Università degli Studi di Siena Dipartimento di Economia Politica e Statistica

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Università degli Studi di Siena

Dipartimento di Economia Politica e Statistica

Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 10 ottobre 2013

Compito Unico

") Þ

: ; < : 9 ; c: : / < c: Ê Ð: / <Ñ : 9 ; Ê c: Ê Ð: / <Ñ

Z Z Z Z J Z Z Z

Z Z J Z J J Z Z

Z J Z Z J Z Z Z

Z J J Z J J Z Z

J Z Z Z Z J J J

J Z J Z Z J J J

J J Z J Z J J Z

J J J J Z J J Z

ˆ ‰ ˆ ‰

#) La terza condizione equivale ad affermare che _{B Ä  _}

637

0 ÐBÑ œ !. Un possibile grafico di 0 ÐBÑ è proposto a sinistra nel disegno dopo l'esercizio 5.

$) Riflessiva: aB −, BeB? Vero, banale perché la somma delle cifre di è pariB alla somma delle cifre di stesso.B

Simmetrica : aÐBß CÑ −^#, BeC Ê CeB? Vero, banale perché se la somma delle cifre di è pari alla somma delle cifre di è ovvio che la somma delle cifre di èB C C altrettanto pari alla somma delle cifre di .B

Antisimmetrica: aÐBß CÑ −^#, ÐBeC C e eBÑ Ê B œ C? Falso, controesempio B œ "% C œ #$ e .

Transitiva: aÐBß Cß DÑ −^$, ÐBeC B e eDÑ Ê ÐBeDÑ? Vero, banale perché se la somma delle cifre di è pari alla somma delle cifre di e la somma delle cifre di B C C è pari alla somma delle cifre di , è ovvio che la somma delle cifre di è altrettantoD B pari alla somma delle cifre di .D

Completa: aÐBß CÑ −^#, ÐBeCÑ o ÐCeBÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ "

e C œ #.

La relazione proposta gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva quindi è una relazione di equivalenza.

% =/8Ð/  "Ñ œ =/8Ð/  "Ñ /†  " † B † # œ " † " † " † # œ #

=/8B /  " #B =/8B

)

637 637

.

B Ä ! B Ä !

#B #B #B

#B

637 637 637

B Ä  _ B Ä  _ B Ä  _

È"  B Ê"  B Ê "

B ^# œ B_# ^# œ B_#  " œ ".

& GÞIÞ B !) : ovvero GÞIÞ œ‘_ œ Ò!ß  _Ò.

Segno: la funzione esponenziale è sempre positiva nel suo dominio; C  ! in ‘_.

Intersezioni: œB œ ! œ œ . Unica intersezione nel

C œ / Ê B œ ! Ê

C œ /

B œ ! C œ "

ÈB !

punto EÐ!ß "Ñ.

Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä  _

637

/^ÈB œ /^_ œ  _Þ

(2)

B Ä  _

637

/

B œ J M

ÈB _

_ . Applichiamo il teorema di de L'Hôpital per due volte ed otteniamo:

637 637 637 637

B Ä  _ B Ä  _ B Ä  _ B Ä  _

/ /

B Lœ / "† œ Lœ / †

# B # †

È È È È

È È

È

B B " B B "

# B # B

"

# B

È

œ / œ  _

637

#

B Ä  _ ÈB

. La funzione non presenta asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ /^w ^È^B† _#_È^"_B.

/^È^B† _#_È^"_B  !ß aB  !. Funzione strettamente crescente. Minimo assoluto in

B œ ! CÐ!Ñ œ " / † " œ  _ EÐ!ß "Ñ

# B

pari a . Nota che

637

e quindi è un

B Ä !

ÈB È

punto di cuspide.

Concavità e convessità:

C œ œ

/ † † # B  / † # †Î

Ð# BÑ BÐ# BÑ

/ Ð B  "Ñ

ww

B " B "

# B #Î B

# #

È È B

È È È È

È È È

È .

/ Ð B  "Ñ

BÐ# BÑ ! Ê B  " ! Ê B " Ò!ß "Ó

ÈB

#

È

È È È . Funzione concava in ,

convessa in Ò"ß  _Ò, flesso ascendente in B œ " di ordinata pari a CÐ"Ñ œ /. Il grafico è proposto a destra nel disegno che segue.

')

(

_{"  B}^{#  B}# ^{.B œ}

(

_{"  B}^# # ^{.B }

(

_{"  B}^B # ^{.B œ #}

(

_{"  B}^" # ^{.B } ^"_#

(

_{"  B}^#B # ^.B

œ # +<->1 B  ^"_#logÐ"  B Ñ  -^# .

(3)

7) ˆ ‰ Ô × Ô ×

Õ Ø Õ Ø

Ô ×

Ö Ù

Õ Ø

F † E  G œ †  œ

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X

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Õ Ø Õ Ø Õ Ø ” •.

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X X

8) 0 œ CD † B_B^w ^# ^{CD "}^#  $ÐBCDÑ ÐCDÑ^# ; 0 œ B_C^w ^CD^# †logB † D  $ÐBCDÑ ÐBDÑ^# ^# ; 0 œ B_D^w ^CD^# †logB † # CD  $ÐBCDÑ ÐBCÑ^# .