Pioggia su carrello

Pioggia su carrello

Sia dato un carrello di massa M che si muove in maniera rettilinea a velocit`a iniziale v0. Ad un certo istante inizia a piovere e le gocce, di massa m << M , cadono con velocit`a verticale ~u (assenza di vento).

Si descriva come varia la velocit`a del carrello trascurando l’eventuale urto delle gocce con la parete anteriore o posteriore del carrello stesso.

Soluzione

In un’intervallo di tempo ∆t, breve ma finito, una quantit`a di pioggia ∆m cade sul carrello in moto, pertanto possiamo scrivere la variazione della quantit`a di moto del sistema carrello+pioggia come impulso delle forze esterne al sistema:

F ∆t = ~~ Q(t + ∆t) − ~Q(t) = (m + ∆m)(~v + ∆~v) − (m~v + ∆m ~u) (1) Si noti l’ultimo termine fra parentesi, ∆m ~u, che rappresenta la quantit`a di moto iniziale dell’acqua poi raccolta sul carrello. Sviluppando il prodotto e trascurando il termine di second’ordine, si pu`o scrivere:

F ∆t = m ∆~~ v − ~v_rel∆m (2)

dove abbiamo introdotto la velocit`a relativa

~v_rel = ~u − ~v che rappresenta la velocit`a dell’acqua vista dal carrello.

Dividendo per l’intervallo temporale, e facendo tendere a zero questo intervallo, risulta:

F (t) = m~a(t) − ~~ v_reld m(t)

dt (3)

Questa equazione rappresenta la generalizzazione della legge di Newton nei casi di massa variabile nel tempo. Si noti che m(t) rappresenta la massa totale del sistema carrello+pioggia.

m(t) = M + m_P(t)

Se S `e la superficie di base del carrello, e ρ la densit`a dell’acqua, la massa della pioggia accumulata sul carrello in un tempo t vale:

m_P(t) = ρ · S · ut (4)

che rappresenta la massa di un volumetto di pioggia di supeficie di base S e altezza ut.

La velocit`a u `e misurata dai pluviometri (millimetri di pioggia al secondo).

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Proiettiamo l’eq.3 sui due assi verticale e orizzontale notando che le uniche forze esterne sono la reazione vincolare del piano sul carrello e la forza peso del carrello stesso, entrambe dirette lungo l’asse y.







R − M g = −udm dt 0 = mdv

dt + vdm dt

(5)

Dalla prima equazione ricaviamo la reazione del piano, mentre dalla seconda la vari- azione di velocit`a del carrello. Separando le variabili si ottiene:

log v(t)

v₀ = − logm(t)

m₀ = log M

M + m_P(t) (6)

da cui possiamo esplicitare v(t):

v(t) = v₀ M

M + ρSut (7)

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