Esercitazione
Esercitazione N.6 N.6
2 maggio 2 maggio 2007 2007
Rosalba
Rosalba BaratteroBarattero
Linee e superfici Linee e superfici
Î Î rappresentazione rappresentazione cartesiana cartesiana e e parametrica parametrica Î Î linee piane linee piane
Î Î coni, cilindri, superfici di rotazione coni, cilindri, superfici di rotazione
Î Î proiezioni di linee su piani: da un punto e proiezioni di linee su piani: da un punto e
lungo una direzione
lungo una direzione
LINEE E SUPERFICI
ESEMPI. 1. X+Y-Z+2=0 SUPERFICIE F.C.: PIANO 2.
⎩⎨
⎧
=
− +
=
− +
0 1 z x
0 2z y
x LINEA F.C.:RETTA (∩2 PIANI)
3.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
= + +
2 0 z 1
1 z y
x2 2 2
LINEA F.C.: CIRCONFERENZA
(SFERA ∩ PIANO;d(CS, π )=d(O, π)=
2
−1<1=RS )
4.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= +
= 1 z
2t y
t t
x 2
t∈R LINEA F.P.
5.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
= + +
=
2 2
u 1 z
2t y
u t t x
t,u∈R SUPERFICIE F.P. forma parametrica forma cartesiana
LINEA
SUPERFICIE
2 equazioni in x,y,z 1 equazione in x,y,z
1 parametro 2 parametri
QUALCHE SUPERFICIE
Toro
superficie generata dalla rotazione di una circonferenza dello spazio attorno ad una retta del suo piano che non la intersechi
Iperboloide ad una falda
2 1
2 2 2 2
2 + − =
c z b y a Iperboloide a due falde x
2 1
2 2 2 2
2 − − =
c z b y a x
Superficie di …
ESERCIZIO1.
The twisted cubic ( la cubica gobba)
L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
3 2
t z
t y
t x
, t ∈R ( rappresentazione parametrica)
♦
UNA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI LEliminiamo il parametro t da 1.e 2. : y= x2
da 1.e 3. : z= x3
♦
SUPERFICI CONTENENTIL
1. y = x2 : Cilindro con le generatrici parallele all’asse z ( manca la variabile z)
2. z = x3 : Cilindro con le generatrici parallele all’asse y (manca la variabile y)
L: zy xx3 21
2
←
←
⎩⎨
⎧
=
=
♦
L NON PIANAπ:ax+by+cz+d=0 at+bt2+ct3+d=0
∀ t∈R
⇒a=b=c=d=0
ESERCIZIO2.
Proiezioni di linee da un pto e lungo una direzione
Sia
L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
= +
= t t z
t t y
t t x
3 2 3 2
, t ∈R
a) Stabilire se
L
è piana e in caso affermativo determinare il piano che la contiene.b) Determinare la linea M , proiezione di L dal punto V(1,0,1) sul piano α: x-2=0
c) Determinare la linea N proiezione ortogonale di L sul piano β: x-z=0
a)
L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
= +
= t t z
t t y
t t x
3 2 3 2
♠ (1-2+3): x-y+z=0 piano di giacenza di
L
♠ Se non si è vista la relazione del piano :
cerco il piano ax+by+cz+d=0 che contiene L, ossia t.c. a(t2+t)+b(t3+t2)+c(t3-t)+d=0 ∀t∈R
⇒ (b+c)t3 +(a+b)t2+(a-c)t+d=0 (polinomio in t) ∀t∈R
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
−
= +
= +
0 0 0 0
d c a
b a
c b
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
−
−
=
0 0 d
c a
c c
c b
⇒ ∞1 Sol.ni (c,-c,c,0)
Ma i coefficienti del piano sono determinati a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, quindi il piano esiste (basta scegliere ad es. c=1) ed è x-y+z=0
b)
M= F∩α
0 2 x
3.
1)u t (t 1 z
2.
)u t (t y
1.
1)u t (t 1 x
3 2 3
2
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
− +
= +
=
− + +
=
⇒ 1+(t2+t-1)u-2=0
⇒ (t2+t-1)u =1
⇒ u = t2+1t−1
⇒ per sostituzione in 1.2.3. si ha
M :
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
− +
− + −
=
− +
= +
=
1 t
1 t 1 t z
1 t
t y t
2 x
2 3 2
2 3
t
t t∈R
P
α M
V
L Rette PV, con P che scorre su L :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
− +
=
− + +
=
− + +
=
1)u t (t 1 z
0)u t (t 0 y
1)u t (t 1 x
3 2 3 2
cioè
F:⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−
− +
= +
=
− + +
=
1)u t (t 1 z
)u t (t y
1)u t (t 1 x
3 2 3
2
al variare di u,t ∈R è il CONO F che proietta L da V.
Quindi M= F∩α
c)
N= G∩β
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
←
=
−
−
= +
= + +
=
β 0 z - x
3.
u t t
2.
1.
3 2 3 2
z t t y
u t t x
⇒ t2+t+u-t3+t+u=0
⇒ u= t3−t22−2t
⇒ per sostituzione in 1.2.3. si ha
N :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
− −
−
= +
=
− + − +
=
2 2 2
2
2 3 3
2 3
2 2 3
t t t t t z
t t y
t t t t t x
t∈R
linea proiezione ortogonale di L sul piano β: x-z=0
P
L
β N
Nβ
Rette per P, parallele a Nβ=(1,0,-1) con P che scorre su L :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− +
−
= + +
= + +
=
1)u ( t t z
(0)u t t y
(1)u t t x
3 2 3 2
cioè
G: ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−
−
= +
= + +
= u t t z
t t y
u t t x
3 2 3 2
G al variare di t, u in R è il cilindro che proietta L paral- lelamente a Nβ .
Quindi N= G∩β
Disegno tratto da
Guido Castelnuovo – ″ Lezioni di geo- metria analitica e proiettiva″ – 1904 - Roma
SSUPUPEERRFFIICCII DDII RROOTTAAZZIIOONNEE
La linea L ruota attorno alla retta – asse
Ogni punto P di L descrive una circonferenza γ (″parallelo″) con centro sull’asse, giacente sul piano π passante per P e ⊥ all’asse.
γ: S∩π con S sfera di centro un pto C dell’asse e raggio CP
( Le intersezioni della superficie di rotazione con i piani passanti per l’asse sono ″i meri- diani″ )
Una mia ′rielaborazione′ del bel (!) disegno di G. Castelnuovo