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1. Considerare l’applicazione lineare F

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Academic year: 2021

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(1)

1. Considerare l’applicazione lineare F

k

: R

3

−→ R

3

definita da

F

k

 x y z

 =

2x − ky + 4z

(1 + k)x + (2 − k)y + (k − 1)z x + k

2

y + (1 − 2k)z

al variare del parametro k ∈ R.

(a) Per quali valori di k, F

k

ammette inversa? Calcolare, per tali valori, il determinante della matrice associata ad F

k−1

.

(b) Determinare una base per il nucleo di F

k

ed una base per l’immagine di F

k

.

(c) Stabilire per quali valori di k il vettore (1, −2, −1) appartiene all’im- magine di F

k

.

2. Determinare autovalori ed autovettori dell’applicazione lineare associata alla matrice

A

k

=

k − 9 6 k − 1

− 12 k + 9 k − 2

0 0 k − 3

Stabilire per quali valori di k l’applicazione lineare associata ad A

k

`e diagonalizzabile.

3. Sia T : V −→ V una trasformazione lineare (i.e. un opertore lineare).

(a) Si diano le definizioni di autovettore e di autovalore per T .

(b) Si definisca il polinomio caratteristico di T e si discuta la sua relazione con gli autovalori di T .

(c) Enunciare un criterio per la diagonalizzabilit` a dell’operatore T .

1

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