ESERCIZI SULLA DISTRIBUZIONE NORMALE 1.

ESERCIZI SULLA DISTRIBUZIONE NORMALE

1. Data una v.c. X con distribuzione N(10; 4) determinare la probabilità che X assuma un valore: a) inferiore a 8, b) superiore a 13, c) compreso fra 9 e 10.7.

a)

  1 1   1 1 0 8413 0 1587

2 10 8) 8

P( X          .  .



 



  





b)

1   1 5 1 0 9332 0 0668

2 10 1 13

13) P(

- 1 13)

P( X X     .   .  .



 



  











c)

   

  0 35 1   0 5 0 6368 1 0 6915 0 3283

5 0 35

2 0 10 9 2

10 7 9) 10

P(

10.7) P(

10.7) P(9

. .

. . .

. . .

X X

X





























 



 



  

 



 



 

















2. Sia X una variabile normale con media 10 e varianza 36 e sia Y una variabile indipendente da X, con distribuzione normale con media 8 e varianza 4. Calcolare P(X>10, Y<12).

 

 

4886 . 0 0.9772 0.5

) 12 , 10 P(

9772 . 0 2 2

8 ) 12

12 P(

5 . 0 0 6 1

10 1 10

10) P(

1 ) 10 P(















 



 



  











 



 



  













Y X

Y

X X

3. Sia X una variabile normale con media 10 e deviazione standard 3 e sia Y una variabile indipendente da X, con distribuzione normale con media 6 e deviazione standard

13

. Calcolare P[(2X-Y)<12].

   

   ^{0 . 29}  ¹   ^{0 . 29 1 0 . 6141 0 . 3859}

7 14 12 12

) (2 P

49 13 36 ) V(

4 ) V(2

14 6 20 ) E(

2 ) E(2

















 



 



  































Y X

Y X V Y X

Y X E Y X

4. Si consideri una variabile X normale con media 14 e varianza 36 ed una variabile Y, anch’essa normale, con media 4 e varianza 25. Sapendo che Cov(X, Y)=10, calcolare P[(X+Y) > 45].

   

  ¹   ^{3 1 0 . 99865 0 . 00135}

9 18 1 45

45 ) ( P

81 10 2 25 36 ) , 2Cov(

) V(

) V(

18 4 14 ) E(

) E(











 



 



 









































Y X

Y X Y

X V Y X

Y X E Y X

5. Si consideri una variabile X normale con media 2 e varianza 6 ed una variabile Y, anch’essa normale, con media 2 e varianza 5. Sapendo che Cov(X, Y)=5, calcolare P[(2X+Y) < 4].

     

    ^{0 . 29 0 . 6141}

7 2 4 4

) (2 P

49 20 5 24 ) , 4Cov(

) V(

4 ) , 2Cov(2 )

V(

2 ) V(2

2 2 4 ) E(

2 ) E(2





 



 



  









































Y X

Y X Y

X V Y X Y

X V Y X

Y

X

E

Y

X

6) Siano X1,… X16 v.c. indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 16 e varianza 256.

Calcolare: a)

^P  ^{X  26} 

^{; b)}

P  X

₁

 24 , X

₂

 32 

a) Osservato che 



 



 16

16 16256

~N ,

X risulta

  ¹   ^{2 5 1 0 9938 0 0062}

16 16 1 26

26 . . .

X

P        

  









b)

    0 5  1   1  0 6915  1 0 8413  0 109741 256

16 1 32

256 16 32 24

24

₂

1

, X . . . .

X

P         



 



  

  



 

 

  







7) Siano X1,… X4 v.c. indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 4 e varianza 100.

Calcolare: a)

P   2 X

₁

 2 X

₂

  16 

^{; b)}

^P  ^{X  6} 

a)

E  2 X

₁

 2 X

₂

  2 E   X

₁

 2 E   X

₂

 16  P   2 X

₁

 2 X

₂

  16   1     0  0 . 5

b) Osservato che 



 



 25 4 4100

~N ,

X risulta

        ^{0 4 2 0 6554 1 0 9772 0 6326}

25 4 6 25

4 6 6

6

6 P X . . . .

X

P         

 

   



 

 

  













8) Siano X1,… X9 v.c. indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 4 e varianza 36.

Calcolare: a)

P  X

₁

 10 

; b)

P   2 X

₁

 X

₂

  54 

a)

   

1 08413

6 4 10 10

1 .

X

P  



 



 





b)

E  2 X

₁

 X

₂

  2 E     X

₁

 E X

₂

 2  4  4  4

 2 X

₁

 X

₂

  4 V     X

₁

 V X

₂

 4  36  36  180 V

 

      1   3 73 0 0001

180 4 1 54

54 2

1 54

2 X

₁

X

₂

P X

₁

X

₂

. .

P      

  

















