Analisi Matematica A 14 gennaio 2016 COMPITO 1
Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Istruzioni
1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.
2. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”
vicino alla risposta scelta.
3. PUNTEGGI: Esercizi 1-6: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data = 0. Esercizio 7:
risposta esatta = +1; risposta sbagliata = −0.25; risposta non data = 0. Esercizio 8: grafico corretto = +1;
grafico scorretto o non disegnato = 0. Esercizio 9: risposta esatta = +5; risposta sbagliata = −0, 5; risposta non data = 0.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.
5. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO
6. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
A A A A A A
B B B B B B
C C C C C C
D D D D D D
7a. 7b. 7c. 7d. 7e. 7f.
V V V V V V
F F F F F F
Spazio per lo svolgimento dell’esercizio 8.
x y
Analisi Matematica A 14 gennaio 2016 COMPITO 1 1. Il luogo degli z ∈ C tali che
(z − 2)2 = (z − 2)2
`
e costituito
Risp.: A : dal punto (2, 0) B : dall’unione delle rette di equazione x = 2, y = 0 C : da una circonferenza con centro nel punto (2, 0) D : dalla retta di equazione y = 0
2. Le soluzioni z ∈ C dell’equazione 1
22z5+ z3+ 2iz2+ 23i = 0 sono date da (non tenendo conto della molteplicit`a)
Risp.: A : n
2i, −2i, 2
−
√3 2 + 12i
, 2
−
√3 2 −12i
o B :n
2i, −2i, 2
−√1
2 −√1
2i , 2
√1 2 −√1
2io C : n
2, 2i, −2i, 2
−
√3 2 − 12i
, 2√
3
2 −12io D :n
2i, −2i, 2
−
√3 2 −12i
, 2
√
3 2 −12i
o
3. Sia α > 0. Il limite
n→+∞lim
1 + sinnπn2+72
[n(n + 1)! + 1]2 (n! + 1)3
1 − e(n+1)!3 q n(2+2
√
2)α+ 7 sin(nn) esiste finito se e solo se
Risp.: A : α ≥ 5
1+√
2 B : α < 5
1+√
2 C : ∀α D : α < 1
1+√ 2.
4. Il limite
lim
x→0+
1 + x2− ex sin x+ ln 1 +43x4
ex−12(1 + e2x) tan(4x2) vale
Risp.: A : −34 B : −12 C : −∞ D : 16
5. Si considerino le successioni {an}n∈N e {bn}n∈N definite da an= sin 2
n!
, bn= 3−n, ∀ n ∈ N e l’insieme A = {1/bn, n ∈ N}. Delle seguenti affermazioni
(a) {an} `e un infinitesimo di ordine superiore a {bn} (b) A ammette il minimo (c) {an+ bn} `e una successione di Cauchy (d) la successione {(−1)nan} `e oscillante (e) A `e limitato
le uniche corrette sono
Risp.: A : (b), (e) B : (a), (c), (d) C : (a), (b), (c) D : (d), (e)
6. Sia α ∈ R \ {0}. Allora la funzione f : R → R data da
f (x) =
esin xx − e
α arctan(x2) se x 6= 0
1 se x = 0
`
e continua sul suo dominio se e solo se
Risp.: A : per nessun valore di α B : α = −16 C : α = −e6 D : α = −e
7. Sia data la funzione
f (x) =p|x|e2−x2 Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
(a) dom(f ) = R. V F
(b) y = 2 `e asintoto orizzontale per x → +∞. V F (c) f ammette asintoto obliquo per x → −∞. V F (d) x = 0 `e punto di cuspide. V F
(e) x = 1 `e punto di massimo relativo. V F (f) f ([0, +∞[) =h
0, e12i
. V F
8. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 7 nell’apposito spazio sul foglio precedente.
9. Dati A ⊆ R, x0 ∈ A e f : A → R, definire la continuit`a di f in x0.
