Integrando per parti, si ottiene :

Analisi Matematica - Corsi A , B , R Prova scritta del 12.09.08 - Soluzioni

1.

Integrando per parti, si ottiene :

2 _{x + 4} logx - 2 x + 4

dx

 x ^.

Nel nuovo integrale si pone x + 4 = t e dunque x = t

– 4 , dx = 2 t dt :

2

2 2

t 4 1 1

2 dt = 2 1 + dt = 2 1 + - dt = t - 2 t + 2

t - 4 t - 4

   

   

   

  

= 2 t - 2 x + 4 - 2 t + log + c = 2 x + 4 + log + c

t + 2 x + 4 + 2

 

 

 

   

    .

2.

La funzione è dispari e dunque possiamo limitarci a studiarla per le x positive. I risultati successivi si riferiscono a questa limitazione.

La funzione può essere riscritta nella forma log x - 2 log x - 2

f ( x ) =

x .

C.E. x > 0

SGN

LIM per x → 0 f ( x ) → +∞ as. verticale per x → +∞ f ( x ) → 0 as. orizzontale.

DRV f ’ ( x ) = 4 log x - log x

x

DRV

f “ ( x ) =

2 3

2 ( log x - 5 log x + 2 )

x

= exp ( ( 5 - 17) / 2 ) , = exp ( ( 5 + 17) / 2 )

 

= exp ( ( 5 - 17) / 2 )



= exp ( ( 5 + 17) / 2 )

 GRAFICO

Sia per x → 0 che per x → +∞ risulta f ( x ) ≈ log

x / x > 1 / x . Entrambi gli integrali divergono.

3.

Il polinomio caratteristico k

– 2 k – 2 ha radici complesse 1 ± i , a cui corrisponde per l’equazione omogenea una base di soluzioni data dalle funzioni e

cosx , e

senx .

Per trovare una soluzione particolare dell’equazione completa, passiamo in campo complesso sostituendo il termine noto con e

. Cerchiamo una soluzione particolare (complessa) nella forma A

e

. Sostituendo nell’equazione, si trova che deve essere A = ( - 1 + i ) / 4 . Una soluzione

particolare reale si trova prendendo la parte immaginaria della soluzione complessa così trovata, cioè ( cos 2x – sen 2x ) / 4.

In definitiva dunque l’integrale generale dell’equazione è dato da : y ( x ) = c

e

cosx + c

e

senx + ( cos 2x – sen 2x ) / 4.

Imponendo le condizioni iniziali, si trova che deve essere

c

+ ¼ = 0 , c

+ c

– ½ = 0 cioè

c

= - ¼ , c

= ¾ .

4.

3 n n

n 4

n + 4 x a = x

n n + 1 

Applicando il criterio della radice o quello del rapporto, si trova il limite | x | . Dunque :

se | x | < 1 la serie converge se | x | > 1 la serie non converge.

Per x = 1 , a

≈ 1 / n e la serie diverge.

Per x = -1 , si ottiene una serie a segno alterno che converge per il teorema di Leibniz. Infatti in questo caso si ha

a

= ( -1 )

n + 4

n + 1 .

Il termine n + 4

n + 1 tende a zero decrescendo; per provare la decrescenza si può considerare la funzione f ( x ) =

3 4

x + 4

x + 1 e osservare che la sua derivata

 

6 3 2

4 2

- x + 16 x + 3 x

x + 1 è negativa per x

sufficientemente grande ( il denominatore è positivo, il numeratore tende a -∞ per x → +∞ ).