Equazione di Klein-Gordon e potenziale di Yukawa

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Equazione di Klein-Gordon e potenziale di Yukawa

Lezione 11

Equazione di Klein-Gordon

•  Per preparare lo studio delle proprietà delle interazioni, diamo una breve occhiata ad una generalizzazione relativistica

dell’equazione di Schrödinger.

•  Equazione di Klein-Gordon

–  Dalla trattazione relativistica compare un’equazione di continuità analoga a quella classica

–  Che permette di intuire la necessità di introdurre anti-particelle:

•  conservazione dei numeri quantici barionico ed elettronico

–  Cercando soluzioni statiche mostreremo come un potenziale a breve range può essere interpretato con lo scambio di una particella

massiva:

–  Dal calcolo delle sezioni d’urto si ottengono relazioni per l’intesità relativa delle forze

•  Questa discussione è una forma estesa del cap. 9 del Das-Ferbel

Equazione di Klein-Gordon

•  L’equazione di Schrödinger per una particella libera è palesemente non relativisticamente invariante:

•  è stata ricavata dala relazione:

•  Effettuando la sostituzione operatoriale:

•  Per trovare una generalizzazione relativistica, possiamo utilizzare delle relazioni relativistiche:

–  tetra-vettore energia impulso:

–  con l’identità operatoriale

–  e la relazione energia momento:

− !²

2m∇²ψ = i! ∂

∂tψ E = p²

2m

E = i! ∂

∂t, p = −i! ∇

( E p )

p_ν ⇒ i!∂_ν = i! ∂

∂x^ν

p² = p^νp_ν = E² − p² = m²

Equazione di Klein-Gordon

•  Sostituendo gli operatori nelle relazione energia-impulso, otteniamo l’equazione di Klein-Gordon:

–  Cerchiamo soluzione nella forma di onde piane:

•  N è un coefficiente di normalizzazione

–  La condizione che deve soddisfare il tetravettore p è:

–  Per un dato valore del momento, esistono due soluzioni:

•  soluzioni con energia positiva:

•  soluzioni con energia negativa:

∂²

∂t² φ − ∇²φ + m²φ = 0

φ = Ne^−ip⋅x

−E²² + p² + m²

( )

E = ± p² + m² = ±E_p

E_p definita come sempre positiva

φ₊ = Ne^{−iEpt+ip⋅x} φ₋ = Ne^+iEpt+ip⋅x

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ* e ψ:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava:

•  Che si identifica come un’equazione di continuità:

•  Se identifichiamo la densità: ρ=|ψ|²

•  e la densità di corrente: J=(-i/2m)[ψ*∇ψ-ψ∇ψ*]

i ∂

∂tψ + 1

2m ∇²ψ = 0 −i ∂

∂tψ^* + 1

2m∇²ψ^* = 0

iψ^* ∂

∂tψ + 1

2mψ^*∇²ψ = 0 −iψ ∂

∂tψ^* + 1

2mψ∇²ψ^* = 0 iψ^* ∂

∂tψ + iψ ∂

∂tψ^*+ 1

2mψ^*∇²ψ − 1

2mψ∇²ψ^* = 0 i ∂

∂t

(

)

(

)

∂

∂t ψ ² − i

2m ∇

(

)

∂

∂t ρ + ∇ ⋅ J = 0

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  La corrente:

•  Ovvero:

ρ = ψ ² = N ²

J = − i

2m

(

)

ψ = Ne⁻ⁱ

p² 2mt+ip⋅x

= − i

2m

(

)

= p

2m

(

)

J = vρ = N ²v

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Ripetiamo lo stesso procedimento con l’equazione di Klein-Gordon:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per 𝜙* e 𝜙:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava:

•  Che si identifica anch’essa come un’equazione di continuità:

•  e si può esprimere in maniera covariante

∂

∂t ρ + ∇ ⋅ J = 0

∂²

∂t² φ − ∇²φ + m²φ = 0 ∂²

∂t² φ^*− ∇²φ^*+ m²φ^* = 0

φ^* ∂²

∂t² φ − φ^*∇²φ + φ^*m²φ = 0 φ ∂²

∂t² φ^* −φ∇²φ^*+φm²φ^* = 0 φ^* ∂²

∂t² φ − φ ∂²

∂t² φ^*−φ^*∇²φ + φ∇²φ^* = 0

∂

∂t φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ∇ φ

(

)

ρ = i φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ J = −i φ

(

)

J_ν = −i

(

)

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  Le soluzioni con energia positiva hanno densità:

•  Le soluzioni con energia negativa hanno densità:

•  Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ

→ effetto relativistico dovuto alla contrazione del termine di volume

•  La corrente:

•  Le soluzioni con energia positiva:

•  Le soluzioni con energia negativa:

φ = Ne^{−iEt+ip⋅x}

ρ = i φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = i φ

(

)

(

)

ρ = 2 N ²E

ρ = 2 N ² E_p > 0 ρ = −2 N ² E_p < 0

J = −i φ

(

)

(

)

(

)

J = 2p N ²

J = 2pρ / 2E_p = βρ

J = −2pρ / 2E = −βρ β = p / E_p

Particelle ed anti-particelle

•  Nell’equazione di Klein-Gordon le soluzioni ad energia negativa sorgono perché l’equazione è del secondo ordine nelle derivate temporali.

•  Dirac scrisse un’equazione relativisticamente invariante al primo ordine:

–  descrive i fermioni – particelle con spin 1/2

–  anche in tal caso si trovano soluzioni con energie negative

•  In una formulazione relativistica della meccanica quantistica, queste soluzioni sono identificabili con le anti-particelle:

–  la carica conservata

–  è la differenza tra numero di particelle ed antiparticelle

•  L’esistenza di anti-particelle entra a forza nella meccanica quantistica relativistica.

•  Esempio: processo di scambio carica: non è possibile distinguere i due processi

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

p emette un π⁺ che viene assorbito dal n n emette un π^- che viene assorbito dal p Q = dV

∫

Particelle ed anti-particelle

Nobel 1936

•  1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici

Particelle ed anti-particelle

Nobel 1959

•  1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici

•  1955: produzione di anti-protoni in collisioni p-N

Nobel 1936

Particelle ed anti-particelle

•  Particelle e rispettive anti-particelle hanno la stessa massa:

–  entrambe soddisfano l’equazione E²-p²=m²

•  e lo stesso spin.

•  Le altre cariche hanno segno opposto:

–  elettrone, q=-1 positrone, q=+1

–  protone, q=+1 antiprotone, q=-1

µ=+2.79µ_N µ=-2.79µ_N

I₃=+1/2 I₃=-1/2

•  ...questo vale anche per particelle neutre:

–  neutrone, q=0 antineutrone, q=0

µ=-1.91µ_N µ=+1.91µ_N

I₃=-1/2 I₃=+1/2

•  In alcuni casi, particelle neutre sono le antiparticelle di sè stesse.

–  tipicamente accade per bosoni –  Il caso più notevole è il fotone, γ

Particelle ed anti-particelle

•  La conservazione del numero totale di particelle – antiparticelle vale individualmente per le singole specie.

•  Nel caso di simmetrie interne, come lo spin isotopico, la funzione d’onda ha diverse componenti:

–  Le interazioni deboli possono causare spostamenti da una componente all’altra

–  La legge di conservazione si applica quindi solo alla funzione d’onda globale, non alle singole componenti.

–  Conservazione del numero barionico:

•  numero di nucleoni – numero di anti-nucleoni

•  vedremo più avanti che il nome serve ad indicare una classe più ampia di particelle, i barioni, di cui il nucleone è la particella più leggera

•  Interazioni forti ed elettromagnetiche conservano separatamente i numeri di n e p

•  Stabilità del protone:

–  conseguenza della conservazione del numero barionico è che il p, essendo il barione più leggero, è stabile.

–  il limite inferiore alla vita media del protone è τ_p>10³¹ anni

(da confrontarsi con l’età dell’universo 12×10⁹ anni)

p = 1

( )

( )

φ( )x ^{= a x}( ) ^{p + b x}( ) ⁿ = a(x) b(x)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Neutrini ed anti-neutrini

•  Abbiamo evidenza che neutrini ed anti-neutrini sono particelle differenti:

–  In un reattore nucleare, (anti)neutrini vengono prodotti insieme con e^- attraverso decadimenti β-:

–  questi possono venire osservati tramite la reazione:

•  (esperimento di Reines e Cowan)

•  non si osserva invece:

–  Nei processi di fusione, neutrini vengono prodotti insieme con e⁺

–  questi sono stati osservati tramite reazioni del tipo:

•  (esperimento di Davis)

•  non si osservano processi analoghi come:

•  L’interpretazione è molto simile a quanto fatto per i nucleoni:

–  dal punto di vista delle interazioni deboli, |e^-⟩ e |ν_e⟩ sono due stati corrispondenti ad una simmetria interna

–  isospin debole: I=1/2, |ν_e⟩ I₃=+1/2, |e^-⟩ I₃=-1/2 (Z, A) → (Z +1, A) + e⁻+ν_e ν_e + p → e⁺ + n

ν_e + n → e⁻ + p

p + p → d + e⁺ +ν_e ν_e + ³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻

ν_e + ³⁷Cl → ³⁷S + e⁺

Decadimenti doppio β

Z

•  Nella formula di Weiszäcker

•  Un nucleo con A pari può essere

–  pari-pari a₅ < 0

–  dispari-dispari a₅ > 0

–  ci sono due possibili parabole

•  I casi del tipo Cd–In-Sn sono molto interessanti

–  È possibile un decadimento β doppio

•  È di grande interesse la ricerca di decadimenti doppio β senza neutrini

–  violazione del numero leptonico

–  possibile in modelli teorici in cui un neutrino può trasformarsi in un anti-neutrino

•  Figura da: Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005

( ) ²₃ ( ) ³₄

13

2 2

1 2 3 4 2 5

, Z A Z

B A Z a A a A a a a A

A A

- -

= - + + + ±

ZAX → _Z−2^AX + e⁻ + e⁻ +ν_e +ν_e

ZAX → _Z−1^AX + e⁻ +ν_e ν_e →ν_e ν_e + _Z−1^AX → _Z−2^AX + e⁻

Potenziale di Yukawa

•  Possiamo anche cercare soluzioni stazionarie dell’equazione di Klein-Gordon:

•  Queste possono essere non nulle solo in presenza di una carica sorgente:

•  Se andiamo nello spazio delle trasformate di Fourier,

•  l’equazione diventa un’equazione algebrica:

•  dovremmo ora calcolare l’anti-trasformata

•  è più facile notare the la funzione ottenuta è

Esattamente quello che facciamo per il campo elettromagnetico:

•  campo libero:

•  campo elettrostatico

•  se

∂

∂tφ = 0

∂^ν∂_νφ = 0

−∇²φ = ρ / ε₀ ρ = eδ(r)

φ = e 4πε₀r

−∇²φ + m²φ = ηδ(r)

!φ(k) = dVe

∫

k² !φ + m² !φ =η !φ = η k² + m²

φ = η e^−mr

Potenziale di Yukawa

•  L’equazione di Klein-Gordon descrive una particella libera di massa m con un formalismo covariante

•  Il potenziale di Yukawa corrisponde alla soluzione

dell’equazione di Klein-Gordon in corrispondenza di sorgenti

•  Questo porta ad identificare concettualmente le interazione dovute ad un certo potenziale, con la propagazione di

particelle tra le sorgenti di quel potenziale:

–  range delle interazioni: 1/m

–  nel limite m=0 si ha la forma del potenziale elettromagnetico:

interazioni a lungo range

–  predizione dell’esistenza di una particella mediatrice delle interazioni tra nucleoni: il pione

φ = η ^e

−mr

4 π ^r

Intensità delle interazioni

•  Finora abbiamo detto che esiste una gerarchia nell’intensità delle interazioni:

1.  interazioni forti

2.  interazioni elettromagnetiche 3.  interazioni deboli

4.  interazioni gravitazionali

•  Vogliamo ora quantificare meglio questa relazione

–  Usiamo la regola d’oro per calcolare la sezione d’urto di una particella in un potenziale di Yukawa

–  la sezione d’urto dipende:

•  dalla costante η

•  dalla massa m (o dal range 1/m della forza)

–  m=0 per interazione elettromagnetiche e gravitazionali

•  dal momento trasferito q=pi-pf nell’interazione

–  I valori di η stabiliscono una gerarchia

•  interazioni forti ≫ interazioni elettromagnetiche e deboli ≫ gravitazione

•  la differenza tra interazioni elettromagnetiche e deboli dipende dal range delle interazioni e diminuisce all’aumentare di q2

V (r) = η ^e

−mr

4 π ^r

Scattering su potenziale fisso

•  La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d’oro di Fermi:

•  Dove compaiono:

–  l’elemento di matrice

–  Le funzioni d’onda, sono quelle della particella libera, normalizzate

sul volume –  con momenti

–  la densità di stati finali:

(spazio delle fasi)

P = 2π

! f U i ² ρ

(

)

f U i =

∫

( )

( )

( )

ρ

(

)

f

= Vp²_fdΩ (2π!)³

dp_f dE_f

ψ

( )

V e^−ip⋅r

p_i = p

(

)

(

)

Elemento di matrice su potenziale di Yukawa

•  L’elemento di matrice:

•  dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=p

-p

f U i =

∫

( )

( )

( )

∫

i

!(p_i−p_f )^⋅r

∫

q² = p²2 1 − cos

(

)

q = p

(

)

= η

4π^{V dr} e^−mr

r e^−iq⋅r

∫

Elemento di matrice su potenziale di Yukawa

•  Per calcolare l’integrale, usiamo le formule:

•  L’elemento di matrice diventa:

–  per svolgere l’integrale, possiamo scegliere liberamente l’asse z –  usiamolo diretto lungo q:

dxe^−αx

0

∫

f U i = η

4πV dre^−mr

r e^−iq⋅r

∫

f U i = η V

1 m² + q² dxe^−αx

x₁ x₂

∫

= η

4π^{V d}ϕ ^dcosθ ^{drr2 e}

−mr

r e^{−iqr cosθ}

∫

∫

∫

= η

2V drre^−mr 1 iqr

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ e⎡⎣ ^iqr − e^−iqr ⎤⎦

0

∫

= η 2V

1 iq

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1

m − iq − 1 m + iq

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= η

2V dr 1

iq

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ e⎡⎣ ^−(m−iq)r − e^−(m+iq)r ⎤⎦

0

∫

= η 2V

1 iq

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 2iq m² + q²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

f U i = η V

(!c)³

m²c⁴ + q²c² in unità SI

Termine di spazio delle fasi

•  Dalla relazione tra p

ed E

:

•  Ed il termine di densità di stati finali diventa:

p_f = p_i = 2ME = 2ME_f dp_f

dE_f = M 2E

ρ

(

)

f

= Vp²_fdΩ (2π!)³

dp_f

dE_f = Vp²_fdΩ (2π!)³

M

2E = V 2MEdΩ (2π!)³

M 2E

= VM 2ME (2π!)³ dΩ

M=massa particella incidente (o massa ridotta del sistema)

Sezione d’urto

•  La probabilità di transizione per unità di tempo è quindi:

•  confrontandola con la definizione di sezione d’urto:

•  Troviamo la sezione d’urto differenziale:

P = 2π

! η² V²

(!c)⁶

m²c⁴ + q²c²

( )

VM 2ME (2π!)³ dΩ

P = !c 2π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1 V

2E M

η²M² m²c² + q²

( )

dn

dt = I

n

dσ

v della particella incidente

Il nostro stato ha una sola particella:

dn/dt = P

Una particella, che percorre lo spessore d con velocità v_α: produce un’intensità:

I₀=v/d

Un bersaglio nel volume V:

la densità è: n_T=1/V

dσ = !c 2π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 η²M² m²c² + q²

( )

Sezione d’urto Coulombiana

•  Possiamo confrontare questo risultato con la sezione d’urto classica di Rutherford:

–  M=m_α

–  η=ZZ_αe²/ε₀ –  m=0

–  q²=(m_αv_α)²4sin²(θ/2)=m_αE_α8sin²(θ/2)

•  Si ottiene esattamente lo stesso risultato:

•  Per interazioni tra cariche unitarie:

dσ

dΩ = !c 2π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 η²M² m²c² + q²

( )

ηM!c 2πq²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= ZZ_αe²m_α!c

2πε₀m_αE_α8sin²(θ / 2)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

dσ

dΩ = ZZ_αα!c 4E_α

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin⁴θ 2

= ZZ_αα!c E_α4sin²(θ / 2)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

η = e²

= 4πα ≈ 0.09

Sezione d’urto forte

•  Nel caso limite in cui q≪mc

–  corrisponde ai casi in cui il momento della particella incidente è molto minore di mc

•  Studiando le interazioni nucleone-nucleone, avevamo visto che a basso momento:

–  a=lunghezza di scattering:

•  a_pp = -17.1±0.2 fm

•  a_nn = -16.6±0.5 fm

•  Confrontanto le due relazioni abbiamo:

•  Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η

–  nelle prossime lezioni vedremo che questa particella esiste realmente –  il pione, m_π~140 MeV

dσ

dΩ = η² 4π²

M!c m²c²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= η² 4π²

M m²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

σ = 4π^a2

σ =η² π

M m²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

η = 2π^am

2

M

η ≈ 10 Il valore esatto dipende dalla scelta del potenziale/

Sezione d’urto debole

•  L’ipotesi di Fermi consisteva in pratica ad assumere un mediatore con range 1/m≪1 fm

–  con le convenzioni utilizzate,

•  Ovvero, nel limite di momenti ≪ m

•  Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η

–  questa particella effettivamente è stata scoperta nel 1982 –  il bosone vettore W, m_W=80.385 GeV

•  L’intensità relativa delle interazioni debole ed elettromagnetica:

η ≈ 0.07 f U i = η

V

(

)

m²c⁴ + q²c²

≈ 1

V G

( !c )

G_F =

η

σ_W σ_e.m. ⁼

f V_W i ²

f V i ² = η_W 4πα

q² m² + q²

η_W 4πα

q²

m² << 1 per q² << m η

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

Interazioni gravitazionali

•  Per le interazioni gravitazionali il risultato è immediato:

–  m=0

–  η=4πG

M

η = 4π^GNM² / (!c) = 12 6.67 ×10⁻¹¹ (1.67 ×10⁻²⁷)² / (6.6 ×10⁻³⁴ 3 ×10⁸)

= 11×10−11−54+34−8 = 1.1×10⁻³⁸