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Linee e superfici Linee e superfici

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Academic year: 2021

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(1)

Esercitazione

Esercitazione N.6 N.6

2 maggio 2 maggio 2007 2007

Rosalba

Rosalba BaratteroBarattero

Linee e superfici Linee e superfici

Î Î rappresentazione rappresentazione cartesiana cartesiana e e parametrica parametrica Î Î linee piane linee piane

Î Î coni, cilindri, superfici di rotazione coni, cilindri, superfici di rotazione

Î Î proiezioni di linee su piani: da un punto e proiezioni di linee su piani: da un punto e

lungo una direzione

lungo una direzione

(2)

LINEE E SUPERFICI

ESEMPI. 1. X+Y-Z+2=0 SUPERFICIE F.C.: PIANO 2.

⎩⎨

=

− +

=

− +

0 1 z x

0 2z y

x LINEA F.C.:RETTA (∩2 PIANI)

3.

⎪⎩

⎪⎨

=

= + +

2 0 z 1

1 z y

x2 2 2

LINEA F.C.: CIRCONFERENZA

(SFERA PIANO;d(CS, π )=d(O, π)=

2

1<1=RS )

4.

=

= +

= 1 z

2t y

t t

x 2

t∈R LINEA F.P.

5.

=

= + +

=

2 2

u 1 z

2t y

u t t x

t,u∈R SUPERFICIE F.P. forma parametrica forma cartesiana

LINEA

SUPERFICIE

2 equazioni in x,y,z 1 equazione in x,y,z

1 parametro 2 parametri

QUALCHE SUPERFICIE

Toro

superficie generata dalla rotazione di una circonferenza dello spazio attorno ad una retta del suo piano che non la intersechi

Iperboloide ad una falda

2 1

2 2 2 2

2 + =

c z b y a Iperboloide a due falde x

2 1

2 2 2 2

2 =

c z b y a x

Superficie di …

(3)

ESERCIZIO1.

The twisted cubic ( la cubica gobba)

L:

=

=

=

3 2

t z

t y

t x

, t ∈R ( rappresentazione parametrica)

UNA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI L

Eliminiamo il parametro t da 1.e 2. : y= x2

da 1.e 3. : z= x3

SUPERFICI CONTENENTI

L

1. y = x2 : Cilindro con le generatrici parallele all’asse z ( manca la variabile z)

2. z = x3 : Cilindro con le generatrici parallele all’asse y (manca la variabile y)

L: zy xx3 21

2

⎩⎨

=

=

L NON PIANA

π:ax+by+cz+d=0 at+bt2+ct3+d=0

∀ t∈R

⇒a=b=c=d=0

ESERCIZIO2.

Proiezioni di linee da un pto e lungo una direzione

Sia

L:

= +

= +

= t t z

t t y

t t x

3 2 3 2

, t ∈R

a) Stabilire se

L

è piana e in caso affermativo determinare il piano che la contiene.

b) Determinare la linea M , proiezione di L dal punto V(1,0,1) sul piano α: x-2=0

c) Determinare la linea N proiezione ortogonale di L sul piano β: x-z=0

a)

L:

= +

= +

= t t z

t t y

t t x

3 2 3 2

♠ (1-2+3): x-y+z=0 piano di giacenza di

L

♠ Se non si è vista la relazione del piano :

cerco il piano ax+by+cz+d=0 che contiene L, ossia t.c. a(t2+t)+b(t3+t2)+c(t3-t)+d=0 ∀t∈R

⇒ (b+c)t3 +(a+b)t2+(a-c)t+d=0 (polinomio in t) ∀t∈R

=

=

= +

= +

0 0 0 0

d c a

b a

c b

=

=

=

=

0 0 d

c a

c c

c b

⇒ ∞1 Sol.ni (c,-c,c,0)

Ma i coefficienti del piano sono determinati a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, quindi il piano esiste (basta scegliere ad es. c=1) ed è x-y+z=0

(4)

b)

M= F∩α

0 2 x

3.

1)u t (t 1 z

2.

)u t (t y

1.

1)u t (t 1 x

3 2 3

2

=

+

= +

=

+ +

=

⇒ 1+(t2+t-1)u-2=0

⇒ (t2+t-1)u =1

⇒ u = t2+1t1

⇒ per sostituzione in 1.2.3. si ha

M :

⎪⎪

+

+

=

+

= +

=

1 t

1 t 1 t z

1 t

t y t

2 x

2 3 2

2 3

t

t t∈R

P

α M

V

L Rette PV, con P che scorre su L :

+

=

+ +

=

+ +

=

1)u t (t 1 z

0)u t (t 0 y

1)u t (t 1 x

3 2 3 2

cioè

F:

+

= +

=

+ +

=

1)u t (t 1 z

)u t (t y

1)u t (t 1 x

3 2 3

2

al variare di u,t ∈R è il CONO F che proietta L da V.

Quindi M= F∩α

c)

N= G∩β

=

= +

= + +

=

β 0 z - x

3.

u t t

2.

1.

3 2 3 2

z t t y

u t t x

⇒ t2+t+u-t3+t+u=0

⇒ u= t3t222t

⇒ per sostituzione in 1.2.3. si ha

N :

= +

=

+ +

=

2 2 2

2

2 3 3

2 3

2 2 3

t t t t t z

t t y

t t t t t x

t∈R

linea proiezione ortogonale di L sul piano β: x-z=0

P

L

β N

Nβ

Rette per P, parallele a Nβ=(1,0,-1) con P che scorre su L :

+

= + +

= + +

=

1)u ( t t z

(0)u t t y

(1)u t t x

3 2 3 2

cioè

G:

= +

= + +

= u t t z

t t y

u t t x

3 2 3 2

G al variare di t, u in R è il cilindro che proietta L paral- lelamente a Nβ .

Quindi N= G∩β

(5)

Disegno tratto da

Guido Castelnuovo – ″ Lezioni di geo- metria analitica e proiettiva″ – 1904 - Roma

SSUPUPEERRFFIICCII DDII RROOTTAAZZIIOONNEE

La linea L ruota attorno alla retta – asse

Ogni punto P di L descrive una circonferenza γ (″parallelo″) con centro sull’asse, giacente sul piano π passante per P e ⊥ all’asse.

γ: S∩π con S sfera di centro un pto C dell’asse e raggio CP

( Le intersezioni della superficie di rotazione con i piani passanti per l’asse sono ″i meri- diani″ )

Una mia ′rielaborazione′ del bel (!) disegno di G. Castelnuovo

(6)
(7)

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