui si vuole valutare l’effetto e lo sforzo normale dovuto

Figura 7.2 – Schema di analisi dei carichi, le dimensioni riportate sono in mm

Individuate le caratteristiche di sollecitazione si sono calcolate le tensioni agenti sul provino. Il carico esterno agente (7.1), è stato considerato nell’unità di spessore (lo spessore del provino è di 15 mm), per poterlo confrontare con il modello piano utilizzato per l’analisi ad elementi finiti.

Ptot = 50 N ⇒ P· Spessore = Ptot/2 = 25 N ►

►

⇒ P = 25/15 = 1.66 N/mm (7.1) Carico per unità di spessore Le tensioni agenti sul provino sono dati dalle espressioni 7.2, 7.3, 7.4:

Tensioni prodotte dalla flessione principale

I valori massimi delle tensioni si ottengono in corrispondenza delle fibre più lontane dall’asse neutro e sono date dall’espressione 7.2 :

(7.2) 2 1 h J L P⋅ _⋅ = σ

Tensioni prodotte dalla flessione secondaria ►

I valori massimi delle tensioni si ottengono anche in questo caso applicando la formula di Navier :

(7.3) 2 / 2 h J h P ⋅ ⋅ = π σ

Tensioni prodotte dalla forza normale ►

₃ / (7.4) A

P π σ =

La distribuzione complessiva delle tensioni nella sezione resistente è data dalla sovrapposizione di queste tensioni..

In corrispondenza del punto di A (figura 7.3), le tensioni tenderanno teoricamente all’infinito, ed infatti nella successiva analisi ad elementi finiti si riscontreranno delle singolarità. Lo scopo di questa analisi è ricavare il valore teorico delle tensioni in B, che risulterà il punto maggiormente sollecitato, e vedere quanto discostano dal valore calcolato considerando solo la flessione primaria.

Figura 7.3 – Punti dove si riscontrano i valori massimi delle tensioni

La tensione nel punto B è data dalla somma dei vari contributi, (7.5)

MPa/mm 642 . 19 089 . 0 289 . 0 835 . 19 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 3} = + − = + + = B B B B B TOT TOT σ σ σ σ σ (7.5)

o Valutazione numerica dello stato di tensione tramite modellazione agli elementi finiti

Al fine di valutare la correttezza del risultato ottenuto per via analitica, è stata effettuata una semplice analisi piana agli elementi finiti, utilizzando il software Ansys vers, 8.0

Anche in questo per semplificare l’elaborazione dei risultati, si è considerato solo metà del provino. Per la mesh, si è utilizzato un elemento quadrato plane 42, andando ad infittire in corrispondenza della zona critica. La figura 7.4 riporta l’andamento delle tensioni normali dirette lungo l’asse del provino:

1 MN MX -28.726 -23.348 -17.97 -12.592-7.214 -1.835 3.543 8.921 14.299 19.677 JAN 18 2005 14:29:47 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX =5.127 SMN =-28.726 SMX =19.677

Figura 7.4 – Analisi F.E.M. – Distribuzione delle tensioni normali lungo x

La tabella 7.2 riporta il riassunto dell’analisi effettuata:

Saint Venant Valore Analitico Valore F.E.M.

σ(B) (Mpa/mm) 19.83 19.64 19.67

In base a questi dati si commette che considerando solo la teoria di Saint-Venant, trascurando quindi l’effetto del carico trasversale P/π, si sovrastima la tensioni massima di circa il 2%. L’errore dipende soprattutto dal valore dell’altezza h, della sezione della trave, infatti all’aumentare di h aumenta il contributo della flessione secondaria, in figura 7.8 si riporta il grafico dell’andamento dell’errore percentuale, in funzione dell’altezza del provino.

0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 err h( ) h

Figura 7.5 – Andamento dell’errore percentuale tra i valori massimi della tensione in funzione dell’altezza del provino

Nel caso preso in esame h=5.5, quindi in base alle considerazioni fatte in precedenza si può trascurare per semplicità il contributo del carico trasversale P/π.

7.3 Analisi dati prove di flessione a tre punti

Sono state effettuate cinque prove di flessione a tre punti, sui provini sopra descritti, in condizioni standard, aventi come scopo la misurazione della tensione massima.

La cella di carico utilizzata è di 100 kN, la velocità di spostamento della traversa mobile è stata impostata a 0,02 mm/ sec (prova statica). L’ immagine in figura 7.9 descrive le modalità dell’esperienza compiuta:

Figura 7.6 – Modalità di prova di flessione a 3 punti, la distanza tra i coltelli è in mm, fotografia scattata nel laboratorio di prove sui materiali del D.M.N.P.

Il provino è costituito da un materiale fragile e cedevole, infatti risulta evidente l’incurvamento del provino nel punto di applicazione del carico. La deformazione, come previsto si mantiene in campo elastico, fino alla rottura del materiale, che avviene in maniera perfettamente fragile, nella sezione di mezzeria del provino.

Nella figura successiva si riporta a titolo esemplificativo una delle curve carico – spostamento tracciate:

Figura 7.7 – Curva carico spostamento prova a flessione a tre punti

Dall’esame della curva si nota l’andamento tendenzialmente lineare, e l’evidente presenza di rumore sul segnale acquisito dovuto all’utilizzo di una cella di carico di 100 kN.

Le misurazioni rilevate sono state lo spostamento della traversa mobile, e il valore del carico misurato dalla cella. Dai valori massimi si è potuto risalire al valore della tensione massima, applicando la formula di Navier, e del modulo elastico del materiale.

Per il calcolo del modulo elastico, tenendo presente la linearità del materiale si è sfruttata la relazione tra carico e freccia massima della trave (7.6)

J E l P f ⋅ ⋅ ⋅ = 48 3 (7.6)

I risultati sono riassunti nelle tabelle 7.3 – 7.4. Sui dati ricavati è stata effettuata una analisi statistica calcolando le grandezze statistiche di base. Per valutare la distribuzione dei valori sperimentali, il campo di variabilità è stato suddiviso in intervalli uguali e calcolata la frequenza assoluta, relativa e cumulativa dei dati.

N° Provino Altezza Larghezza J P M

σ

Tabella 7.3 – Risultati prova di flessione a 3 punti Nella tabella 1.4 si sono indicati:

J: momento d’inerzia della sezione resistente, rispetto all’asse di flessione (mm4) P: carico massimo misurato dalla cella (N)

M: momento flettente massimo ( N mm)

σ

FrecciaMax: spostamento massimo della traversa mobile, prima della rottura (mm) E: modulo elastico del materiale, calcolato secondo (7.6) (MPa)

Numero prove 5

Valore Massimo (MPa) 21.82

Valore Minimo (MPa) 18.70

Ampiezza campo di variabilità (MPa) 3.12

Media (MPa) 20.82

Mediana (MPa) 20.23

Deviazione Standard (MPa) 1.12

Tabella 7.4 – Misurazione della Tensione Massima - Caratteristiche statistiche di base dei risultati

Intervallo freq. freq. freq. freq. indice LIM INF LIM SUP Assoluta Cumulativa relativa rel/norm

1 18,70 19,3246753 1 1 0,2 0,320833 2 19,32468 19,9480519 0 1 0 0 3 19,94805 20,5714286 2 3 0,4 0,641667 4 20,57143 21,1948052 1 4 0,2 0,320833 5 21,19481 21,82 1 5 0,2 0,320833

Tabella 7.5 – Misurazione della Tensione Massima - Analisi delle frequenze Frequenza Assoluta 0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 2 3 4 5 i esimo intervallo

Figura 7.8 – Misurazione della Tensione Massima - Istogramma delle frequenze assolute Frequenza Cum ulativa

0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 i esimo intervallo

Frequenza Relativa 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 1 2 3 4 5

Figura 7.10 – Misurazione della Tensione Massima - Istogramma delle frequenze relative

Numero prove 5

Valore Massimo (MPa) 1639

Valore Minimo (MPa) 1408

Ampiezza campo di variabilità (MPa) 231

Media (MPa) 1483.8

Mediana (MPa) 1447

Deviazione Standard (MPa) 93.62

Tabella 7.6 – Misurazione del Modulo Elastico - Caratteristiche statistiche di base dei risultati

Intervallo freq. freq. freq.

indice LIM INF LIM SUP Assoluta Cumulativa relativa

1 1408,00 1446,50 2 2 0,29 2 1446,50 1485,00 1 3 0,14 3 1485,00 1523,50 1 4 0,14 4 1523,50 1562,00 0 4 0,00 5 1562,00 1600,50 0 4 0,00 6 1600,50 1639,00 1 5 0,14

Frequenze Assolute 0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 2 3 4 5 6 7 i-esimo intervallo

Figura 7.11 – Misurazione del Modulo Elastico - Istogramma delle frequenze assolute

Frequenze Cumulative 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 i-esimo intervallo

Figura 7.12 – Misurazione del Modulo Elastico - Istogramma delle frequenze cumulative

Frequenze Relative 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1 2 3 4 5 6 i-esimo intervallo

Dopo aver analizzato la serie di dati rilevati, si è ritenuto opportuno confrontarli con una serie di valori misurati precedenti forniti dalla stessa casa produttrice, (dati CTS).

Avendo a disposizione i valori delle tensioni massime, si è effettuata in analogia a quanto fatto in precedenza, un’ analisi delle frequenze, andando a comparare in un unico grafico gli istogrammi delle due serie sperimentali. I valori medi delle due serie risultano molto simili, mentre diversa è la distribuzione.

Intervallo freq. freq. freq. freq. freq. freq. indice i LIM INF LIM SUP assoluta cumulativa relativa assoluta cumulativa relativa

1 10,79 12,55 0 0 0 1 1 0,125 2 12,55 14,316 0 0 0 1 1 0,125 3 14,32 16,079 0 0 0 0 0 0 4 16,08 17,842 0 0 0 2 4 0,25 5 17,84 19,605 1 1 0,2 0 4 0 6 19,61 21,368 3 4 0,6 0 4 0 7 21,37 23,131 1 5 0,2 1 5 0,125 8 23,13 24,894 0 5 0 0 5 0 9 24,89 26,657 0 5 0 1 6 0,125 10 26,66 28,42 0 5 0 2 8 0,25

Tabella 7.8 – Analisi delle frequenze delle due serie di dati sperimentali, sulla parte di sinistra sono indicati i valori delle frequenze misurate sulle prove effettuate nel laboratorio del DMNP, mentre sulla destra sono indicati i valori relativi ai dati misurati dal CTS.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dati DMNP Dati CTS

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dati DMNP Dati CTS

Figura 7.15 – Confronto degli istogrammi delle frequenze relative delle due serie

Valore Medio Tensioni di Rottura

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 D.M.N.P. C.T.S.

7.4 Analisi dati prove di flessione a quattro punti

Sempre sui provini in figura 7.1, sono state effettuate quindici prove di flessione a quattro punti, Test Method II , allo scopo di determinare la tensione di rottura. Le modalità di prova (cella di carico, velocità della traversa mobile) sono le stesse delle prove a tre punti. La figura seguente riporta una fotografia scattate durante le prove:

Figura 7.17 – Modalità di prova di flessione a 4 punti, la distanza tra i coltelli è in mm, fotografia scattata nel laboratorio di prove sui materiali del D.M.N.P.

Nella figura 7.21 si riporta a titolo esemplificativo una delle curve carico – spostamento tracciate, anche in questo caso appare chiaro l’andamento lineare elastico, ed anche la modalità di rottura dei provini continua ad essere fragile. La rottura si innesca in un punto compreso tra i due coltelli interni. I valori acquisiti dalla macchina, sono il carico misurato dalla cella di carico e lo spostamento della traversa mobile.

La tabella 7.9, riporta i valori della tensione di rottura misurata. L’analisi statistica dei dati sperimentali è stata attuata in maniera analoga a quanto fatto per la prova a tre punti, ed è stata riportata nelle tabelle 7.10, 7.11 e nei grafici ad esse relativi.

Figura 7.18 – Curva carico spostamento prova a flessione a quattro punti

Num Provino Altezza Larghezza J P M σMax

1 5,5 16 221,83 125 1875 23,244 2 5,5 16 221,83 88 1320 16,364 3 5,5 16 221,83 124 1860 23,058 4 5,5 15 207,97 105 1575 20,826 5 5,5 16 221,83 108 1620 20,083 6 5,5 15 207,97 110 1650 21,818 7 5,5 16 221,83 138 2070 25,661 8 5,5 15 207,97 116 1740 23,008 9 5,5 16 221,83 142 2130 26,405 10 5,5 15 207,97 110 1650 21,818 11 5,5 15 207,97 123 1845 24,397 12 5,5 16 221,83 115 1725 21,384 13 5,5 15 207,97 86 1290 17,058 14 5,5 16 221,83 107 1605 19,897 20 5,5 14 194,1 120 1800 25,502

Nella tabella 7.9 si sono indicati:

J: momento d’inerzia della sezione resistente, rispetto all’asse di flessione (mm4) P: carico massimo misurato dalla cella (N)

M: momento flettente massimo ( N mm)

σ

Numero prove 15

Valore Massimo (MPa) 26.40

Valore Minimo (MPa) 16.36

Ampiezza campo di variabilità (MPa) 10.04

Media (MPa) 22.03

Mediana (MPa) 21.82

Moda (MPa) 21.82

Deviazione Standard (MPa) 2.93

Tabella 7.10 – Misurazione della Tensione di Rottura - Caratteristiche statistiche di base dei risultati

Intervallo freq. freq. freq. freq.

indice i LIM INF LIM SUP assoluta cumulativa relativa relativa/norm

1 16,36 17,364 2 2 0,133 0,133 2 17,364 18,368 0 2 0 0 3 18,368 19,372 0 2 0 0 4 19,372 20,377 2 4 0,133 0,133 5 20,377 21,381 1 5 0,067 0,066 6 21,381 22,385 3 8 0,2 0,199 7 22,385 23,389 3 11 0,2 0,199 8 23,389 24,393 0 11 0 0 9 24,393 24,397 1 12 0,067 0,066 10 25,397 26,40 3 15 0,2 0,199

Frequenza Assoluta 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i esimo intervallo

Figura 7.19 – Misurazione della tensione di rottura - Istogramma delle frequenze assolute Frequenza Cumulativa 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i esimo intervallo

Figura 7.20 – Misurazione della tensione di rottura - Istogramma delle frequenze cumulative

Frequenza Relativa 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i esimo intervallo

Dall’analisi delle due prove si conclude che nelle prove di flessione a tre punti il valore medio della tensione è 20,89 MPa con una deviazione standard di 1.12 MPa, nelle prove di flessione a quattro punti la media è di 22.03 MPa con una deviazione standard di 2,93 MPa.

Nel secondo tipo di prova c’è quindi una maggior dispersione nei risultati, probabilmente spiegabile con il fatto che l’area del provino uniformemente sollecitata risulta molto più grande rispetto alla flessione a tre punti, c’è quindi maggior probabilità di sollecitare una zona dove è presente un difetto. La misurazione del modulo di elasticità è stata effettuata solo nella prova di flessione a tre punti, ottenendo un valore medio di 1484 MPa.