Ulteriori esercizi svolti

(1)

Ulteriori esercizi svolti

Effettuare uno studio qualitativo delle seguenti funzioni

1) 1

) 4

( ₂

2

−

= − x x x

f 2) f(x)= x+1⋅e⁻⁽^x⁺¹⁾ 3) ) 1 ( = _x−

x

e x e f con particolare riferimento ai seguenti aspetti:

a) trova il dominio di f

b) indica quali sono gli intervalli in cui f(x) risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni con gli assi

d) studia il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio, determinando eventuali asintoti

e) calcola la derivata prima e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente, determinando eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale

f) laddove richiesto, calcola la derivata seconda e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l’alto e quelli in cui la concavità è verso il basso, determinando eventuali flessi

g) disegna un grafico approssimativo in un opportuno sistema di riferimento.

Non è richiesto lo studio della derivata seconda nell’Esercizio 2.

(2)

Soluzioni

Esercizio 1 Dominio

Dobbiamo capire per quali valori del numero x, è possibile calcolare il numero 1 4

2 2

−

− x

x , cioè effettuare la divisione di x² – 4 per x² – 1. Ebbene, tale divisione è possibile effettuarla a patto che il divisore x² – 1 sia diverso da zero. Pertanto il dominio sarà dato da tutti i numeri reali eccetto quelli per i quali x² – 1 = 0.

Ma x² – 1 = 0 per x = 1 oppure x = -1, quindi il dominio è dato dall’insieme D = R – {1,-1} = (–∞,–1) ∪ (–1,1) ∪ (1,+∞).

Intervalli di positività/negatività

Dobbiamo trovare i valori del x del dominio per i quali f(x) > 0 e, quindi, quelli per i quali f(x) < 0.

Si tratta dunque di studiare la disequazione

1 0 4

2 2

− >

− x

x .

Prima di tutto studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore.

Si ha che:

- il numeratore x² – 4 è positivo per x < -2 oppure x > 2, e negativo per -2 < x < 2 - il denominatore x² – 1 è positivo per x < -1 oppure x > 1, e negativo per -1 < x < 1.

Riportiamo queste informazioni:

-2 2

x² – 4: ---◦---◦---

x² – 1: ---◦---◦--- -1 1

La frazione 1 4

2 2

−

− x

x è positiva quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi, e questo accade per x < 2 oppure -1 < x < 1 oppure x > 2. In tutti gli altri intervalli la funzione è negativa.

Riassumiamo i risultati ottenuti rappresentando graficamente il dominio e sotto gli intervalli dove la funzione è positiva (ci saranno utili, per esempio, quando calcoleremo i vari limiti):

-1 1

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬

-2 -1 1 2

+ + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + +

+ + + + + + + + - - - - - + + + + + + + +

+ − + − +

(3)

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con l’asse x. L’asse x è la retta di equazione y = 0. Le sue intersezioni con la curva

1 4

2 2

−

= − x

y x sono date dalle soluzioni del sistema







=

−

= − 0

1 4

2 2

y x y x

cioè (sostituendo la seconda equazione nella prima)

1 0 4

2 2

− =

− x

x .

(In altre parole, stiamo cercando i valori di x per le quali la funzione si annulla, e quindi tocca l’asse x).

La frazione 1 4

2 2

−

− x

x è 0 se e solo se il numeratore x² – 4 = 0. Questa equazione di secondo grado ammette come soluzioni x = 2 e x = -2. Otteniamo dunque i punti di intersezione A(-2,0) e B(2,0).

Intersezioni con l’asse y. L’asse y è la retta di equazione x = 0. Le sue intersezioni con il grafico della funzione saranno dunque date dalle soluzioni del sistema







=

−

= − 0

1 4

2 2

x x y x

Sostituendo la seconda equazione nella prima, otteniamo

1 4 0

4

0 =

−

= −

y .

Pertanto otteniamo un solo punto di intersezione, C(0,4).

Rappresentiamo sugli assi cartesiani le varie informazioni che abbiamo sinora ottenuto.

Per rendere più visibile il grafico della funzione, utilizzeremo due diverse unità di misura sull’asse x e y.

Tracciamo i punti A, B, C trovati (per tali punti passerà il grafico della funzione), ed eliminiamo le zone del piano cartesiano dove siamo certi che il grafico della funzione non può passare. Per esempio, per -1 < x < 1 sappiamo che la funzione è positiva, quindi eliminiamo l’insieme dei punti che hanno ascissa nell’intervallo [-1,1] e ordinata negativa.

(4)

Comportamento agli estremi del dominio. Asintoti

Per come è definito il dominio, dobbiamo calcolare i seguenti limiti:

) ( lim f x

x→+∞ , lim f(x)

x→−∞ , lim ( )

1 f x

x→−⁺ , lim ( )

1 f x

x→−⁻ , lim ( )

1 f x

x→⁺ , lim ( )

1 f x

x→⁻ .

Innanzitutto

1 lim ₂ 4

2

−

+∞

→ x

x

dà luogo ad una forma indeterminata

∞∞ . Risolviamo tale forma indeterminata mettendo in evidenza, separatamente a numeratore e denominatore, il monomio in x di grado più alto:

1 1 1 1 4 1 lim

1 1 4 1 lim

lim 4

2 2

2 2 2

2

=

−

=



 



 −



 



 −

− =

−

+∞

→ +∞

→

x x x x

x x x

x

x x

x ,

dato che 4 0

2 →

x e 1 0

2 →

x quando x tende a +∞. Quindi la retta y = 1 è un asintoto orizzontale.

Analogamente si ha:

1 1 1 1 4 1 lim

1 1 4 1 lim

lim 4

2 2

2 2 2

2

=

−

=



 



 −



 



 −

− =

−

−∞

→

−∞

→

−∞

→

x x x x

x x x

x

x x

x .

x C ●

y

● ● A -1 1 B

(5)

Pertanto la retta y = 1 è un asintoto orizzontale anche per x → -∞.

Inoltre:

−∞

− =

−

→+ 1

lim ₂ 4

2 1 x

x

x , perché il numeratore tende ad un numero, il denominatore tende a 0 e immediatamente a destra di 1 la funzione è negativa;

+∞

− =

−

→− 1

lim ²₂ 4

1 x x

x , perché il numeratore tende ad un numero, il denominatore tende a 0 e immediatamente a sinistra di 1 la funzione è positiva;

+∞

− =

−

− +

→ 1

lim ₂ 4

2 1 x

x

x , perché il numeratore tende ad un numero, il denominatore tende a 0 e immediatamente a destra di -1 la funzione è positiva;

−∞

− =

−

− −

→ 1

lim ²₂ 4

1 x x

x , perché il numeratore tende ad un numero, il denominatore tende a 0 e immediatamente a sinistra di -1 la funzione è negativa.

Se ne conclude che le rette x = 1 e x = -1 sono asintoti verticali.

Riportiamo queste informazioni sul piano cartesiano.

Si noti che nel riportare l’informazione che la retta y = 1 è un asintoto orizzontale sul piano cartesiano, abbiamo messo in evidenza come il grafico della funzione tenda sempre più ad

“appoggiarsi” (senza mai toccarla) la retta y = 1. A questo stadio, tuttavia, non siamo in x C ●

1 y

● ● A -1 1 B

(6)

grado di stabilire se il grafico della funzione si appoggi dall’alto o dal basso rispetto alla retta y = 1. Per questo motivo abbiamo riportato entrambe le possibilità.

Sarà lo studio della crescenza / decrescenza della funzione a farci capire quale delle due opzioni si verifichi. Infatti supponiamo di aver trovato che la funzione a +∞ sia crescente; bene, è evidente che quindi il suo grafico non possa che essere fatto nel modo raffigurato a lato, in quanto altrimenti esso risulterebbe decrescente.

Derivata prima. Intervalli di crescenza/decrescenza della funzione.

Calcoliamo la derivata prima utilizzando la formula della derivata del rapporto:

2 2

3 3

2 2

) 1 (

6

) 1 (

8 2 2 2

) 1 (

) 4 ( 2 ) 1 ( 2

) 1 (

) 1 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4 ) (

(

= −

− +

−

= −

−

= −

−

− ′

⋅

−

′⋅

= −

′

x x

x

x x x x

x

x x x

x

x x

x x x

f

Quindi, tenuto conto del fatto che il denominatore (x² – 1)² è sempre positivo, si ha che 0

) ( >

′ x

f se e solo se 6x > 0, cioè x > 0.

-1 1

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬

-2 -1 1 2 0

) ( >

′ x

f : ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

0

Pertanto la funzione risulta essere decrescente nell’intervallo (-∞,0) e crescente nell’intervallo (0,+∞). Nel punto di ascissa x = 0 è presente un minimo relativo. Troviamo la sua ordinata. Poiché tale punto appartiene al grafico della funzione, l’ordinata è data proprio dal valore che la funzione assume nell’ascissa, in questo caso f(0) = 4. Quindi il

x C ●

1 y

● 1 B

(7)

minimo relativo è il punto m(0,4), che coincide con l’intersezione con l’asse y che avevamo trovato in precedenza.

Possiamo ora migliorare il nostro grafico provvisorio. La funzione risulta infatti decrescente in (-∞,-1) e crescente in (1,+∞). Questo significa che il suo grafico tende ad appoggiarsi all’asintoto orizzontale y = 1 “da sotto”, come mostrato in figura:

Derivata seconda. Studio della concavità Abbiamo visto che

2 2 1) ( ) 6

( = −

′ x

x x

f .

Pertanto la derivata seconda è data da:

) . 1 (

) 1 3 )(

1 ( 6

) 1 (

) 1 3 )(

1 ( 6

) 1 (

) 4 ) 1 )((

1 ( 6

) 1 (

) 2 ) 1 ( 2 ( 6 ) 1 ( 6

) 1 (

) ) 1 ((

6 ) 1 ( ) 6 (

) 1 ( ) 6 (

4 2

2 2

4 2

2 2

4 2

2 2

2

4 2

2 2

2

4 2

2 2 2

− +

= −

−

= −

−

= −

−

⋅

−

= ⋅

−

− ′

⋅

−

′⋅

=

′



 





= −

′′

x x x

x

x x

x

x x

x

x x x

x x x x f

x C ●

1 y

● ● A -1 1 B

(8)

Dato che i polinomi (x² – 1)⁴ e 3x² + 1 sono sempre positivi, si ha che f′′ x( )>0 se e solo se 1 – x² > 0, cioè x² – 1 < 0. Quest’ultima disequazione è soddisfatta per -1 < x < 1.

-1 1

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬▬▬▬◦---◦▬▬▬▬▬

-2 -1 1 2

f’(x) > 0: ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

0

-1 1 0

) ( >

′′ x

f : ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬◦---

Quindi la funzione rivolge la sua concavità verso l’alto nell’intervallo (-1,1) e verso il basso negli intervalli (-∞,-1) e (1,+∞). Si noti che i punti di ascissa x = -1 e x = 1 NON sono punti di flesso in quanto -1 e 1 non appartengono al dominio della funzione.

Grafico approssimativo

Abbiamo ora tutti gli elementi per completare il grafico approssimativo della funzione:

M

A B

(9)

La funzione risulta essere il prodotto di due funzioni: la funzione y = x+1 e la funzione

1 ) 1

( 1

+ +

− =

= ^x _x

e e

y . Quest’ultima funzione è definita per qualsiasi valore di x, in quanto il numero e^x⁺¹ è sempre strettamente positivo (quindi non può mai essere 0). Invece ha senso considerare la radice quadrata di x + 1 soltanto quando tale quantità sotto radice quadrata è maggiore o uguale a 0. Pertanto dobbiamo imporre che

x + 1 ≥ 0.

Questa disequazione è soddisfatto quando x ≥ -1. Pertanto il dominio è l’insieme D = [0,+∞).

Positività/negatività

Per ciascun x nel dominio, il numero f(x) è il risultato del prodotto di x+1 (numero sempre ≥ 0, essendo una radice quadrata) e di 1

) 1

( 1

+ +

−^x = _x

e e (numero strettamente positivo, perché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva). Pertanto f(x) ≥ 0 per tutti i punti x del suo dominio.

Intersezione con gli assi

Il grafico della funzione interseca l’asse x ( y = 0) per quei valori della x per i quali 0

1⋅ ⁽ ¹⁾ = + e⁻^x⁺

x .

La precedente equazione è soddisfatta se x+1 =0 oppure e^.⁻⁽^x⁺¹⁾ =0. Ma il numero

) 1 ( .− x+

e non può mai essere 0, quindi l’unica possibilità è che x+1 =0. Quest’ultima equazione è soddisfatta se e solo se la quantità sotto radice x + 1 = 0, cioè x = -1.

Otteniamo dunque il punto di intersezione A(-1,0).

Le eventuali intersezioni con l’asse y (x = 0) si trovano risolvendo il sistema





+

=

+

−( 1)

1 0

e x

x y x

Si risolve dunque l’equazione y = 0+1 ⁻⁽⁰⁺¹⁾ = ⁻¹ = 1 ≈0,37 e e

e . Si ottiene dunque il punto di

intersezione B

(

0,_e¹

)

.

Cominciamo a rappresentare sul grafico le informazioni finora a nostra disposizione e cioè che la funzione esiste solo per x _≥ -1 e che è non è mai negativa (cioè il suo grafico non può mai stare sotto l’asse x); inoltre rappresentiamo i due punti A e B per i quali passerà il grafico.

(10)

Comportamento agli estremi del dominio. Asintoti

Poiché il punto x = 0 è incluso nel dominio, dobbiamo solamente studiare il comportamento della funzione per x → +∞. Si ha che

∞

= ∞

= +

+ ₊

+∞

→ +

− +∞

→ 1

) 1

( 1

lim 1

lim _x

x x

x e

e x

x ,

una forma indeterminata. Osserviamo comunque che poiché quando x → +∞ la funzione esponenziale tende a +∞ con un ordine maggiore rispetto alla funzione radice quadrata, il risultato del limite è 0. A tale conclusione si poteva anche giungere applicando la regola di de l’Hôpital:

1 0 2 lim 1 )

1 lim (

) 1 lim (

) (

) ) 1 lim ((

lim 1 ₁ ² ₁

1 21

1 2 1 1 21

1 2 / 1

1 =

+ + =

+ =

′ = + ′ + =

+∞ + + →

−

+∞

+ →

−

+∞

+ → +∞

→ x x x x x x x x x

x e x e

x e

x .

La retta y = 0 è quindi un asintoto orizzontale. Riportiamo questo dato nel nostro schizzo di grafico provvisorio:

x

_●

_● y

(11)

Derivata prima

1 2

) 2 1 (

1 2

)) 1 ( 2 1 (

) 1 ( 1 1

2 1

) ( 1 )

1 ( ) (

) 1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

+

−

= −

+ +

= −

− +

+ +

=

⋅ ′ + +

′⋅ +

′ =

+

− +

−

+

− +

−

+

− +

−

x x e

e x x e

e x e

x x

f

x x

Pertanto, essendo i fattori e⁻^{( +}^x ¹⁾ e 2 x+1 sempre positivi, si ha che f′ x( )>0 se e solo

se –1 – 2x > 0

cioè

2

−1 x < .

-1 -1/2 0

) ( >

′ x

f : ---_{●▬▬▬▬▬▬◦}---

Pertanto la funzione risulta crescente nell’intervallo _



 



− − 2 , 1

1 (si ricordi che a sinistra di -1 la funzione non è definita), e decrescente nell’intervallo ^







− ,+∞

2

1 .

x

_●

_● y

(12)

Nel punto di ascissa x = -1/2 vi è un massimo relativo. L’ordinata corrispondente è data da

43 , 2 0 1 2

1 1 2 1 2

1 2 ¹ ₂¹

1

≈

=

⋅ +

−

=



 



− ⁻



 



− +

−

e e e

f .

Quindi il massimo relativo è il punto ^



 



− M e

2 , 1 2

1 , che andiamo a rappresentare:

A questo punto tenendo conto della crescenza / decrescenza della funzione, possiamo passare ad abbozzare un grafico approssimativo:

x

_●

_● M y _●

M _●

_●

●

(13)

È necessario imporre che il denominatore sia diverso da 0, cioè e^x – 1 _≠ 0. Quindi dobbiamo imporre che

e^x_≠ 1,

cioè e^x_≠ e⁰. Troviamo quindi che x _≠ 0. Il dominio è dunque dato dall’insieme D = R – {0}

= (-∞,0) ∪ (0,+∞).

Intersezione con gli assi

Per trovare l’intersezione con l’asse x, troviamo i punti che hanno in comune le curve y = 0 e = _x−1

x

e

y e , cioè risolviamo il sistema







=

= − 0

1 y

e y e_x

x

Quindi si ottiene

1=0

x−

x

e

e .

Tale equazione non è mai soddisfatta in quanto il numeratore non è mai 0. Quindi non ci sono intersezioni con l’asse x.

Le intersezioni con l’asse y (di equazione x = 0) sono date dalle soluzioni del sistema







=

= − 0

1 x

e y e_x

x

Ci accorgiamo però che tale sistema non ammette alcuna soluzione dal momento che il valore x = 0 non appartiene al dominio della funzione. Quindi non ci sono intersezioni con l’asse y.

Positività / negatività della funzione

Si tratta di stabilire per quali valori di x la frazione 1

x −

x

e

e è positiva e per quali valori di x essa è negativa. Si noti che il numeratore e^x è un numero sempre strettamente positivo, quindi la frazione

1

x−

x

e

e sarà positiva/negativa se e solo se il denominatore e^x – 1 sarà positivo/negativo.

Pertanto 0

1>

x−

x

e

e se e solo se e^x – 1 > 0, cioè e^x > 1.

Applichiamo a primo e secondo membro il logaritmo naturale. Essendo la funzione y = ln(x) una funzione strettamente crescente, il verso della disequazione rimane inalterato:

(14)

ln(e^x) > ln(1).

Ma ln(e^x) = x e ln(1) = 0. Quindi otteniamo:

x > 0.

Pertanto la funzione è positiva per x > 0 e negativa per x < 0.

Trascriviamo dominio e studio della positività/negativa qui sotto 0

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

e rappresentiamo su un grafico provvisorio le (poche) informazioni finora ottenute:

Comportamento agli estremi del dominio. Eventuali asintoti Dobbiamo calcolare 4 limiti:

) ( lim0 f x

x→ ⁺ , lim ( )

0 f x

x→ ⁻ , lim f(x)

x→+∞ , lim f(x)

x→−∞

Si ha che:

+∞

− =

→ + 1

lim0 x x

x e

e

x y

(15)

in quanto il numeratore tende a 1 mentre il denominatore tende a 0⁺. Il risultato è coerente con lo studio della positività (la funzione è positiva per x > 0). Inoltre

−∞

− =

→ − 1

lim0 x x

x e

e

in quanto il numeratore tende a 1 mentre il denominatore tende a 0^-. Il risultato è coerente con lo studio della positività (la funzione è negativa per x < 0). Pertanto la retta x = 0 è un asintoto verticale, e quindi il grafico della funzione tenderà ad “appoggiarsi” a tale retta per valori vicini a 0: segnaliamo questo risultato direttamente sul grafico:

Inoltre:

∞

= ∞

−

+∞

→ 1

lim _x

x

x e

e

Risolviamo tale forma indeterminata mettendo in evidenza e^x 1 1 1 lim 1 1 1

1 lim

lim =

−

=



 



 −

− = ^→^+∞ ^→^+∞

+∞

→

x x

x

x x x

x

e e e

e e

e

dato che per x che tende a +∞ la frazione _x e

1 tende a 0. Quindi la retta y = 1 è un asintoto orizzontale e il grafico della funzione tende ad “appoggiarsi” alla retta orizzontale y = 1 quando x tende ad assumere valori via via sempre più grandi. Per il momento non sappiamo se il grafico della funzione tende ad appoggiarsi “al di sopra” o “al di sotto” della retta y = 1. Lasciamo quindi aperte, per il momento, entrambe le possibilità. Scioglieremo la riserva una volta che avremo ottenuto maggiori informazioni (per esempio, sulla crescenza/decrescenza della funzione).

x y

(16)

Infine calcoliamo il comportamento della funzione a -∞:

1 0

lim =

−

−∞

→ x

x

x e

e

perché e^x → 0 quando x → -∞. Pertanto la retta y = 0 è un asintoto orizzontale, ed il grafico della funzione tende ad appoggiarsi su tale retta quando x tende a -∞. Riportiamo anche questo dato sul grafico provvisorio:

x y

(17)

Derivata prima. Studio della crescenza / decrescenza Passiamo a calcolare la derivata della funzione.

2

2 ( 1)

) 1 (

) 1 ) (

( −

= −

−

= −

′ _x

x

x x x

x

e e e

x e

f .

Quando f′ x( )>0? Cioè quando la frazione ₂ ) 1

( −

−

x x

e

e è positiva? Si noti che, all’interno del dominio della funzione, il denominatore (e^x – 1)² è sempre positivo (essendo il quadrato di un numero) ed il numeratore –e^x è sempre negativo. Ne consegue che la frazione

)2

1

( −

−

x x

e

e è sempre negativa. Quindi la disequazione f′ x( )>0 non è mai verificata e la funzione risulta essere sempre decrescente:

0

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

0 ) ( >

′ x

f : ---◦---

Essendo la funzione sempre decrescente, e in particolare decrescente per x tendente a +∞, siamo in grado di dirimere il dubbio se disegnare il grafico della funzione sopra o sotto l’asintoto orizzontale. Se lo disegnassimo al di sotto dell’asintoto orizzontale, la funzione sarebbe crescente. Quindi non rimane che disegnarlo al di sopra:

x y

(18)

Derivata seconda. Studio della concavità Ora calcoliamo la derivata seconda.

4 2

4 4

4 2 2

) 1 (

) 1 )(

1 (

) 1 (

) 2 1 )(

1 (

) 1 (

) 1 ( 2 )

1 (

) 1 ) (

(

−

= −

−

= −

− + +

−

= −

−

⋅ +

−

⋅

= −

′









−

= −

′′

x x x

x

x x

x

x x x x

x x

x

e e e

e e e e

e

e e

e

e e e e

e e x e f

Cerchiamo di capire per quali valori di x si ha che f′′ x( )>0. Siccome i fattori e^x ed (e^x– 1)⁴ sono entrambi positivi, si ha che f′′ x( )>0 se e solo se

e^2x – 1 > 0.

La predetta disequazione è verificata se e solo se e^2x > 1.

Applicando il logaritmo a primo e secondo membro otteniamo ln(e^2x) > ln(1)

cioè

2x > 0.

Pertanto f′′ x( )>0 se e solo se x > 0.

0

D: ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

f(x) > 0: ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

0 ) ( >

′ x

f : ---◦---

0 0

) ( >

′′ x

f : ---◦▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

(19)

Pertanto, il grafico della funzione rivolge la concavità verso l’alto nell’intervallo (0, +∞) e verso il basso nell’intervallo (-∞, 0). In x = 0 NON abbiamo un flesso in quanto x = 0 non appartiene al dominio della funzione e quindi in tale punto f non è definita.

Grafico approssimativo

Lo studio della crescenza / decrescenza della funzione e della concavità ci consentono di disegnare un suo grafico approssimativo, completando le informazioni che avevamo trovato in precedenza: