b) Fissato m ∈ IN con m ≥ 2, si calcoli P (X = n | Z = m) per n ∈ IN

Probabilit`a e Statistica (LT in Matematica) Prof. P. Dai Pra, prova scritta 18/03/2008.

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ESERCIZIO 1.

Siano X, Y ∼ Ge(p) indipendenti (P (X = n) = p(1 − p)ⁿ⁻¹ per n ∈ IN := {1, 2, . . .}) e sia Z := X + Y .

a) Si calcoli la densit`a discreta di Z.

b) Fissato m ∈ IN con m ≥ 2, si calcoli P (X = n | Z = m) per n ∈ IN.

Data una funzione f : IR → IR, poniamo per definizione E(f (X) | Z = m) := X

n∈IN

f (n) P (X = n | Z = m)

c) Si dimostri che se g : [0, 1] → IR `e continua, allora

m→∞lim E

 g X

m

    

Z = m + 1



= Z 1

0

g(x) dx .

Soluzione.

a) Fissato m ∈ IN con m ≥ 2 si ha P (Z = m) =

m−1

X

n=1

P (X = n, Y = m − n) =

m−1

X

n=1

P (X = n)P (Y = m − n)

=

m−1

X

n=1

p(1 − p)ⁿ⁻¹p(1 − p)^m−n−1 = p²(1 − p)^m−2

m−1

X

n=1

1 = p²(1 − p)^m−2(m − 1) . b) Dalla definizione di probabilit`a condizionata, se n ∈ IN con 1 ≤ n ≤ m − 1:

P (X = n | Z = m) = P (X = n, Z = m)

P (Z = m) = P (X = n, Y = m − n) P (Z = m)

P (X = n)P (Y = m − n) p(1 − p)ⁿ⁻¹p(1 − p)^m−n−1 1

Sia (X_n)_n≥1 una successione di variabili casuali i.i.d. con distribuzione N (0, 4).

a) Calcolare la densit`a della variabile casuale X₁². b) Calcolare approssimativamente

P (X₁²+ X₂²+ · · · + X₈₀² ≥ 360).

Soluzione.

a) Si ha che F_X²

1(x) = 0 per x ≤ 0, mentre per x > 0 F_X²

1(x) = P (X₁² ≤ x) = P (|X₁| ≤√

x) = 2P (0 ≤ X1 ≤√

x) = 1

√ 2π

Z

√x

0

e^−t2/8dt . Per il teorema fondamentale del calcolo si ha dunque che

f_X2

1(x) = F_X⁰ 2

1(x) 1_(0,∞)(x) = 1 2√

2π e^−x/8

√x 1_(0,∞)(x) , da cui si evince che X₁² ∼ Γ(¹₂,¹₈).

b) Poniamo Yn := X_n². Dato che X1 ∼ N (0, 4), si ha che µ := E(Y₁) = E(X₁²) = 4. Il calcolo di E(Y₁²) = E(X₁⁴) pu`o essere effettuato integrando per parti:

1 2√

2π Z

IR

t⁴e^−t2/8dt = 2

√2π Z

IR

t³  t 4e^−t2/8



dt = 6

√2π Z

IR

t²e^−t2/8dt = 48 , per cui σ² := V ar(Y₁) = 48 − 16 = 32. Lo stesso risultato si ottiene ricordando che la varianza di una Γ(α, λ) vale _λ^α2: dato che Y₁ ∼ Γ(¹₂,¹₈) dal punto a), si ha che V ar(Y₁) =

64

2 = 32. Ponendo Y_n:= ¹_n(Y₁+ . . . + Y_n) e applicando il TLC si ottiene P (X₁²+ X₂²+ · · · + X₈₀² ≥ 360) = P (Y₁+ . . . + Y₈₀≥ 360) = P (Y₈₀≥ 4.5)

= P Y₈₀− µ σ

√

80 ≥ 4.5 − µ σ

√ 80



≈ P (Z ≥ 0.65) = 1 − Φ(0.65) ≈ 1 − 0.74 = 0.26 , dove Z ∼ N (0, 1).

ESERCIZIO 3.

Il piatto di una roulette contiene i numeri da 0 a 36. Consideriamo due possibili puntate: A) quella sui numeri pari: si vince se esce un numero pari tra 2 e 36, e in questo caso si riceve il doppio del capitale puntato (quindi si resta in attivo di una quantit`a uguale al capitale puntato);

B) quella sulla prima dozzina: si vince se esce un numero tra 1 e 12, e in questo caso si riceve il triplo del capitale puntato (quindi si resta in attivo del doppio del capitale puntato).

Supponiamo di puntare contemporaneamente due Euro sui numeri pari, e un Euro sulla prima dozzina. Sia X il bilancio della giocata (capitale finale - capitale iniziale).

a) Determinare la densit`a di X e E(X).

b) Si considerino le seguenti variabili casuali:

Y =

 1 se esce un numero pari 6= 0 0 altrimenti

Z =

 1 se esce un numero della prima dozzina 6= 0 0 altrimenti

Calcolare Cov(Y, Z).

c) Dopo aver espresso X come funzione di Y e Z, calcolare E(X) e V ar(X) senza usare la densit`a calcolata in a).

Soluzione.

a) Introduciamo gli eventi

A = {esce un numero pari 6= 0} , B = {esce un numero tra 1 e 12}

E chiaro che l’esito degli eventi A e B determina X: pi`` u precisamente, X = −3 · 1_(A∪B)^c+ 1 · 1_A\B + 0 · 1_B\A+ 4 · 1_A∩B.

Notando che gli eventi {(A ∪ B)^c, A \ B, B \ A, A ∩ B} sono a due a due disgiunti, si ha che X(Ω) = {−3, 0, 1, 4} e

p_X(−3) = P ((A ∪ B)^c) = 13

37, p_X(0) = p(B \ A) = 6 37

12 6

X = (4Y − 2) + (3Z − 1) = 4Y + 3Z − 3 . Dato che Y ∼ Be(¹⁸₃₇), Z ∼ Be(¹²₃₇), si ha che

E(X) = 4E(Y ) + 3E(Z) − 3 = 418 37 + 312

37 − 3 = − 3 37. Analogamente si ha che

V ar(X) = 16 V ar(Y ) + 9 V ar(Z) + 2 · 12 · Cov(Y, Z)

= 1618 37

19 37+ 912

37 25

37 + 24 6

1369 = 8316 1369.

ESERCIZIO 4.

Sia (X_n)_n≥1 una successione di variabili casuali indipendenti, tali che X_n ∼ Be(1/2ⁿ).

Definiamo la variabile casuale T , a valori in IN ∪ {+∞} = {1, 2, . . . , n, . . . , +∞}:

T =

 min{k ∈ IN tali che Xk = 1} se {k ∈ IN tali che Xk= 1} 6= ∅

+∞ altrimenti.

a) Determinare un’espressione per P (T > n). [Sugg.: si noti che l’evento {T > n} pu`o essere espresso in modo semplice in funzione delle prime n variabili X₁, . . . , X_n.]

b) Scrivere log P (T > n) in forma di una somma Pn

k=1a_k, e mostrare che la serie P

ka_k converge.

c) Dedurre che P (T = +∞) > 0.

Soluzione.

a) Dalla definizione di T e dall’indipendenza delle Xi si ha che P (T > n) = P (X₁ = 0, X₂= 0, . . . , X_n= 0)

= P (X1 = 0) · P (X2= 0) · · · P (Xn= 0) =

n

Y

i=1

 1 − 1

2ⁱ

 .

b) Dal risultato del punto a) possiamo scrivere log P (T > n) =

n

X

i=1

log

 1 − 1

2ⁱ

 .

Si noti che −cx ≤ log(1 − x) ≤ 0 per ogni x ∈ [¹₂, 1], per un’opportuna costante positiva c (si pu`o prendere per es. c = 2 log 2). Si ha dunque, per ogni n ∈ IN,

n

X

i=1

log

 1 − 1

2ⁱ

    

≤

n

X

i=1

log

 1 − 1

2ⁱ

   

≤ c

n

X

i=1

1 2ⁱ ≤ c , il che mostra che la serieP

ilog 1 −₂¹i
converge assolutamente.

c) Si noti che {T = +∞} =T∞

n=1{T > n} e che {T > n} ⊇ {T > n + 1}. La continuit`a della probabilit`a d`a dunque che