Analisi Matematica A 30 agosto 2019 COMPITO 1
Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Istruzioni
1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.
2. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”
vicino alla risposta scelta.
3. PUNTEGGI: Esercizi 1-6: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data = 0. Esercizio 7:
risposta esatta = +1; risposta sbagliata = −0.25; risposta non data = 0. Esercizio 8: grafico corretto = +1;
grafico scorretto o non disegnato = 0. Esercizio 9: risposta esatta = +5; risposta sbagliata = −0, 5; risposta non data = 0.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.
5. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO
6. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
A A A A A A
B B B B B B
C C C C C C
D D D D D D
7a. 7b. 7c. 7d. 7e. 7f.
V V V V V V
F F F F F F
Spazio per lo svolgimento dell’esercizio 8.
x y
Analisi Matematica A 30 agosto 2019 COMPITO 1
1. Il luogo geometrico dato dagli z ∈ C tali che
Re i(z2+ (Imz)2) − z ei32π(z ¯z − 7e4πi)
!
= 0
`
e dato da
Risp.: A : una parabola B : una parabola privata di due punti C : due punti D : una circonferenza privata di quattro punti
2. Il limite
n→+∞lim
n
√7
n − 1 + 3−n
√n + 7 −√
n log ((n + 1)3) vale
Risp.: A : 23 B : 13 C : e7 D : 3
3. Il limite
lim
x→0+
2log(1 + 2x2) − x arctan(2x) + 4x4 8x (sinh(2x) − 2x)
vale
Risp.: A : 0 B : 12 C : 3 D : +∞
4. Siano α > 0 e f : R → R data da
f (x) =
arctan
x2 α31x
se x 6= 0
0 se x = 0.
Allora in x0 = 0
Risp.: A : f ammette un punto di salto se α 6= 3 ed ammette un punto di cuspide per α = 3 B : f ammette un punto a tangente verticale per ogni α C : f ammette un punto di salto se α > 3 ed un punto angoloso per α ≤ 3 D : f ammette un punto di salto se α 6= 3 ed `e derivabile per α = 3
5. Si consideri la funzione f (x) = π4√
2 + ex. Allora il coefficiente angolare di qualsiasi retta parallela alla retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa x = logπ2 vale
Risp.: A : √ π
2+π/2 B : 2
π√
2+π/2 C : √ 1
2+π/2 D : 4πp2 + π/2
6. Siano {an}n∈N e {bn}n∈N due successioni numeriche non oscillanti. Delle seguenti affermazioni (a) se lim
n→+∞an < 0 allora esiste m ∈ N tale che an < 0, ∀ n ∈ N con n ≥ m (b) se esiste m ∈ N tale che an < bn, ∀ n ∈ N con n ≥ m, allora lim
n→+∞an < lim
n→+∞bn (c) se {an}n∈N `e infinitesima allora {cos(an)}n∈N `e infinitesima (d) se {an}n∈N `e positivamente di- vergente allora n
(−1)n 1a
n
o
n∈N`e infinitesima (e) se {an}n∈N`e negativamente divergente allora {|an| + arctan(bn)}n∈N `e positivamente divergente
le uniche corrette sono
Risp.: A : (a), (d), (e) B : (a), (b), (c), (d) C : (b), (e) D : (c), (d)
7. Sia data la funzione definita da
f (x) = x − 2 + |x|
e1x Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
(a) f ammette asintoti verticali V F
(b) y = 2x + 4 `e asintoto obliquo di f a +∞ V F (c) f non ammette asintoto orizzontale a −∞ V F (d) limx→0+f0(x) = 0 V F
(e) x =
√ 5−1
2 `e punto di minimo locale V F
(f) L’equazione f (x) = 7 non ammette alcuna soluzione V F
8. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 7 nell’apposito spazio sul foglio precedente.
9. Si consideri una funzione f : I → R definita in un intervallo reale I ⊆ R, derivabile n volte in x0∈ I con n ∈ N arbitrario. Definire il polinomio di Taylor Txn0(f ) di f di centro x0 e grado n e scrivere, poi, la formula di Taylor-Peano di grado n e centro x0 per la funzione f .
