Superfici di separazione tra materiali

Superfici di separazione tra materiali

1 dicembre 2014

Campi E e D alla superficie di separazione tra due dielettrici Campi B e H alla superficie di separazione tra due materiali

2

1 2

S

P

Campo elettrico

• Supponiamo di avere due dielettrici di costanti 

, 

, separati da una superficie S

• Detto P un punto arbitrario di S, vogliamo trovare la relazione

esistente tra i valori che il campo E, e il campo D, assumono nei due

dielettrici, nelle immediate vicinanze

di P, sui due lati di S

3

1 2

S

dl₂ dl₁ P

E₂ E₁

Campo E alla superficie di separazione tra due dielettrici

• Consideriamo la circuitazione dK di E su un rettangolo molto piccolo di base dl e altezza dh, con le basi parallele localmente in P alla superficie. Per un campo E statico dK è nulla:

• A dK contribuiscono le basi e le altezze

• Poiché dl2=-dl1, ne segue

• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale relativo tende a zero e rimane

• Ne segue che la componente tangenziale del campo (parallela alla superficie di separazione) è uguale nei due dielettrici



 dK dK dK





dK

 

E

 d 

l

 

E

 d 

l



dK

 E

dl

 E

dl



dK  dK

 E 

 E

 ^dl



E

 E



dK  0

4

1 2

S

dA₂ dA₁ P

D₂ D₁

Campo D alla superficie di separazione tra due dielettrici

• Consideriamo un cilindro molto piccolo di base dA e altezza dh, con le basi parallele localmente alla superficie. Il flusso d di D è proporzionale alla carica libera contenuta nel cilindro, che nel nostro caso è zero:

• A

d 

• Poiché dA2=-dA1, ne segue

• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale sulla superficie laterale tende a zero e rimane

• Ne segue che la componente di D normale alla

superficie di separazione è uguale nei due dielettrici



d  d

 d





d

 

D

 d 

A

 

D

 d 

A



d

 D

dA

 D

dA



D

 D



d  d

 D 

 D

 ^dA



d  0

5

1 2

E₂ E₁

n ₁ ₂

Rifrazione delle linee di campo

• Abbiamo trovato che

• In termini di componenti di E

• Potremmo scrivere relazioni analoghe per D

• Detti 

e 

gli angoli che i vettori E

, E

formano con la normale n,

abbiamo



E

 E



D

 D



E

 E





E

 

E



tg 

 E

E



tg 

 E

E

1 2

E₂ E₁

6

Rifrazione delle linee di campo

• Facendone il rapporto

• Ciò significa che la direzione delle linee di campo, passando da un dielettrico all’altro, subisce una variazione discontinua

• Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo



tg 

tg 

^

E

E

E

E

 E

E

E

E

 



Campo magnetico

• Come nel caso elettrico, dalle equazioni

• possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo all’altro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano

• Esprimendo la seconda eq. in termini di B

 0

 

C

l d H   0

) ( 

 B 



H

 H



B

 B



B



^

B



7

1 2

B₁ B₂ n ₁ ₂

Rifrazione delle linee di campo

• Detti





• Facendone il rapporto

• La direzione delle linee di campo, passando da un materiale all’altro, subisce una variazione discontinua

• Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo



tg 

 B

B



tg 

 B

B



tg 

tg 

^

B

B

B

B

 B

B

B

B

 



8

2

1 B₁ B₂

Rifrazione delle linee di campo

• Se il mezzo 2 è ferromagnetico mentre il mezzo 1 è aria, il rapporto è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che_{1 2}

2

 

 

1

1 2 1

2  









9

• Ovvero tg₂ è molto grande e quindi ₂ è prossimo a /2, anche se₁ è piccolo

• Ciò significa che le linee del campo B

internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe`

praticamente ‘catturate’ nel materiale

• Questo fenomeno e` molto importante perche’

permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso su una data area

• Inversamente (si pensi di invertire il verso del campo), le linee uscenti da un ferromagnete sono praticamente perpendicolari alla sua superficie