Prova scritta di Fisica Matematica 1 per il corso di laurea in Matematica 2 Luglio 2018

Prova scritta di Fisica Matematica 1 per il corso di laurea in Matematica

2 Luglio 2018

Un sistema meccanico `e costituito da un punto materiale P e da un anello, i quali si muovono rispetto ad un riferimento inerziale 0xy, con asse delle y verticale ascendente. Il punto materiale P `e di massa m. Esso `e vincolato a muoversi sull’asse delle ascisse x. L’anello `e perfettamente rigido e di densit` a di massa omogenea al suo interno, `e di massa M , di centro C e raggio R. Esso

`e vincolato a rotolare senza strisciare su una guida rettilinea orizzontale, che `e posta in corrispondenza all’ordinata y = −R ed `e da considerare di lunghezza infinita. Una molla ideale, di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, collega il centro dell’anello C a P _⋆ , il quale si muove sulla curva di equazione y = −R e ^{− x}

^/R

in modo tale da mantenere lo stesso valore della coordinata x del punto P (in altri termini, P `e la proiezione di P _⋆ sull’asse delle ascisse).

La massa di P _⋆ `e da considerarsi trascurabile; invece, P <sub>⋆</sub> `e dotato di carica elettrica q, che `e soggetta agli effetti indotti da un campo elettrico uniforme di norma uguale a E, parallelo all’asse delle ordinate y, ma diretto con verso discendente.

E da intendersi che tutti i parametri del problema, ovvero m , M , R , k , q ` e E , abbiano valori reali positivi, fino a quando non verr` a specificato diver- samente. Si supponga inoltre che i vincoli siano ideali e tali che i punti P e P _⋆ possano attraversare l’anello senza scontrarsi con esso. Si risponda alle domande seguenti.

(1) Si scrivano la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Lagrange.

(2) Si determinino tutte le configurazioni di equilibrio del sistema e se ne studi la stabilit`a al variare del parametri.

(3) Si consideri ora un sistema meccanico simile a quello descritto inizial- mente nel testo, a cui vengono apportate le seguenti variazioni. In primo luogo, si rimuovano l’anello e la molla (in altri termini, si ponga M = k = 0). Inoltre, tutto il sistema meccanico `e ora da considerarsi non inerziale, perch´e `e posto in rotazione, con velocit`a angolare uniforme Ω attorno all’asse y.

(3A) Si scriva la Hamiltoniana che descrive il moto del punto P nel nuovo sistema meccanico.

(3B) Si discuta la condizione per cui l’origine `e un punto di equilibrio

stabile. Quando tale condizione `e verificata si calcoli il periodo nel

limite di piccole oscillazioni del punto P intorno all’origine.

(3C) Si consideri ora il caso in cui i valori dei parametri sono fissati in modo tale che m = R = q = E = Ω = 1. Inoltre, si assuma che il punto P `e soggetto a una forza dissipativa di tipo F = −λv, dove λ = 1/4 e v `e proprio la velocit`a del punto P . Si studi il moto che fa seguito a condizioni iniziali tali che, al tempo t = 0, il punto P si trova nell’origine con velocit`a v ⁰ = 10 . Si dimostri che

t→∞ lim x(t) = +∞ ,

dove x(t) `e la legge del moto che fa seguito alle suddette condizioni

iniziali.