Eser izio 1.1. Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema lineare
8
>
<
>
: kx
1 +x
2 +x
3
=1
x
1 +kx
2 +x
3
=k
x
1 +x
2 +kx
3
=k
ammetteuna, nessuna o in nite soluzioni
Soluzione:
Ridu iamoagradii lamatri e asso iata alsistema:
2
4
k 1 1 j 1
1 k 1 j k
1 1 k k 3
5
) III
I 2
4
1 1 k j k
1 k 1 j k
k 1 1 j 1 3
5
)
II I
III kI 2
4
1 1 k j k
0 k 1 1 k j 0
0 1 k 1 k
2
j 1 k 2
3
5
)
III+II 2
4
1 1 k j k
0 k 1 1 k j 0
0 0 k
2
k+2 j 1 k 2
3
5
Dobbiamoora distinguere tre asi
Se k 6=1; 2non siannullanessunpivotdellamatri eA,quindirg(A)=rg(Ajb) =
3 e ilsistema ammetteuna uni a soluzione.
Se k = 2 allora rg(A) = 2 < rg(Ajb) = 3 e il sistema non ammette nessuna
soluzione.
Se k=1 allora rg(A)=1=rg(Ajb) eil sistema ammettein nitesoluzioni.
Eser izio 1.2. Si onsiderino i vettori di R 3
: v
1
= (1;2;1); v
2
= (1;1; 1); v
3
=
(1;1;3); w
1
=(2;3; 1); w
2
=(1;2;2); w
3
=(1;1; 3).
a) Si al oli ladimensione dei sottospaziV =hv
1
;v
2
;v
3
i; W =hw
1
;w
2
;w
3 i.
b) Si trovi una base del sottospazio intersezione V \W.
Soluzione:
a) Ridu iamoa gradinile matri iA eB asso iate ai vettori v
i ew
i
rispettivamente:
A= 2
4
1 1 1
2 1 1
1 1 3
3
5
) II 2I
III I 2
4
1 1 1
0 1 1
0 2 2
3
5
)
III 2II 2
4
1 1 0
0 1 1
0 0 4
3
5
B = 2
4
1 1 2
1 2 3
3
5
) II I
2
4
1 1 2
0 1 1 3
5
)
2
4
1 1 2
0 1 1 3
5
Quindi
dim(V)=rg(A) =3
dim(W)=rg(B)=2
b) Dai risultati del punto pre edente osserviamo he V e W sono sottospazi di R 3
e
he in parti olareV ha dimensione 3,quindi V =R 3
. Di onseguenza:
V \W =R 3
\W =W
Dai al oli eseguinti nel punto pre edente, tenendo onto he nello s rivere B
abbiamo s ambiato la naturaleposizione diw
1 e w
3
, otteniamo he:
B(V \W)=B(W)=fw
3
; w
2 g:
Eser izio 1.3. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B =fv
1
;v
2
;v
3
;v
4 g una
suabase.
a) Mostrare he l'insieme B 0
=fv
1 +v
2
;v
2 +v
3
;v
3 +v
4
;v
4
g e una sua base di V.
b) Cal olarele oordinate delvettore v =v
1 +v
2 +v
3 +v
4
rispettoa B e rispetto a B 0
.
Soluzione:
a) Essendo V di dimensione 4e suÆ iente veri are he i quattro vettori di B 0
sono
linearmente indipendenti. Cal oliamo le oordinate dei vettori di B 0
rispetto alla
base B:
v
1 +v
2
=(1;1;0;0)
B
v
2 +v
3
=(0;1;1;0)
B
v
3 +v
4
=(0; 0;1;1)
B
v
4
=(0;0;0;1)
B
I quattro vettori sono linearmenteindipendentisela matri easso iataharango 4:
2
6
6
4
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1 3
7
7
5 )
II I 2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1 3
7
7
5 )
III II 2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1 3
7
7
5
)
IV III 2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 3
7
7
5
La matri eha rango4, quindi an he B 0
euna base diV.
b) Le oordinatedivrispettoaBsono(1;1;1;1)
B
inquantov =1 v
1 + 1 v
2 + 1 v
3 + 1 v
4 .
A questo punto per trovare le oordinate di v rispetto a B 0
e suÆ iente risolvere
l'equazione: x(v +v )+y(v +v )+z(v +v )+wv =v,dovetutti ivettorisono
espressi rispetto a B:
2
6
6
4
1 0 0 0 j 1
1 1 0 0 j 1
0 1 1 0 j 1
0 0 1 1 j 1 3
7
7
5 )
II I 2
6
6
4
1 0 0 0 j 1
0 1 0 0 j 0
0 1 1 0 j 1
0 0 1 1 j 1 3
7
7
5 )
III II 2
6
6
4
1 0 0 0 j 1
0 1 0 0 j 0
0 0 1 0 j 1
0 0 1 1 j 1 3
7
7
5 )
IV III 2
6
6
4
1 0 0 0 j 1
0 1 0 0 j 0
0 0 1 0 j 1
0 0 0 1 j 0 3
7
7
5
In ne v =(1;0;1;0)
B 0.
Eser izio 1.4. Sia S:R 3
!R 3
la funzione lineare asso iata a:
2
4
0 0 0
0 0 1
1 2 3 3
5
rispetto alla base f(1;1;1); (0;2;2); (0;0;3)g di R 3
.
a) Si s riva la matri e asso iata a S rispetto alle basi anoni he.
b) Determinare basidell'immagineIm(S) e del nu leo N(S).
Soluzione:
a) Dalla matri esi ri ava
S(1;1;1)=(0;0;1)
B
S(0;2;2)=(0;0;2)
B
S(0;0;3)=(0;1;3)
B
quindi perla linearitadiS:
S(0;0;1)= 1
3
(0;1;3)
B
=
0;
1
3
;1
B
S(0;1;0)= 1
2
(0;0;2)
B
0;
1
3
;1
B
=
0;
1
3
;0
B
S(1;0;0)=(0;0;1)
B 1
2
(0;0;2)
B
=(0;0;0)
B
In ne
S(e
1
)=(0;0;0)
S(e
2 )=
1
3
(0;2;2)=
0;
2
3
; 2
3
S(e
3 )=
1
(0;2;2)+1(0;0;3)=
0;
2
; 11
dovetuttiivettorisono nalmenteespressirispettoallabase anoni a,elamatri e
asso iata a S rispetto alla base anoni ae:
A = 2
4
0 0 0
0 2
3 2
3
0 2
3 11
3 3
5
) Ridu iamoA a gradini:
3II
3III 2
4
0 0 0
0 2 2
0 2 11 3
5
) 1=2II
III II 2
4
0 0 0
0 1 1
0 0 9
3
5
) II
III
I 2
4
0 1 1
0 0 9
0 0 0
3
5
quindi
B(Im(S))=f (0; 2; 2); (0;2;11) g
Perri avare il nu leo di S risolviamo il sistemaomogeneo asso iato a A
(
y+z =0
9z =0
) 8
>
<
>
: x=t
y =0
z =0
8t 2R
Quindi
B(N(S))=f (1;0;0)g
Eser izio 1.5. Sia T l'endomor smo do R 4
os de nito:
T(x
1
;x
2
;x
3
;x
4
)=(3x
1
;x
3
;x
4
; 3x
2 +x
3 +3x
4 )
a) Mostrare he 1e autovalore di T.
b) Stabilire se T e diagonalizzabile e in aso a ermativo trovare una base rispetto a
ui T ha matri e diagonale.
) L'endomor smo T e simmetri o?
Soluzione:
Determiniamolamatri easso iata a T rispettoalla base anoni a al olando:
T(e
1
)=(3;0;0;0)
T(e
2
)=(0;0;0; 3)
T(e
3
)=(0;1;0;1)
T(e
4
)=(0;0;1;3)
Quindila matri easso iatae:
A= 2
6
6
4
3 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
Cal oliamoil polinomio aratteristi o sviluppando rispetto allaprima riga:
p
A
()=det (A I)=(3 )
( 3+ 2
1)
2
3
=(3 )
3
+3
2
+ 3
=(3 )
2
( +3) ( +3)
=(3 ) 2
2
1
a) Gli autovaloriA sono
=3 doppio
=1
= 1
In parti olare =1eautovalore.
b) Cal oliamol'autospazio E(3)risolvendo il sistemaomogeneo asso iato a A 3I:
2
6
6
4
0 0 0 0
0 3 1 0
0 0 3 1
0 3 1 0
3
7
7
5 )
(
3x
2 +x
3
=0
3x
3 +x
4
=0 )
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
=s
x
2
=t
x
3
=3t
x
4
=9t )
E(3) =h (0;1;3;9); (1;0;0;0)i
A questo punto possiamo giaa ermare he T e diagonalizzabileinquanto E(3)
ha dimensione2 e glialtridue autovalorisono singoli.
Cal oliamol'autospazio E(1)risolvendo il sistemaomogeneo asso iato a A I:
2
6
6
4
2 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 3 1 2
3
7
7
5 )
IV 3II 2
6
6
4
2 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 2 2
3
7
7
5 )
8
>
<
>
: 2x
1
=0
x
2 +x
3
=0
x
3 +x
4
=0 )
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
=0
x
2
=t
x
3
=t
x
4
=t
) E(1) =h(0;1;1;1)i
Cal oliamol'autospazioE( 1)risolvendoilsistemaomogeneoasso iatoaA+I:
2
6
6
4
4 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 3 1 4
3
7
7
5 )
IV +3II 2
6
6
4
4 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 4 4 3
7
7
5 )
8
>
<
>
: 4x
1
=0
x
2 +x
3
=0
x
3 +x
4
=0 )
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
=0
x
2
=t
x
3
= t
x
4
=t
) E( 1)=h (0;1; 1;1)i
In ne T hauna matri ediagonalerispetto allabase
B=f (1;0;0;0); (0;1;3;9); (0;1;1;1); (0;1; 1;1)g
) T nonesimmetri oinquantolamatri eAasso iataaT rispettoallabase anoni a
Eser izio 1.6. Nellospaziosi onsiderino ladue rette di equazioni:
r: 8
>
<
>
: x=t
y =1 t
z =3
s: x+y 1=x y+z =0
a) Mostrare he ledue rette sono sghembe.
b) Determinare un'equazione delpiano ontenente laretta r e parallelo alla retta s.
) Determinare un'equazione delpiano paralleloalledue retteed equidistante da esse.
Soluzione:
a) Due rette del piano sono sghembe se non sono parallele e non si interse ano.
L'equazione parametri adi se:
s: 8
>
<
>
:
x=1 t
y=t
z = 1+2t
Quindi r ha direzione (1; 1;0)mentre s ha direzione ( 1;1;2) ele due rette non
sono parallele. Inoltre se al oliamor\s:
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
x=1+t
y=1 t
z =3
x+y 1=0
x y+z =0 )
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
x=1+t
y=1 t
z =3
1+t+1 t 1=0
1+t 1+t+3=0 )
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
x=1+t
y=1 t
z=3
1=0
3+2t=0
il sistema non ammettesoluzione, quindi le due rette non si interse ano.
Di onseguenza r e s sono sghembe.
b) Sia il piano er ato. Poi he ontiene r, deve essere parallelo ar e passare per
un punto di r. Sia A = (1;1;3) il punto di r, imponendo inoltre le ondizioni di
parallelismoalledue rette, otteniamo:
: 8
>
<
>
:
x=1t s
y=1 t+s
z =3+2s
) x+y=2
) Si puopro edere inpiumodi. Forse il piu sempli ee al olareilpiano 0
passante
pers e parallelo a r inmaniera analoga alpunto pre edente. Sia B =(1;0; 1) il
punto dis:
0
: 8
>
<
>
:
x=1+t s
y= t+s
z= 1+2s
) x+y=1
Il piano er atoeparalleloa e 0
, quindihauna equazionedeltipox+y=d.
0
valore dide dato dalla mediadegli analoghivaloridi e 0
:
d= 2+1
2
= 3
2
In ne ilpiano er atoe
x+y= 3
2
