Le e,5-8marzo2003
Per presentare una dis iplina uriosa e uno studio
stimolante, per potenziare passione e viva ita
intellettuale
C. Costabile (1)(2)
, S.Costabile (2)
,A. Guido (2)
, R.Santarossa
(1)
DipartimentodiMatemati a-UniversitadellaCalabria
(1)
DipartimentodiMatemati a-UniversitadellaCalabria
. ostabileuni al.it
Sommario
L'uso della matemati a nella so ieta e ambiatoprofondamente
negliultimide enni. Ciohain uitosulsuoruolonelper orsoedu a-
tivo hehaan heperso, os,unavisioneorgani a.
E' ne essario he la s uola della progettualita e dell'autonomia re-
uperi l'unitarieta del sapere, e ri onquisti una visione globale del
pro essoedu ativo.
Sindallas uoladibasepuoesserestimolatala reativitadiognistu-
dente, on una s uola he guidi l'alunno a ri er are la onos enza
nonsolo onlalogi aeilragionamento,maan he onl'intuitoela
fantasia e onuna s uola hestimolila uriosita, hesia attentaai
bisognidegli studentie henefavoris a ilprotagonismoinun lima
di ollaborazione.
Ovviamentenonefa ileabbandonarela omodaviadeiprogrammi
tradizionali,i onsueti riteridiveri aedivalutazione. Laviadella
sperimentazioneepiu omplessaeris hiosa. Nellavorosipresentano
aspettiespuntiparti olaridiargomenti herendono lamatemati a
uriosaeda as inantequaliibioritmiedifrattaliestimolantequale
la rittogra a.
Si dis utono, quindi, elebrazioni di organizzazioni mondiali quale,
l'UNESCO,e onquisteso ialie ivilidigrandi s ienziati hesus i-
tanofortipassioniedevidenzianoprofondo spirito riti o.
In nesipresentanoargomenti ludi iedivertenti heri hiedono re-
ativitaefantasiamostrandomatemati a hestimolaviva itadipen-
sieroepotenziale apa itaintellettuali.
1 Introduzione
Negli ultimi de enni abbiamo assistito ad uno sviluppo vertiginoso delle
s ienze e ad un impetuoso progresso della te ni a grazie, an he, ad una
pervasivadi usione deimoderni mezzidi al olo hehanno ambiato pro-
Tutto ioha in uito sulruolo esulla funzione avutedallamatemati anel
i lodeglistudiedhaprovo atounatendenzaallaframmentarietadelper-
orsoedu ativofa endogli,quindi,perdereunavisioneorgani a.
E'ne essario helas uoladellaprogettualitaedell'autonomiadiaunsenso
alfares uola,re uperandol'unitarietadelsapere,eri onquistiunavisione
globale individuando i ardini su ui fondare il pro esso edu ativo, pro-
movendolapersona,lesuepotenzialita,lesueaspirazionielesueattitudini
ossialasua reativita.
Questa, infatti, deve essere intesa ome uidita, originalita, essibilita di
pensiero, elaborazione di idee nuove. Sin dalla s uola di base puo essere
stimolatala reativitadiognistudente, onunas uola heguidi l'alunnoa
ri er arela onos enzanon solo onlalogi aeil ragionamento, maan he
onl'intuitoelafantasia, e onunas uola hestimolila uriosita, hesia
attenta ai bisogni degli studenti e he ne favoris ail protagonismo in un
limadi ollaborazione.
Ovviamentenonefa ileabbandonarela omodaviadeiprogrammitradizio-
nali, i onsueti riteri di veri a e di valutazione. La via dellasperimen-
tazioneepiu omplessaeris hiosa.
2 Matemati a uriosa
Conl'insegnamentotradizionaledellamatemati asi trasmettonoquotidia-
namente saperi od abilitaoperative he aidis entiquasi sempre risultano
aridiepesanti. Pertanto, allos opodisus itareamoreeinteressenei on-
fronti delladis iplina, pergli insegnantievivae sentita l'esigenzadi pre-
sentareargomentisempli i hepossanosus itare uriositaedaltempostesso
serviredaspuntoperapprofondimenti.
Un argomento he puorisultare adatto allo s opoerappresentato dal bi-
nomio, matemati a e bioritmi. Tale tema he ollega interessi prati i ed
esistenziali on questioni teori he di natura astrologi a puo in uriosire i
dis entie ondurli, os,inmodonaturaleversol'approfondimentodiargo-
mentidiaritmeti aelementare.
E' risaputo he a antoalla ultura hepossiamo dires ienti a,neesiste
un'altra, viva ai nostri giorni forse non meno di ome era viva in tempi
he usiamo ritenere oggimeno \illuminati", alla qualegli uomini si rivol-
gonoquandovoglionosuperaregliinesorabilidivieti dellanatura. Comesi
possaguariredamalattie in urabili,prevedereilfuturo, otteneresu esso,
amore,fama,denaro,et .,tuttoquestoepromessoaglia quirentidide ine
di opus oli,o an he verie propri libri, he fanno bella mostra di se nelle
nostreedi ole,oaipotenziali lientiesegua idiguaritori,maghi,veggenti,
he ifanno pervenireiloro messaggisenza fati aa ausa delladi usione
deimezzidi omuni azione.
Figura1:
dettibioritmi, la ui onos enzapermetterebbe di \evitare in identi peri-
olosi,superare risipsi ologi he, onos ereinanti ipoladatadinas itae
ilsessodeinostri gli,et .",dellaqualesieparlato,esi ontinuaaparlare
ditantoin tanto, inrivisteegiornalidigrandedi usione.
Glistudentisonomessi, os,in uriositadiqualesiail ontenutodi questa
teoria, hesipuoillustrarebrevementeinquestomodo. Basteradire head
ogniessereumano,apartiredalgiornodellasuanas ita,matenendo onto
an he del \temperamento" espresso dal segno zodia ale di appartenenza,
sonoasso iatideiritmivitali, ias unoaventeundiversoperiododigiorni,
in orrispondenzaaiminimiomassimideiqualisiattraversanofasi riti he
odi grandipotenzialita,spe ialmente in oin idenza di minimi omassimi
multipli. Ad esempio,a partiredal giorno dellasuanas ita, unindividuo
dopo23giorniattraversaunafase riti adelproprioritmosolare(S)di 23
giorni orrelatoallostato\ si o",e os an oradopo46(2x23)giorni,et ..,
inoltreattraversaunafase riti adelritmolunare(L), orrelatoalleproprie
apa itasensitive,dopo28giornie os an oradopo56(2x28)giornie os
permultipliinteridi28. Ovviamente,dopo23x28=644giorni,attraversera
unafasedoppiamente riti a,elostessodopo1288=2x644giorni,et ... .
E'evidente hepersoddisfarelaloro uriositadideterminareilorobioritmi
sarannoindottisenzaa orgerseneadeser itarsisulleoperazionidiaritme-
ti a.
3 Matemati a a as inante on i frattali
Ifrattali, onleloroformemisterioseea as inanti,sus itanolanostra
meraviglia e i olpis ono innanzitutto per la loro bellezza. Ci sono dei
paesaggifrattali,oggi usatilargamentenegli e ettispe iali dei lmsenei
videogio hi, hequasinonsiries onoadistingueredallarealta;altriinve e
sembranoveriepropriquadriastratti.
lo ha a rontato, determinando la lunghezza di una osta marina. Si puo
partire,adesempio,dauna artinadell'Italiaeavvalendosidiquestatentare
di onos ernel'areaelalunghezza omplessivadellesue oste.
Figura2:
Per quanto riguarda l'area si puo pensare di prendere una arta geo-
gra a rappresentante tutta l'Italia, quadrettarla e ontare i quadretti.
Moltipli andoilnumerodeiquadrettio upatiperl'areadiogniquadretto
siottiene onuna ertaapprossimazionel'areadell'Italia. Perottenereun
risultatopiupre isosipuopensare(idealmente)diprenderedelle artegeo-
gra hesemprepiu dettagliate. Oltreun ertolimitele artenonsaranno
piu utiliesipotrebbeaddiritturamisuraredal\vivo"lasuper iedell'Ita-
lia. Perandarean oraoltresipuopensarediprenderedegliingrandimenti
emisurarel'areasugliingrandimenti. Confrontandoirisultatiottenuti on
queste misure su essivesi nota he le aree stimate tendono ad approssi-
mare on sempre maggior pre isione un determinato valore. Tale valore
limitepuoesseredibuongrados elto omemisuraveradell'areadell'Italia.
Figura3:
Vediamoora osasu ede sevogliamoappli are lostessopro edimento
perlalunghezzadella osta. Comeprimaapprossimazionesiprendela ar-
ta dell'interaItalia, si ostruis euna poligonale he approssimila osta e
si onsideralalunghezzaditale poligonale. Poisiprendonodelle artepiu
dettagliate,nellequali,quello heprimaeraapprossimato onunsegmento
tureopromontori. Approssimandoquindi meglio siotterrauna lunghezza
maggiore di quella ottenuta pre edentemente. Sesi ingrandis e an orala
osta si ottengono sempre maggiori dettagli he ad ogni passaggio fanno
aumentare onsiderevolmenteilrisultatoottenutoinpre edenza. Lemisure
hesiottengono res onoadognipassaggioegrossomodo res onosempre
dellastessaquantita. Quello hesu edee hesesivolessepassareallimite
il risultato hesi ottiene sarebbein nito. Dunque la osta dell'Italiapuo
Figura4:
essere preso ome primo esempio di frattale. Piu in generale un frattale
puoesserepresentato omeunoggetto hemanmano hevieneingrandito
presentasemprenuovidettagli.
Figura5:
4 Matemati a he sus ita passione
L'interesseperlaMatemati asembraattraversareunperiododiÆ ile,dovu-
toadiversimotivi,fraiqualiuna ertariluttanza,dapartedelmondoa a-
demi o,adaprirsiversolenuoveappli azioni. D'altro anto, 'eun'oggetti-
vadiÆ oltanelrius ireadadeguarsiai ambiamenti hesisusseguono on
granderapiditae,perquesto, 'ein orsonelmondos olasti oea ademi-
o,unviva edibattito suimodi diinsegnareedi divulgarelaMatemati a,
an heinrelazioneallere entiriformedell'UniversitaedellaS uola.
L'anno 2000e statodi hiaratodall'UNESCO, ANNO MONDIALE DEL-
LA MATEMATICA, ma e po o risaputo. L'informazione sulle iniziative
delleorganizzazioni mondialinon viene, in generale, fa ilmente trasmessa
al grande pubbli o, a maggior ragione gurarsi, se ad essere elebrata e
elebrativa,leemissioni lateli heitaliane, nelprogrammadel2000,hanno
inseritounfran obollodedi atoataleevento.
Nel simbolo uÆ iale e possibile individuare sullo sfondo di un frattale il
nastrodiMoebius, gurageometri atralepiu a as inanti,eunasferain-
s rittain un ilindro he,adiredi Ci erone,erariprodottasullatomba di
Ar himede. Tale a ostamento vuolemetterein risalto la ontinuitafra il
passatoeilfuturo dellaMatemati a.
Esenzadubbiovero henonesemprefa ileottenere,in os po ospazio,
un messaggio hiaro e onvin ente, ma an he un'emissione lateli a puo
risultare unbuon vei olopubbli itario edi divulgazione. L'esigenza di in-
dividuaremessaggia attivantirelativialla Matemati ahaspintol'E.M.S.
(European Mathemati al So iety) a indire, nel 1999, un on orso per la
realizzazionedipostersullaMatemati a. Manifestieposterdevonorispon-
dereallostessos opodi attrarrel'attenzionedelpubbli oin po otempoe
po o spazio.
5 Matemati a stimolante: la rittogra a
L'introduzionedella rittogra apuorappresentareunmodostimolanteper
presentare e onsolidare leidee in un vastonumero di dis ipline matema-
ti he ed informati he, dallastatisti a al al olo ombinatorio, dall'aritme-
ti amodulareallaprobabilita,dallalinguisti aalla programmazione. Con
la rittogra asi possonopresentarein lasseinmododivertenteenonba-
naleargomentipiuomenotradizionaliperseguendonuoviobiettivienuove
metodologienelladidatti amatemati ae ontemporaneamentepotenzian-
doleabilitalogi hedegliallievi,oggi,posseduteinformasemprepiudebole
lievinel problem solving e leloro apa itadeduttive in unamaniera hee
direttamente ollegataal linguaggio naturale. In ne onla rittogra asi
sperimenta un appro io dis iplinare empiri o, per osdire, in una situa-
zionedi laboratorio, nellaqualeil omputerela al olatri eaÆan ano lo
studioin modonaturale.
La rittogra a,etimologi amentela s ienza he studiale s ritture segrete,
enata omebran adellamatemati aedell'informati ainquantofaampio
ri orsoate ni hediteoriadeinumeriediteoriadell'informazione. E'una
dis iplinaanti hissimausataprin ipalmentedaregnanti,imperatorienobili
pers ambiaremessaggisegreti. Inepo hemenoremotehannoutilizzatola
rittogra aambientimilitari, orpidiplomati i, ultoridi rona he,disto-
rieedidiaripersonaliedamantisegretiedin onfessabili.
Oggila rittogra aeunargomento ulturale heappartieneal ittadino. In
un'epo ain ui trasmettiamovia internet il numerodella arta di redito
per i nostri a quisti o ri ari hiamo il telefonino on un odi e di auten-
ti azione, hiunque dovrebbe essere onsapevole di osasiano i sistemi di
protezione tatti i della si urezza e della segretezza, ome le password, e
saperlidistingueredaquellistrategi ieprofessionali.
6 Matemati a he potenzia reativita e fantasia:
i quadrati magi i
Un quadrato magi oe ladisposizione aritmeti a di erti numeri, elemen-
ti di una tabella quadrata, disposti in modo tale he lungo qualsiasi la,
ompreselediagonali,ilvaloredellasommasiasemprelostesso. Iquadrati
magi ihannosemprea as inatoperlaloroparti olarita,nonsolonumeri a.
L'aggettivomagi ovuolequali are aratteristi he eproprietae ezionali
deiquadrati.
Inal uneis rizionigre heelatine ompareunparti olarequadratomagi o,
non ompostodanumeri,madalettere.
Nessunone onos eilsigni ato,an hesesipensa hefosseunsimbolo ri-
stiano,forseri ondu ibileaqual heritooprati amagi adisettereligiose.
Puoesseredivertentetentaredi apir iqual osa,ri ettendoadesempio,sul
fatto heledesinenzepossonoesserestatetron ateoalterateperrispettare
lamagi ita deltutto:
Figura6:
L'idea hepossaessereunsimbolo ristianoderivadalfatto he onle
suelettereepossibile omporrel'is rizione:
Figura7:
onA hestaperalfaeO hesta peromega,prin ipio e ne.
Ilquadrato magi oe, quindi, una matri enni ui elementi, numeri in
generedaunoan 2
,senzaripetizioni, inmodotale helasommaperriga,
per olonna eper diagonalesia ostante. In stretto legame onla magia,
si noti he questo tipo di quadrati e di uso in tutte le ivilta, spesso in
ollegamento all'astrologia. In passato, in isi su una lastra d'argento, si
riteneva he proteggesserodalla peste, e tuttoravengonousati in Oriente
omeamuleti.
Cos stori amente, Agrippa, un famosoo ultista del '500, ostru quello
di ordine3,unquadratodi lato3,edan oradi ordine4,..., noal9,de-
du endol'imperfezione dellaCreazione,basatasuinoti4Elementi: Fuo o,
Terra,AriaeA qua,dalfatto henonfossepossibile ostruireunquadrato
magi odi4 aselle,ossiadiordine2. Quelpoveroquadrato os imperfetto
divenneallorail simbolodel pe atooriginale. Potenza deisimboli!
Infatti non e possibile disporre i primi 4 numeri in modo he venga
rispettatalaregoladellasomma ostante:
Figura8:
Si puos oprire heesistonoquadrati onunadisposizioneordinatadei
numeri,altriin ui,almenoinapparenza,man aogniregolarita.
7 Matemati a per gio o: le gare di matemati a
L'in ontro degli studenti on i dati problemati i della realta, on i fatti
divenuti oggetto di studio, matematizzati, si rivela sempre stimolante,sia
sottoil pro lo ulturale, siasottoil pro loformativo. Tali obiettivi sono
sottesiadiniziativestimolanti,qualilegaredimatemati a. L'obiettivopri-
mario,eambizioso,equellodi oinvolgereunagrandequantitadi studenti
edo entiinun'attivitagrati ante;infattiquestisonoinvitatia imentarsi
onproblemi, domande, quesiti, al di fuori dell'insegnamento tradizionale
dellamatemati a. Tale appro io, sottoformadi ungio o,ein linea oni
nuoviprogrammidellas uoladi base, hemettonoinprimopianoilvalore
edu ativodellamatemati aqualedis iplinaaltamente formativaeri adi
impli azionisulpianointellettivo, ulturale,s ienti oete nologi o.
Le garedi matemati a, on la loro grande valenza edu ativa, valorizzano
ledotilogi o- reativedeglistudenti, heris hianodi essereannebbiatenel
grigioredellaroutines olasti a, ed inoltre mettono in risalto i giovanita-
lenti matemati i fa endoin modo henon si disperdano evenganoinve e
oltivati onstrategiemirate allosviluppodella reativita.
Ma aÆn he tale auspi io non resti un desiderio utopi o, on le gare si
er heradi far a ostare gli studenti alla matemati a in modo nuovoper
le moltepli i impli azioni ognitive ed operative he essa fornis e in ogni
ambito ulturale,qualevei oloprivilegiatodisviluppointellettualeingene-
rale e logi o- reativoin parti olare e quale insostituibile linguaggio nella
omplessa ivilta s ienti a e te nologi a he pervade ogni aspetto della
nostravita.
Infatti, la tipologia dei problemi he vengono proposti presenta la mate-
mati ainunaformaa attivante, ome ampodis dae,soprattutto, ome
fontedidivertimentointellettuale,allari er adisoluzioniedidimostrazioni
diÆ ili da onquistare. Gli uni i requisiti ne essariper poter parte ipare
sonol'intuizioneelafantasia.
8 Matemati a viva e on i numeri palindromi
Un argomento viva e ed interessante da proporre ai nostristudenti, al di
fuoridei programmitradizionali,equellodeinumeripalindromi, hesono,
perde nizione,tuttiqueinumeri hesonougualiseletti dasinistraoppure
dadestra. E oal une uriositasuquestinumeri.
La data 20/02/2002, e una data \super palindroma"! in un anno palin-
dromo! Il20Febbraio2002eunadatadoppiamentepalindroma,infattigia
l'anno2002epalindromoinse',edinpiuseaggiungiamogiornoemeseotte-
niamoilnumero20022002,an h'essopalindromo. Si trattaquindidavvero
diuna giornata\superpalindroma"!
L'eventoinseede isamenteraro,infattibastanopo himinutidiri essione
pervedere hel'ultimavolta he ie apitatalastessa osaestatonellon-
tano11Novembredel1111(11=11=1111),elaprossimavoltasu ederail21
Di embre2112 (21=12=2112),frapiu di 110anni! Performareunnumero
palindromo si puoiniziares rivendoin la apartire da1 unnumeropari
dinumeri onse utivi,adesempio123456epoiritornandonuovamentea1
si ompone12345654321, heovviamenteepalindromo, edinparti olaree
divisibileper11,numeroan h'essopalindromo. Ilquozientedelladivisione
12345654321: 123456e1122332211. Ora1122332211diviso11fa102030201
heean orapalindromo, edin ui fraogni ifra nonnulla s einterposto
unozero. Tral'altro, inumeri121,12321,... sonolepotenzesu essivedi
11,infatti121=11 2
,12321=11 3
e os via. Iri er atoripazzisisonopoi
tremendamente divertiti a trovarei piu grandinumeri quadrati, ubi i, ...
hesianodeipalindromi. Finoraadesempiosiha heilpiugrandequadrato
palindromoe:
4211672540455378958718869999688178598735540452761124
unsimpati onumerodi 52 ifre,mentreilpiugrande ubopalindromoe
10662526601=2201 3
:
Esisteuna ongetturatuttoranondimostratariguardanteproprioinumeri
palindromi. A tal riguardo sipuo hiedere: \Prendi unnumero, invertile
sue ifreesommailnumero heottieniaquelloiniziale. Seilrisultatonone
unnumeropalindromo,ripetiilpro edimento". E'vero heinquestomodo
partendo da qualunque numeroprima opoi si ottiene sempre unnumero
palindromo.
Peresempio,siprendailnumero87,allorasiavra:
87+78=165
epoi
165+561=726
e ontinuandoil pro edimento siavra
edalpassosu essivosiotterra
1353+3531=4884:
Insoli4passaggiabbiamoottenutoilnumeropalindromo4884apartiredal
numerooriginario87. Sesiavralavogliadiprovareadappli areilpro edi-
mento isia orgerabenpresto helamaggiorpartedeinumeri onvergono
e ettivamenteversounnumeropalindromoinpo hissimipassaggi,quindisi
potrebbeavanzarel'ipotesi he ioa adainunnumero nitodi iterazioni
per qualsiasi numero di partenza s elto. Ebbene, sembra essere os per
prati amentetuttiinumeri,tranne heperpo hissimidiessi. Ilpiupi olo
numero he si \ostina" a non diventare palindromo e 196,e perquesto il
problema in questione e an he noto ome problema del 196. Sono state
infatti al olateal omputerpiudi40milionidiiterazionidelpro edimento
senza rius ire ad ottenere un numero palindromo! Sembra proprio he il
196sia un \numero maledetto" per i palindromi. L'enigma resta tuttora
aperto,quindi,enessuntentativodidimostrazionematemati adellapossi-
bilita(o impossibilita) hela ongetturasiaverahaavutosu esso. Forse
soloun'intuizione genialeoppure omputerpiupotentisaprannodir isela
ongetturaeveraofalsa... Adessosianti ipaqual hesempli e uriositasul
prossimoannopalindromo2112,an heper henoinon isaremoperpoterne
parlare! E'possibiles rivere2112 omeprodottodi fattorinumeri i: 2112
=3266allorapossiamodire he32eundivisoredi2112,mainparti olare
siha: 2112=32 2
+32 1
+32 1
+32 2
.
2112esommadipotenze hehannoperbase32eperesponentile ifredel
numerostesso. Seorapassiamoall'altronumero66sempredivisoredi2112,
otteniamo he: 2112=66 2
=2 66.
Con ludiamo on un'ultima uriosita su questo numero: 2112 = 2112,
ossiailnumerohatraisuoidivisoriinumeri hesiottengonoseparandole
primedue ifredallese ondedue.
9 Con lusioni
Ipo hiesempiforniti bastano,anostromodestoavviso,perprovare he:
Ilvaloredellamatemati aqualedis iplinaaltamenteformativaeri a
diimpli azionisulpianointellettivo, ulturale,e onomi oete nologi-
o.
Aldiladellospiritoinnovativoedell'o asionediin ontroedis am-
biotrastudentiedo enti,lamatemati apuovalorizzarel'intelligenza
dei nostri studenti migliori e nel ontempo, re uperarequei ragazzi
he an ora non avessero avvertito quel parti olare interesse per gli
studis ienti i,o rendoloroopportunitadi imentarsiinuna osta-
mento diverso alla matemati a, piu nuovo emotivante an he al ne
diperseguiregrati azioniin unimpegnomentale heri hiederigore
