Università degli Studi di Siena Dipartimento di Economia Politica e Statistica

Università degli Studi di Siena

Dipartimento di Economia Politica e Statistica

Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 5 luglio 2013

Compito 

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Come si può notare dall'ultima colonna, la proposizione composta proposta non è sempre vera quindi non si tratta di una tautologia.

#) La terza condizione equivale ad affermare che è continua in 0 B œ " con 0 Ð"Ñ œ #. Un possibile grafico di 0 ÐBÑ è proposto a sinistra nel disegno dopo l'esercizio 5.

$) Riflessiva: aB −, BeB? Vero, banale perché è formato con le stesse cifre di seB stesso.

Simmetrica : aÐBß CÑ −^#, BeC Ê CeB? Vero, banale perché se ed B C presentano nelle loro espressioni almeno una cifra in comune è ovvio che ed C B presentano la stessa cifra in comune.

Antisimmetrica: aÐBß CÑ −^#, ÐBeC C e eBÑ Ê B œ C? Falso, controesempio B œ " C œ "# e .

Transitiva: aÐBß Cß DÑ −^$, ÐBeC B e eDÑ Ê ÐBeDÑ? Falso, controesempio B œ "# C œ #$ D œ $%, e .

Completa: aÐBß CÑ −^#, ÐBeCÑ o ÐCeBÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ ! e C œ ".

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Segno: B/^#B"  ! Í B  !, funzione positiva in Ó!ß  _Ò, negativa in Ó  _ß !Ò.

Intersezioni: œB œ ! œB œ ! œ .

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Unica intersezione nel punto SÐ!ß !Ñ. Limiti agli estremi del GÞIÞ:

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/^#B"Ð"  #BÑ   ! Ê "  #B   ! Ê B    "Î#. Minimo assoluto in B œ  "Î#

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Concavità e convessità: C œ /^{ww #B"}† # Ð"  #BÑ  /^#B"† # œ % /^#B"Ð"  BÑ.

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Il grafico è proposto a destra nel disegno che segue.

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\ † ^ œ m\mm^mcos ! che per \_" da ! œ %&^‰ mentre per \_# da ! œ "$&^‰. 8) 0 œ &_B^w D †A B†-9=ÐBCÑ^{# $ #} †log& †  -9=ÐBCÑ  B † =/8ÐBCÑ † #BC † Cˆ # # ‰;

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Dipartimento di Economia Politica e Statistica

Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 5 luglio 2013

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Come si può notare dall'ultima colonna, la proposizione composta proposta non è sempre vera quindi non si tratta di una tautologia.

#) La terza condizione equivale ad affermare che

637

0 ÐBÑ œ  _. Un possibile

B Ä "

grafico di 0 ÐBÑ è proposto a sinistra nel disegno dopo l'esercizio 5.

$) Riflessiva: aB −, BeB? Vero, banale perché è formato con le stesse cifre di seB stesso.

Simmetrica : aÐBß CÑ −^#, BeC Ê CeB? Vero, banale perché se è formatoB con le stesse cifre di è ovvio che è formato con le stesse cifre di .C C B

Antisimmetrica: aÐBß CÑ −^#, ÐBeC C e eBÑ Ê B œ C? Falso, controesempio B œ "# C œ #" e .

Transitiva: aÐBß Cß DÑ −^$, ÐBeC B e eDÑ Ê ÐBeDÑ? Vero, banale perché se èB formato con le stesse cifre di e è formato con le stesse cifre di è ovvio che èC C D B formato con le stesse cifre di .D

Completa: aÐBß CÑ −^#, ÐBeCÑ o ÐCeBÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ ! e C œ ".

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Intersezioni: œB œ ! œB œ ! œ .

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Limiti agli estremi del GÞIÞ:

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B" . La funzione a dx non presenta

asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ # † /^{w B"} #B/^B" œ # /^B"Ð"  BÑ.

# /^B"Ð"  BÑ   ! Ê "  B   ! Ê B    ". Minimo assoluto in B œ  " pari a CÐ  "Ñ œ  #.

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Come si può notare dall'ultima colonna, la proposizione composta proposta è sempre vera quindi si tratta di una tautologia.

#) La terza condizione equivale ad affermare che è continua in 0 B œ # con 0 Ð#Ñ œ ". Un possibile grafico di 0 ÐBÑ è proposto a sinistra nel disegno dopo l'esercizio 5.

$) Riflessiva: aB −, BeB? Falso, qualsiasi non può non ammettere nella suaB espressione cifre differenti rispetto a se stesso.

Simmetrica : aÐBß CÑ −^#, BeC Ê CeB? Vero, banale perché se ed nonB C presentano nelle loro espressioni alcuna cifra in comune è ovvio che ed nonC B presentano nelle loro espressioni alcuna cifra in comune.

Antisimmetrica: aÐBß CÑ −^#, ÐBeC C e eBÑ Ê B œ C? Falso, controesempio B œ " C œ # e .

Transitiva: aÐBß Cß DÑ −^$, ÐBeC B e eDÑ Ê ÐBeDÑ? Falso, controesempio B œ " C œ # D œ ", e .

Completa: aÐBß CÑ −^#, ÐBeCÑ o ÐCeBÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ "# C œ #$ e .

% >1B  >1Ð=/8BÑ œ >1B  >1Ð=/8BÑ =/8B† œ "  " † " œ !

B B =/8B B

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B † #^{$ B} B † $ œ  _ † Ð^{# B}  _Ñ _ † ! œ J M. Riscritto il limite come: _{B Ä  _}

637

B † #  B , ricordiamo che per B Ä  _ B œ 9Ð$ Ñ,

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B # B

quindi _{B Ä  _}

637

B † #  B † $ œ  _^{$ B # B} .

& GÞIÞ œ) ‘.

Segno: B/^#B  ! Í B  !, funzione positiva in Ó!ß  _Ò, negativa in Ó  _ß !Ò.

Intersezioni: œB œ ! œB œ ! œ . C œ B/ Ê C œ ! † / Ê B œ !

C œ !

#B #

œC œ ! œC œ ! œC œ ! œ

C œ B/ Ê B/ œ ! Ê B œ ! ” / œ ! Ê C œ !

B œ !

#B #B #B .

Unica intersezione nel punto SÐ!ß !Ñ. Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä  _

637

B/^#B œ  _ †  _ œ  _.

637 637

B Ä  _ B Ä  _

B/

B œ / œ  _

#B #B . La funzione a sx non presenta asintoti.

637 637

B Ä  _B/ œ B Ä  _ B œ ! B œ 9Ð/ Ñ B Ä  _Þ /

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, poiché B# per Asintoto orizzontale dx di equazione C œ !Þ

Crescenza e decrescenza: C œ " † /^{w #B} B/^#B œ /^#BÐ"  BÑ.

/^#BÐ"  BÑ   ! Ê "  B   ! Ê B Ÿ ". Massimo assoluto in B œ " pari a CÐ"Ñ œ /.

Concavità e convessità: C œ  /^{ww #B}Ð"  BÑ  /^#B œ  /^#BÐ#  BÑ.

 /^#BÐ#  BÑ   ! Ê #  B Ÿ ! Ê B Ÿ #. Flesso discendente in B œ # di ordinata pari a CÐ#Ñ œ #.

Il grafico è proposto a destra nel disegno che segue.

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I vettori cercati sono \ œ Ð#ß !ß #Ñ_" oppure \ œ Ð  #ß !ß  #Ñ_# . Per determinare l'angolo formato fra il vettore e il vettore usiamo il Teorema del coseno\ ^

\ † ^ œ m\mm^mcos ! che per \_" da ! œ !^‰ mentre per \_# da ! œ ")!^‰. 8) 0 œ  $_B^{w B†-9=ÐBCÑ} †log$ † -9=ÐBCÑ  B † =/8ÐBCÑ † Cˆ ‰;

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