Università degli Studi di Siena
Dipartimento di Economia Politica e Statistica
Correzione della Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 6 settembre 2013
Compito
" :) è vera perché esiste almeno un naturale pari, ad esempio ;#
; è falsa perché non tutti i naturali sono dispari;
< è vera perché esiste almeno un naturale tale per cui il suo doppio è pari, ad esempio 1;
= è falsa perché per ogni naturale il suo doppio non è dispari.
Dalla verità e falsità delle proposizioni precedenti risulta che è vera e è: 9 < ; / <
falsa quindi l'implicazione Ð: 9 <Ñ Ê Ð; / <Ñ è falsa, la congiunzione : / ; / = è banalmente falsa da cui la proposizione composta
ˆÐ: 9 <Ñ Ê Ð; / <Ñ Í : / ; / = ‰ ˆ ‰ è vera.
# GI B ! Ê B ! GI œ Ò!à _Ò GI
B " Á !
) 0 si ottiene ponendo œ È . 0 ; 1 si
ottiene per B " ! Ê B " GI œ Ò "à _Ò. 1 . 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð B "Ñ œ B " " œ
B " "
B " "
B " "
È ÉÈ
ÉÈ
È È
%
% .
1Ð0 ÐBÑÑ œ 1Ð B " Ñ œ B " " œ # B B " B " B "
È È È
È Ë È ËÈ .
$)
637
0 ÐBÑ œ637
+B œ +;637
0 ÐBÑ œ637
$ $ œ ! àB Ä " B Ä " B Ä " B Ä " B
637 637 637 637
B Ä $0 ÐBÑ œ B Ä $$ $ œ #%B ; B Ä $0 ÐBÑ œ B Ä $,B œ $, 0. è continua in se e soltanto se ‘ + œ ! $, œ #% e ovvero + œ ! , œ ) e .
%) Per la parità della funzione coseno otteniamo
637 637 637
B Ä ! B Ä ! B Ä !
" -9=Ð =/8 BÑ " -9=Ð=/8 BÑ " -9=Ð=/8 BÑ =/8 B
B# œ B# œ =/8 B# † B#
#
œ " † " œ "
# #.
637 637
B Ä _ŒB " B Ä _Š " ‹
B œ " B œ / œ / œ "
#
# #
B B
!
#
"
B
"
_ .
& GÞIÞ œ) ‘.
Intersezione con l'asse delle ordinate:
œB œ ! œB œ ! œ
C œ / B Ê C œ / ! Ê B œ !
C œ "
#B ! . Intersezione nel punto
EÐ!ß "Ñ.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
B Ä _
637
/#B B œ /_ Ð _Ñ œ ! _ œ _. Eventuale asintoto obliquo:637 637
B Ä _ B Ä _
/ B / / !
B œ B " œ _ " œ _ " œ " 7 œ "
#B #B _
. .
637 637
B Ä _/#B B B œ B Ä _/#B œ /_ œ ! ; œ !. . Asintoto obliquo sx di equazione C œ B.
B Ä _
637
/#B B œ /_ _ œ _ _ œ _. Eventuale asintoto obliquo:637 637
B Ä _ B Ä _
/ B / /
B œ B " œ _ " œ _ " œ _
#B #B _
, in quanto per B Ä _ B œ 9Ð/ Ñ, #B . La funzione a dx non presenta asintoti.
Crescenza e decrescenza: C œ # † /w #B ".
# † /#B " ! Ê /#B "Î#, verificata aB −‘. Funzione strettamente crescente.
Concavità e convessità: C œ % † /ww #B.
% † /#B ! Ê /#B !, verificata aB −‘. Funzione strettamente convessa.
Grafico:
' B œ > B œ > .B œ # > .> " .B œ
BÐ B #Ñ ) Posto È si ottiene # da cui , segue ( È È
( " ( # È
>Ð> #Ñ > #
Î # > .> œÎ .> œ # l> #l - œ # Ðln ln B #Ñ -. 7) E † F † \ œ ! # † $ " † B œ # "# † B œ
" # " ' B & "" B
X " "
# #
” • ” • Œ ” • Œ
Œ#B "#B œ#B "#B œ '
&B ""B" # E † F † \ œ G &B ""B œ %" #
" # " #
. X se e solo se che con
semplici calcoli portano a B œ $ B œ "" e # . 8) f0 œ ' 'C ß "#C "#BCˆ # # ‰.
J SG ' 'C œ ! Ê C œ " Ê C œ „"
"#C "#BC œ ! C œ BC B œ …"
: œ ## œ ## œ . Punti critici
E Є"ß …"Ñ"ß# .
[0 œ ! "#C à l 0 l œ "%%C[
"#C #%C "#B
” • #.
WSG l 0 ÐE Ñl œ "%% ! E: [ "ß# . "ß# selle.
Compito
" :) è vera perché esiste almeno un naturale dispari, ad esempio 1;
; è falsa perché non tutti i naturali sono pari;
< è falsa perché per ogni naturale il suo quadruplo non è dispari;
= è vera perché per ogni naturale il suo quadruplo è pari.
Dalla verità e falsità delle proposizioni precedenti risulta che e sono: / < ; 9 <
entrambe false quindi l'equivalenza Ð: / <Ñ Í Ð; 9 <Ñ è vera, la disgiunzione : 9 ; 9
= è banalmente vera da cui la proposizione composta ˆÐ: / <Ñ Í Ð; 9 <Ñ Ê : 9 ; 9 = ‰ ˆ ‰ è vera.
# GI B " ! Ê B " Ê B "
B " ! B "
) 0 si ottiene ponendo œ œ .
GI œ Ò"à _Ò GI0 ; 1 si ottiene per " B ! Ê B Ÿ " GI œ Ó _à "Ó. 1 .
0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð " BÑ œ " B "
" B "
È ÉÈ
ÉÈ .
1Ð0 ÐBÑÑ œ 1Ð B " Ñ œ " B "
B " B "
È È
È Ë È .
$)
637
0 ÐBÑ œ637
+B œ +;637
0 ÐBÑ œ637
# # œ % àB Ä " B Ä " B Ä " B Ä " B
637 637 637 637
B Ä #0 ÐBÑ œ B Ä ## # œ 'B ; B Ä #0 ÐBÑ œ B Ä #,B œ #, 0. è continua in
‘ se e soltanto se + œ % #, œ ' e ovvero + œ % , œ $ e .
%) Per la disparità della funzione seno otteniamo
637 637
B Ä ! B Ä !
=/8Ð-9= B "Ñ =/8Ð" -9= BÑ
B# œ B# œ
B Ä !
637
=/8Ð" -9= BÑ " -9= B† œ " † " œ "" -9= B B# # #.
637 637
B Ä _ŒB " B Ä _Š "‹
B œ " B œ / œ _
B B B
_
#
.
& GÞIÞ œ) ‘.
Intersezione con l'asse delle ordinate:
œB œ ! œ œB œ !
C œ / #B Ê B œ ! Ê C œ "
C œ / !
B ! . Intersezione nel punto
EÐ!ß "Ñ.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
B Ä _
637
/ #B œ /B _ Ð _Ñ œ ! _ œ _.Eventuale asintoto obliquo:
637 637
B Ä _ B Ä _
/ #B / / !
B œ B # œ _ # œ _ # œ # 7 œ #
B B _
. .
637 637
B Ä _/ #B #B œB B Ä _/ œ /B _ œ ! ; œ !. . Asintoto obliquo sx di equazione C œ #B.
B Ä _
637
/ #B œ /B _ _ œ _ _ œ _. Eventuale asintoto obliquo:637 637
B Ä _ B Ä _
/ #B / /
B œ B # œ _ # œ _ # œ _
B B _
, in quanto per B Ä _ B œ 9Ð/ Ñ, B . La funzione a dx non presenta asintoti.
Crescenza e decrescenza: C œ / #w B .
/ # ! Ê / #B B , verificata aB −‘. Funzione strettamente crescente.
Concavità e convessità: C œ /ww B.
/ !B , verificata aB − ‘. Funzione strettamente convessa.
Grafico:
' B œ > B œ > .B œ # > .> " .B œ
BÐ B $Ñ ) Posto È si ottiene # da cui , segue ( È È
( " ( # È
>Ð> $Ñ > $
Î # > .> œÎ .> œ # l> $l - œ # lln ln B $l -.
7) E † F † \ œ " $ † # " † B œ ( % † B œ
# ! $ " B % # B
X " "
# #
” • ” • Œ ” • Œ
Œ (B %B œ (B %B œ ##
%B #B" # E † F † \ œ G %B #B œ %" #
" # " #
. X se e solo se che con
semplici calcoli portano a B œ # B œ #" e # . 8) #C #BC )Bf0 œ #C )ß 'C %BC$ # ˆ # # ‰.
J SG #C ) œ ! Ê Ê C œ „#
'C %BC œ !
C œ %
BC œ ' B œ …$
: œ ## œ œ . Punti critici
#
E Є$ß …#Ñ"ß# .
[0 œ ! %C à l 0 l œ "'C[
%C "#C %B
” • #.
WSG l 0 ÐE Ñl œ '% ! E: [ "ß# . "ß# selle.
