Superfici di separazione tra materiali
1 dicembre 2014
Campi E e D alla superficie di separazione tra due dielettrici Campi B e H alla superficie di separazione tra due materiali
2
1 2
S
P
Campo elettrico
• Supponiamo di avere due dielettrici di costanti
1,
2, separati da una superficie S
• Detto P un punto arbitrario di S, vogliamo trovare la relazione
esistente tra i valori che il campo E, e il campo D, assumono nei due
dielettrici, nelle immediate vicinanze
di P, sui due lati di S
3
1 2
S
dl2 dl1 P
E2 E1
Campo E alla superficie di separazione tra due dielettrici
• Consideriamo la circuitazione dK di E su un rettangolo molto piccolo di base dl e altezza dh, con le basi parallele localmente in P alla superficie. Per un campo E statico dK è nulla:
• A dK contribuiscono le basi e le altezze
• Poiché dl2=-dl1, ne segue
• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale relativo tende a zero e rimane
• Ne segue che la componente tangenziale del campo (parallela alla superficie di separazione) è uguale nei due dielettrici
dK dK dK
||
dK
||
E
1 d
l
1
E
2 d
l
2
dK
|| E
1||dl
1 E
2||dl
1
dK dK
|| E
1|| E
2|| dl
1
E
1|| E
2||
dK 0
4
1 2
S
dA2 dA1 P
D2 D1
Campo D alla superficie di separazione tra due dielettrici
• Consideriamo un cilindro molto piccolo di base dA e altezza dh, con le basi parallele localmente alla superficie. Il flusso d di D è proporzionale alla carica libera contenuta nel cilindro, che nel nostro caso è zero:
• A
d
contribuiscono la superficie laterale e le basi• Poiché dA2=-dA1, ne segue
• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale sulla superficie laterale tende a zero e rimane
• Ne segue che la componente di D normale alla
superficie di separazione è uguale nei due dielettrici
d d
|| d
d
D
1 d
A
1
D
2 d
A
2
d
D
1dA
1 D
2dA
1
D
1 D
2
d d
D
1 D
2 dA
1
d 0
5
1 2
E2 E1
n 1 2
Rifrazione delle linee di campo
• Abbiamo trovato che
• In termini di componenti di E
• Potremmo scrivere relazioni analoghe per D
• Detti
1e
2gli angoli che i vettori E
1, E
2formano con la normale n,
abbiamo
E
1|| E
2||
D
1 D
2
E
1|| E
2||
1E
1
2E
2
tg
1 E
1||E
1
tg
2 E
2||E
21 2
E2 E1
6
Rifrazione delle linee di campo
• Facendone il rapporto
• Ciò significa che la direzione delle linee di campo, passando da un dielettrico all’altro, subisce una variazione discontinua
• Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo
tg
1tg
2
E
1||E
1E
2||E
2 E
1||E
2||E
1E
2
1
2Campo magnetico
• Come nel caso elettrico, dalle equazioni
• possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo all’altro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano
• Esprimendo la seconda eq. in termini di B
0
C
l d H 0
) (
B
H
1|| H
2||
B
1 B
2
B
1||
1
B
2||
27
1 2
B1 B2 n 1 2
Rifrazione delle linee di campo
• Detti
1 e
2 gli angoli che i vettori B1, B2 formano con la normale n, abbiamo• Facendone il rapporto
• La direzione delle linee di campo, passando da un materiale all’altro, subisce una variazione discontinua
• Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo
tg
1 B
1||B
1
tg
2 B
2||B
2
tg
1tg
2
B
1||B
1B
2||B
2 B
1||B
2||B
1B
2
1
28
2
1 B1 B2
Rifrazione delle linee di campo
• Se il mezzo 2 è ferromagnetico mentre il mezzo 1 è aria, il rapporto è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che1 2
2
r
1
1 2 1
2
tg tg9
• Ovvero tg2 è molto grande e quindi 2 è prossimo a /2, anche se1 è piccolo
• Ciò significa che le linee del campo B
internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe`
praticamente ‘catturate’ nel materiale
• Questo fenomeno e` molto importante perche’
permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso su una data area
• Inversamente (si pensi di invertire il verso del campo), le linee uscenti da un ferromagnete sono praticamente perpendicolari alla sua superficie
