5.134. PERDITA DI ENERGIA DI UN OSCILLATORE??
PROBLEMA 5.134
Perdita di energia di un oscillatore ??
Un oscillatore armonico è realizzato mediante una massa m collegata ad una molla di costante elastica k. Inizialmente la massa si trova nella posizione di equilibrio, con velocità v0. Determinare per quale valore del coefficiente di attrito viscoso λ l’energia totale dell’oscillatore si riduce più rapidamente.
Soluzione
L’equazione del moto dell’oscillatore
m¨x+λ ˙x+kx=0 ammette per soluzione generale
x= Aeα1t+Beα2t dove α1e α2sono le due soluzioni di
mα2+λα+k=0
che supponiamo per il momento distinte. Imponiamo le condizioni iniziali: abbiamo x(0) = A+B=0
˙x(0) = α1A+α2B= v0 Risolvendo otteniamo
A = v0
α1−α2
B = − v0 α1−α2
e quindi
x(t) = v0 α1−α2
eα1t−eα2t
˙x(t) = v0 α1−α2
α1eα1t−α2eα2t Sostituendo nell’energia troviamo
E= 1
2m˙x2+ 1 2kx2
= 1 2
v20 (α1−α2)2
h
m α1eα1t−α2eα2t2
+k eα1t−eα2t2i
= 1 2
mv20 (α1−α2)2
α21+ k m
e2α1t+
α22+ k
m
e2α2t−2
α1α2+ k m
e(α1+α2)t
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5.134. PERDITA DI ENERGIA DI UN OSCILLATORE??
La parte reale di α1, è sempre negativa (per λ > 0), e corrisponderà ad un termine decrescente esponenzialmente. La riduzione più rapida di energia si avrà quindi per il massimo valore di
τ−1 =min(−Re α1,−Reα2) D’altra parte
αi =− λ 2m±
s λ 2m
2
−mk ≡ − λ 2m ±√
∆
e quindi
τ−1= ( λ
2m 0< λ<√
4mk
λ 2m−
q
λ 2m
2
− mk λ>√ 4mk che ha un massimo per λ = √
4mk, che corrisponde allo smorzamento critico. Si trat- ta proprio del caso che non abbiamo considerato esplicitamente (α1 = α2), che però possiamo considerare come limite delle espressioni precedenti. In particolare
∆lim→0E(t) = lim
∆→0
1 2mv20
− λ 2m
e√∆t−e−√∆t 2√
∆ + e
√∆t+e−√∆t 2
!2
+ k m
e√∆t−e−√∆t 2√
∆
!2
e−λmt
= 1 2mv20
"
1− λt 2m
2
+kt
2
m
# e−mλt
La decrescita non è più esponenziale, ma le conclusioni non cambiano.
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