Approfondimenti esercizio di meccanica compito 3-giugno-2014
March 9, 2016
Trovate il testo del problema sul mio sito, sia in incagli/didattica/AA1516 che in incagli/ues, sia sul sito di Cella cella/ueg .
Rispetto alla soluzione l´ı indicata, voglio approfondire due argomenti:
1. conservazione dell’energia nel sistema inerziale;
2. sviluppo della funzione “energia potenziale” intorno alle posizioni di equilibrio.
1 Energia nel sistema inerziale
Il problema 3-giugno-2014 viene risolto nel sistema non inerziale imponendo la conservazione dell’energia ed includendo nell’energia potenziale anche il potenziale centrifugo:
Esni= 1
2ml2θ˙2− mgz −1
2mΩ2ρ2 (1)
dove sni indica il sistema non inerziale e dove l’ultimo termine `e il poten- ziale centrifugo. L’energia viene poi scritta in funzione dell’unica variabile indipendente – la scelta naturale `e l’angolo θ – utilizzando le relazioni:
z = l cos θ
ρ = l sin θ (2)
Nel sistema inerziale, la velocit`a pu`o essere scomposta in una compo- nente sul piano di oscillazione ed in una intorno all’asse di rotazione, per cui l’energia totale si scrive:
Esi= 1
2ml2θ˙2+1
2mΩ2ρ2− mgz (3)
NOTA: volendo insistere nelle coordinate cilindriche, il termine v2da inserire nell’energia cinetica si scrive:
v2= ˙ρ2+ ρ2φ˙2+ ˙z2 (4) 1
Ma derivando le relazioni in eq.2 e ricordando che ˙φ = Ω, si trova l’espressione usata in eq.3 .
Se proviamo a scrivere un potenziale efficace Uef f(θ) utilizzando l’eq.3, troviamo una differenza con quanto scritto a partire dall’eq.1 nel sistema non inerziale.
Perch´e questa differenza? Prima di girare pagina e leggere la soluzione, provate a pensarci con attenzione.
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Pensateci un altro p`o e e rileggete con attenzione l’inizio di questo para- grafo.
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La soluzione `e la seguente: nel sistema inerziale l’energia non si conserva in quanto il motore che tiene il pendolo in rotazione a velocit`a costante compie lavoro!
Notare che all’inizio del paragrafo ho scritto imponendo la conservazione dell’energia. Questo non pu`o essere fatto nel sistema di riferimento inerziale, a meno che non si includa nel calcolo anche il lavoro fatto dal motore.
Per calcolare il lavoro fatto dal motore, utilizziamo una relazione che ho scritto negli appunti sul corpo rigido nel caso di rotazioni intorno ad un asse:
Lmotore= Z
Mzdφ Sviluppando questa relazione:
Lmotore= Z
Mzdφ = Z dLz
dt dφ
dtdt = Ω Z dLz
dt dt = ΩLz (5) dove nell’ultima equazione abbiamo assunto che Lz(0) = 0, cio`e il corpo era fermo (non ruotava intorno all’asse z) quando `e stato acceso il motore. Si noti che ponendo una diversa condizione iniziale il risultato non cambia in quanto si tratta di una costante che pu`o essere riassorbita nella definizione dello 0 dell’energia potenziale.
Essendo questo un moto di rotazione intorno ad un asse fisso, possiamo scrivere Lz = IzΩ, per cui:
Lmotore= IzΩ2= mρ2Ω2 (6)
Quindi, chiamando E0 l’energia nella configurazione iniziale (ad esempio pendolo posto ad un angolo θ0 o a cui viene data una velocit`a iniziale v0), risulta:
Esi− E0= Lmotore → Esi+ Lmotore= E0= cost (7) Sostituendo le espressioni trovate:
E0= 1
2ml2θ˙2+1
2mρ2Ω2− mgz − mρ2Ω2= 1
2ml2θ˙2+ Uef f(θ) (8) Confrontando con eq.1 si nota che, includendo esplicitamente il lavoro del motore, troviamo la stessa energia potenziale, e quindi le stesse posizioni di equilibrio.
2 Sviluppo al second’ordine dell’energia potenziale per piccole oscillazioni
Consideriamo un moto unidimensionale di una massa m in presenza di una forza conservativa alla quale corrisponde una energia potenziale U (x).
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Non essendoci forze dissipative l’energia si conserva, per cui:
E = 1
2m ˙x2+ U (x) = cost (9)
Supponiamo che esista una posizione x0 di equilibrio statico. In cor- rispondenza di questa posizione l’energia potenziale ha un punto di minimo, quindi: U0(x0) = 0 e U ”(x0) > 0.
Allora possiamo sviluppare l’energia potenziale intorno a x0 ottenendo:
E = 1
2m ˙x2+ U (x0) + U ”(x0)(x − x0)2
2 + O((x − x0)3) (10) Se siamo in regime di piccole oscillazioni, cio`e se il termine cubico `e piccolo rispetto a quello quadratico, possiamo trascurare i termini successivi alla derivata seconda e, ponendo k ≡ U ”(x0) si ha:
E ' 1
2m ˙x2+ 1
2kx2 (11)
Questa corrisponde all’energia di un oscillatore armonico di pulsazione ω2= k
m
Quindi, nei dintorni del minimo, ogni potenziale (per il quale esista e sia non nulla la derivata seconda nel punto di minimo) d´a luogo ad una oscillazione armonica.
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