Preda e predatore ??

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3.8. PREDA E PREDATORE??

PROBLEMA 3.8

Preda e predatore ??

Un coniglio si muove arbitrariamente nel piano mantenendo il modulo della sua velo- cità vccostante. Una volpe lo insegue muovendosi anche essa con velocità costante in modulo v_v, dirigendosi istante per istante nella direzione del coniglio.

Dimostrare che indipendentemente dalla traiettoria scelta dal coniglio esso verrà raggiunto in un tempo finito se vv>vc.

Soluzione

Sia~_R_cla posizione del coniglio e~_R_vquella della volpe. Il quadrato della loro distanza si può scrivere come

`²= ~_R_c− ~^Rv

² e la sua derivata temporale come

d`² dt =2

~R_c− ~^Rv

· ^d~_R_c

dt − ^d_R~_v dt

! .

Ma sappiamo che la velocità della volpe si scrive d~_R_v

dt = vv

~Rc− ~^Rv

~_R_c− ~^Rv

e sostituendo otteniamo

d`² dt =2

~Rc− ~^Rv

·^d~_R_c dt −^2vv

~_R_c− ~^Rv

. Possiamo scrivere inoltre

d`² dt =2vc

~_R_c− ~^Rv

cos φ−^2vv

~_R_c− ~^Rv

dove φ è l’angolo tra la velocità del coniglio e il vettore

~_R_c− ~^Rv

. In conclusione otteniamo

d`²

dt =2~_R_c− ~^Rv

(v_ccos φ−^vv)≤²` (v_c−^vv) che si può anche scrivere nella forma

d`

dt ≤ (^vc−^vv) ossia

`≤ `0+ (vc−^vv)t .

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3.8. PREDA E PREDATORE??

Da questo segue che il coniglio verrà raggiunto ad un tempo t ≤ `0

v_v−^vc

.

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