ESERCIZIO
Un’applicazione della divisione alla teoria elementare dei numeri
Provare che nella seguente successione di numeri 11 , 111, 1111, …, 11111…111, …
non esistono quadrati.
I numeri considerati sono tutti dispari, ossia del tipo 2m+1.
Il quadrato di un dispari è (2m+1)
2=4m
2+ 4m +1
= 4(m
2+m)+1. Questo ci dice che essendo (2m+1)
2del tipo 4k+1, quando viene diviso per 4 dà come resto 1.
Vediamo di stabilire il resto della divisione per 4 dei numeri della nostra successione.
Il numero 11111…111 si può scrivere sotto la forma 11111…108 +3
Quindi il numero 11111…111 è del tipo 4k+3, ciò significa che quando viene diviso per 4 dà resto 3. Poiché il resto della divisione è univocamente determinato, si conclude che non esistono quadrati tra i numeri dati.
Divisibile per 4 : le ultime due cifre sono 08 e 8 è divisibile per 4 Pag.seg.
Il criterio di divisibilità per 4
Un numero naturale è divisibile per 4 se e solo se il numero rappresentato dalle sue due ultime cifre è divisibile per 4.
Per provare questa proprietà facciamo uso della consueta rappresentazione decimale (in base 10) dei numeri, le cui cifre sono interi compresi tra 0 e 9.
Il numero a =a
n.. a
2a
1a
0(scritto in forma decimale) è l’intero 10
n⋅a
n+10
n-1⋅a
n-1+…+10
2⋅a
2+10
1⋅a
1+10
0⋅a
0dove 0≤ a
i≤ 9, i =0,..n.
Ora a è divisibile per 4 ⇔ a = 0 in Z
4.
Per determinare
a, calcoliamo le potenze di 10 modulo 4:
In Z
4si ha 10 = 2 , 100 = 4 = 0 ,
da cui segue che tutte le potenze 10ncon n ≥ 2 valgono 0 ( poiché classi di numeri multipli di 100 ).
Quindi a = a1a
0 . Allora a = 0 ⇔ a1a
0 = 0 , o in termini equivalenti :
a
0= 0 , o in termini equivalenti :
″ a è divisibile per 4 ⇔ il numero a
1a
0(le due ultime cifre di a ) è divisibile per 4″ . ok !
[Es. 1240 è divisibile per 4, essendo 40 divisibile per 4: 1240=40=0]
