Trasformazione relativisti a delle velo ita
Premessa
Laprimaversionediquestos rittorisaleal2005,efumotivatadaunquesito
he mivennepostoaquel tempodaun insegnante. Ladomandaera: \visto he
invarieo asionihairibaditoiltuopuntodivista,se ondo uiletrasformazioni
diLorentzsonoinutiliperl'insegnamentodellarelativitanellas uolase ondaria,
anzi sono addirittura dannose, ome puoi arrivare, senza usarle, alla legge di
omposizione relativisti a delle velo ita?" L'arti olo era appunto una velo e
esposizione della mia risposta.
A distanza di nove anni niente si e mosso nell'insegnamento della relati-
vita: le imman abilidilatazionidei tempi e ontrazionidelle lunghezze gurano
nellevigenti\Indi azioniNazionali"(insiemepurtroppoalla\equivalenzamassa-
energia"usataasproposito,maquestoeunaltrodis orso). Glistessiargomenti,
insieme on letrasf. di Lorentze l'addizione [si ℄ dellevelo ita ompaiono ome
\irrinun iabili" in una re ente proposta disyllabus per il quinto anno del Li eo
s ienti o riformato[1℄.
Aggiungo due parole sulle trasf. di Lorentz, e sul per he a mio parere non
sarebbero da trattare nella s uola se ondaria. Ho esposto le mie vedute in ma-
teria in numerose o asioni: ri ordo per es. un seminario al Congresso AIF di
Chian iano del 1991 [2℄ e il Quaderno 16 di La Fisi a nella S uola [3℄, dove a
pag.105 sitrova una \Parentesisulle trasformazioni diLorentz." Siveda an he
la dis ussione alle pag.118-120, no al \problema del triangolo."
Dettoin breve: see vero he le trasf. di Lorentz sono unostrumentomate-
mati o he permette di ri avare \automati amente"pare hi risultati della RR
(tra ui appunto la \ omposizione" o \addizione" delle velo ita), e non meno
vero he | ome molti strumenti matemati i | presentano un ris hio: he lo
studenteapprendalame ani adelpro edimentomaperdadivistailsigni ato
si o di quello he sta fa endo. Per questo motivo aldeggio l'uso di strumenti
geometri i \intrinse i," e in parallelo il ri orso sistemati o a diagrammi spazio-
tempo,dovelape uliaregeometriadellospazio-tempo( herappresental'essenza
dellarelativita)viene messainlu eeappli ataa problemi on reti. Nevedremo
un esempionel seguito.
Unaprima versione, datata di embre2005,estatapubbli ata su LaFisi anella S uola
39(2006), 163. Lapresenteversioneeaggiornata eampliata indiversipunti.
Ebennotoilrisultato,dovutoaGalileo, heseun orpoCsimuoverispetto
aun ertosistemadiriferimento(brevemente,rif.)K 0
onlavelo itav 0
,eildetto
rif.simuoverispettoaunaltrorif.Kdimototraslatorio onlavelo itau,allora
la velo ita di C rispetto a Ke
v=v 0
+u: (1)
Larelazionevale tralevelo itavettoriali(evalean he,informapiu ompli ata,
per moti non traslatori); ma qui i limiteremo al aso sempli e in ui tutte le
velo ita hanno la stessa direzione e lo stesso verso, he assumeremo positivo.
Supporremo inoltre he tutte le velo ita siano ostanti; in parti olare quindi
entrambii rif. K e K 0
saranno inerziali.
La(1)sileggedi endo helavelo itadiCrispettoaK 0
sisommaaquelladi
K 0
rispetto aKperdarelavelo itadiCrispettoa K:daquiilnomedi\leggedi
addizione";inve e \ omposizione" sembra ri al ato piuttosto, pensando al aso
vettoriale,sulla \ omposizione delleforze."
Uno deipiu notie etti relativisti ie ertamente lamodi adella osiddet-
ta legge di omposizione (o addizione) galileiana, he va sostituita on quella
\einsteiniana": in relativita la (1) non e piu valida, se non ome aso limite a
pi ole velo ita.
Purtroppo la (1) a livello di senso omune (ma non solo!) appare quasi
\ovvia," o addirittura \logi amente"ne essaria, per ui metterla in dis ussione
suona paradossale. Il problema si supera per mezzo di un'a urata dis ussione
sul signi ato dei on etti he intervengono espli itamente o impli itamente,
primo fra tutti quello di tempo assoluto; ma io non toglie he la non validita
della (1)resta una \stranezza"della relativita.
E forse per questo he hiunque
s'impegni a trattare di relativita, an he nel modo piu ridotto ed elementare
possibile,nonpuofareamenodigiusti arlaediderivarelaformulaeinsteiniana
he la sostituis e.
Prima di pro edere, vorrei motivare il \ osiddetta" he ho messo nel titolo
di questa sezione. Ho inteso dire he il termine \ omposizione" ( ome pure
\addizione")e improprio, perpiu ragioni:
{ I terminiusati sembrano suggerireunruolo simmetri odelle duevelo itau
e v 0
, mentre in partenza tale simmetria non sussiste. Infatti v e v 0
sono
velo itadiun orpogeneri orispettoaduediversirif.,mentreuelavelo ita
di K 0
rispetto a K.
{ Parlare di \ omposizione" (e an or peggio di \addizione") sembra rendere
ne essaria la formagalileiana, hee appunto una sempli e somma.
(1)
(1)
Il termine \ omposizione" puo in realta essere ::: riabilitato a un livello superiore di
dis ussione,se alposto del orpoC pensiamo un terzorif. K 00
: allorala leggeinesame
diventa la legge di omposizione, in termini di velo ita, del gruppo di trasformazioni
(diLorentz) he fannopassaredaunrif.all'altro.
diando il moto di un orpo C, e i hiediamo ome le aratteristi he del moto
sitrasformano alvariaredelrif.dalqualelosistudia. Stiamoinsomma er ando
lalegge di trasformazione delle grandezze he des rivonoil moto,e inparti ola-
re della velo ita. In altre parole, er hiamo la risposta alla seguente domanda:
\nota la velo ita di C rispetto a K 0
, quale sara la sua velo itarispetto a K?"
La stessa domanda potremmo por i per qualsiasi altra grandezza inema-
ti a o dinami a: a elerazione, quantita di moto, forza, energia::: Al une di
tali grandezze potranno risultare le stesse in entrambi i rif. (saranno quindi in-
varianti) mentre altre ambieranno da K 0
a K: la velo ita e ovviamente tra
queste.
Detto tutto io, e ragionevole la domanda, he mi e stata e ettivamente
rivolta: per he nella mia trattazione della relativita [3℄ non 'e tra ia della
legge di omposizione (o addizione,o trasformazione)? Seguita da una se onda
domanda: seunovolessededurrelaleggeeinsteiniana onl'appro iogeometri o
da me sostenuto, potrebbe farlo, e ome?
Lamiarispostaallaprimadomandaimitavaquella famosadiLapla eaNa-
poleone: \non l'ho trattata per he non ne avevo bisogno." Alla se onda risposi
inve e: \ ertamentesi puo, madovreipensar i." Ci hopensato, equest'arti olo
ha lo s opo di esporre il risultato.
(2)
La s ena e i personaggi: il riferimento K 0
La s ena in ui si svolge il fenomeno he dobbiamo esaminare e piuttosto
naturale. Consideriamo due punti P e Q, fermi nel rif. K 0
a erte oordina-
te x 0
P , x
0
Q (x
0
Q
> x 0
P
). Il orpo in moto e s hematizzato in un punto materia-
le R, onvelo ita v 0
. R oin ide onP a un erto istante, e on Qa un istante
su essivo: queste due oin idenzesono dueeventi, he indi hiamo onA,Beai
qualiasso iamole oordinate spazio-temporali
t 0
A
; x 0
A
=x 0
P
t 0
B
; x 0
B
=x 0
Q :
In oin idenza on l'evento A fa iamo partire da P un lampo di lu e, he
raggiungera Q all'evento C, di oordinate
t 0
C
; x 0
C
=x 0
Q :
Iltutto e rappresentato nella g. 1.
(2)
Una trattazionenon troppo diversa, ma amio parerepiu ompli ata, si trova nel libro
diTayloreWheeler[4℄,es.3.11.
Eimportantesottolineareunaspettodeisimboliintrodotti. Inprimoluogo,
ho usato un arattere diverso per i punti e per gli eventi: \ alligra o" per i
primi, \tondo" per i se ondi. Se ondo, e piu importante: nella g. 1 i \punti"
sono rappresentati da rette, gli eventi da punti. Questoa ade per he gli even-
ti sono e ettivemente punti nello spazio-tempo, mentre quelli he ho hiamato
\punti"sonooggetti si idipi oledimensioni(i\punti materiali"dellame a-
ni a lassi a) he nello spazio-tempo hannouna storia, e quindi debbono essere
rappresentati dal loro diagramma orario, detto an he \linea d'universo." Nel
nostro aso, trattandosi di punti fermi o in moto uniforme, i diagrammi orari
sono rette.
x′
t′
K′
P Q
R
A
B
C
x′P x′Q
fig. 1
x t
K
P Q
R
A
B
C
fig. 2
Ilfatto heP eQsianofermiinK 0
(adi erenzadiR)giusti aunas rittura
ome x 0
A
= x 0
P
, a rigore s orretta: ha senso attribuire una oordinata x a un
evento, ma non aun punto (in generale). Solo per he P e fermo in K 0
, e quindi
il suo diagramma orario ha l'equazione x 0
= ost:, possiamo assegnare una x 0
an he al punto P.
Fra le oordinate degli eventi A, B,C sussistono delle ovvie relazioni:
x 0
B x
0
A
=v 0
(t 0
B t
0
A )
x 0
C x
0
A
=t 0
C t
0
A
(2)
he esprimono rispettivamente il fatto he il punto R ha la velo ita v 0
, e he la
lu e ha velo ita 1 (poniamo =1, omed'uso).
Dobbiamoora al olareladistanza(nellageometriadellospazio-tempo)fra
gli eventi A e B:
2
AB
=(t 0
B t
0
A )
2
(x 0
B x
0
A )
2
= 1 v
0 2
t 0
AB
2
(3)
dove abbiamo abbreviato t 0
B t
0
A
on t 0
AB .
AB
in funzione di t 0
CB
anzi he di t 0
AB
, e io puo farsi al modo seguente. Os-
serviamo he i primi membri delle (2)sono uguali, per ui onfrontando
t 0
C t
0
A
=v 0
(t 0
B t
0
A ):
Allora
t 0
B t
0
C
=(t 0
B t
0
A ) (t
0
C t
0
A
)=(1 v 0
)(t 0
B t
0
A )
e in ne
t 0
AB
=
t 0
CB
1 v 0
:
Sostituendoquesta nella (3)e sempli ando si arriva a
2
AB
= 1+v
0
1 v 0
t 0
CB
2
: (4)
Se ondo atto: nel riferimento K
L'idea entraledella dimostrazionee diesprimere
AB
intermini digran-
dezze misurate nel rif. K e onfrontare, tenendo onto he
AB
e invariante:
eiltempopropriodiRtra glieventiA eB.Sipro ede omeprima, onqual he
maggiore ompli azione dovuta al fatto he gli eventi B, C non hanno la stessa
oordinata xper he ilpunto Qsi muove,insieme onK 0
, onvelo itau ( g.2).
Alposto delle (2) abbiamo:
x
B x
A
=v(t
B t
A )
x
C x
A
=t
C t
A
x
B x
C
=u(t
B t
C )
(5)
dovenellaprimarigasivedelavelo itavdi RrispettoaK (quella hevogliamo
determinare)mentrenellase ondarigaapparean oralapropagazionedellalu e,
sempre on la stessa velo ita pari a 1 nelle nostre unita. La novita e data dalla
terzariga,dovees ritto heilpuntoQdoveavvengonoglieventiBeCsimuove
on la velo ita u.
(3)
Cal oliamo
AB :
2
AB
=(t
B t
A )
2
(x
B x
A )
2
=(1 v 2
)t 2
AB
(6)
(3)
Le oordinatespazio-temporalideglieventiA,B,Cnelrif.K, heabbiamousatonelle(5),
sonoovviamente onnesseaquelledeglistessieventinelrif.K 0
dalletrasfdiLorentz;ma
noinon faremouso diquesterelazioni.
AB CB
terza e onfrontando on la prima:
v(t
B t
A )=(t
C t
A
)+u(t
B t
C ):
Usando di nuovo t
B t
C
=(t
B t
A ) (t
C t
A
) si trova
t
AB
=
1 u
1 v
t
CB
e sostituendo nella(6):
2
AB
=(1 u) 2
1+v
1 v
t 2
CB
: (7)
Terzo atto: onfronto e risultato
Come avevo annun iato, abbiamo ora due espressioni per
AB
: una in
termini digrandezze relative al rif. K 0
(4) el'altra al rif. K (7). Dato he
AB
e invariante possiamo uguagliarle, e otteniamo
1+v 0
1 v 0
t 0
CB
2
=(1 u) 2
1+v
1 v
t 2
CB
: (8)
A questo punto si apis e per he usare t
CB e t
0
CB
. In K 0
gli eventi C
eBavvengononellostesso punto Q,per uitrai dueintervalliditempo 'euna
relazione sempli ee nota (la \dilatazione del tempo"):
t
CB
=
t 0
CB
p
1 u
2 :
Sostituendoquestanella(8)esempli andoarriviamoalrisultato(quasi) nale:
1+v 0
1 v 0
=
1 u
1+u 1+v
1 v
: (9)
Non 'e ormai he da risolvere la (9) rispetto a v per avere
v= v
0
+u
1+uv 0
: (10)
Per lo stesso prezzo possiamo an he ottenere la relazione inversa, risolvendo
la (9) rispetto a v 0
:
v 0
=
v u
1 uv
: (11)
biareiruolidiKediK 0
, etenerpresente helavelo itadiKrispettoaK 0
e u.
Pero il se ondopunto e deli ato: noneproprio ovvio he lavelo itarelativadei
due rif. ambi solo di segno misurandola da K o da K 0
, e bisognerebbe dimo-
strarlo. Volendo, sono proprio le (10), (11) a dare la dimostrazione: se v 0
=0
si ha v=u, mentre sev =0 allora v 0
= u.
Commento e omplemento
Leformule nali (10)e(11) sonostate ottenutefa endo usoes lusivamente
di onsiderazioni inemati he sulle leggi orarie dei punti P, Q, R, he sono
fa ilmente leggibili nei diagrammi delle gure. In piu e solo intervenuto un
prin ipio si o fondamentale: l'invarianza dell'intervallo (tempo proprio) fra
due eventi. In questo onsistono gli strumenti geometri i intrinse i, di ui si
parla nell'introduzione.
None forse super uoinsistere sull'importanzae utilita dei diagrammispa-
zio-tempo, ome quelli delle nostre gure, per trattare diverse questioni di re-
lativita. Un elen o (forse in ompleto) di o asioni in ui ne ho mostrato l'uso,
a parte ilgia itato [3℄, e dato da [5℄-[8℄.
Un omplemento he mi pare interessante, an he se non adatto a livello
li eale,eil seguente. Partiamodalla (9), fa endo le sostituzioni
v=tgh# v 0
=tgh# 0
u=tgh#
u
(il parametro # e omunemente hiamato \rapidita"). Otteniamo su essiva-
mente:
1+tgh# 0
1 tgh# 0
=
1 tgh#
u
1+tgh#
u
1+tgh#
1 tgh#
osh# 0
+sinh# 0
osh# 0
sinh# 0
=
osh#
u
sinh#
u
osh#
u
+sinh#
u
osh#+sinh#
osh# sinh#
exp(2# 0
)=exp ( 2#
u
) exp(2#)
#=# 0
+#
u
: (12)
La (12) mostra he la rapidita si ompone additivamente, ome la velo ita ga-
lileiana e a di erenza della velo ita relativisti a. Questa omposizione additiva
diventa parti olarmenteespressiva se, omea ennatonellanota (1)
, interpretia-
mo il orpo C ome un terzo rif. K 00
: per omposizione di trasf. di Lorentz la
rapiditaeadditiva.
[1℄ http://www.istruzionepi emo nte .it/ wp- on tent /up loa ds/ 2014 /07 /
per orso- urri ulare- fis i a 0001 .zi p
[2℄ E. Fabri: \La relativita: ome insegnarla?"; seminario al Congresso AIF,
Chian iano24{10{1991.
[3℄ E. Fabri: \Insegnare relativita nel XXI se olo";La Fisi anella S uola,Qua-
derno 16(2005).
[4℄ E.F.Taylor, J.A.Wheeler: Fisi adello spazio-tempo (Zani helli, 1996).
[5℄ E. Fabri: \Sul volo interstellare relativisti o"; lettera al Giornale di Fisi a,
19(1978), 75.
[6℄E. Fabri: \Dialogosul tempo relativisti o(e suibu hi neri): se ondagiorna-
ta"; La Fisi anella S uola, 17 (1984),133.
[7℄ E. Fabri: \Geometria dellospazio-tempo eparadossi relativisti i";La Fisi a
nella S uola,26 (1993), 6.
[8℄ E. Fabri: \Equivo i a elerati"(titolo mio); letteraa La Fisi a nella S uola,
36(2003), 48.
