Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Tema d’Esame del 3 giugno 2014 – Secondo parziale
Esercizio 1
𝑅 = 2𝑟 = 0,6 𝑚; 𝑀 = 2𝑚 = 4 𝑘𝑔; 𝜃 = 30°;
i. 𝑇 = ? e 𝜑 = ? t.c. ci sia equilibrio;
L’equilibrio per il corpo rigido in questione consta di due condizioni:
- La somma delle forze esterne è nulla;
- La somma dei momenti delle forze esterne rispetto al vincolo 𝑂 è nulla.
Imponiamo queste due condizioni al fine di determinare la tensione 𝑇.
{𝜑𝑥 − 𝑇 cos 𝜃 = 0 𝜑𝑦 − (𝑚 + 𝑀)𝑔 + 𝑇 sen 𝜃 = 0 ⟹ {
𝜑𝑥− 𝑇 cos 𝜃 = 0 𝜑𝑦 − 3𝑚𝑔 + 𝑇 sen 𝜃 = 0 𝑇(𝑅 + 𝑟) sen 𝜃 − (𝑚 + 𝑀)𝑔𝑅 = 0 ⟹ 𝑇(3𝑟) sen 𝜃 − 3𝑚𝑔(2𝑟) = 0
𝑇 sen 𝜃 − 2𝑚𝑔 = 0 ⟹ 𝑇 = 2𝑚𝑔
sen 𝜃 ≈ 78,4 𝑁
Una volta determinata la tensione 𝑇, è possibile calcolare la reazione vincolare 𝜑.
{𝜑𝑥 = 𝑇 cos 𝜃 = 2𝑚𝑔 cotg 𝜃 ≈ 67,9 𝑁
𝜑𝑦 = 3𝑚𝑔 − 𝑇 sen 𝜃 = 𝑚𝑔 ≈ 19,6 𝑁 ⟹ 𝜑 = √𝜑𝑥2+ 𝜑𝑦2 ≈ 70,7 𝑁 ii. 𝛼 = ?;
Subito dopo il taglio della fune, non c’è equilibrio dei momenti; per la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi si ha che:
𝑀𝑂𝑒 = 𝑑𝐿𝑂 𝑑𝑡
Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Inoltre, per il teorema del momento angolare nel caso di corpi in rotazione attorno ad un asse principale d’inerzia si ha che:
𝑀𝑂𝑒 = 𝑑(𝐼𝑂𝜔)
𝑑𝑡 = 𝐼𝑂𝛼
dove 𝐼𝑂 è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione passante per 𝑂, che, avvalendoci del teorema di Huygens-Steiner, può essere così espresso:
𝐼𝑂 =1
2𝑚𝑟2+1
2𝑀𝑅2+ (𝑚 + 𝑀)𝑅2 = 1
2𝑚𝑟2+1
22𝑚(4𝑟2) + 3𝑚(4𝑟2)
=1
2𝑚𝑟2+ 4𝑚𝑟2+ 12𝑚𝑟2 =33 2 𝑚𝑟2 Si giunge dunque alla seguente equazione:
(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑅 = 𝐼0𝛼 6𝑚𝑔𝑟 = 33
2 𝑚𝑟2𝛼 ⟹ 4𝑔 = 11𝛼𝑟 ⟹ 𝛼 = 4 11
𝑔
𝑟 ≈ 11,9 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 iii. 𝜔 = ?;
Per trovare la velocità angolare con cui il corpo, cadendo, giunge in posizione allineata rispetto alla verticale, è opportuno sfruttare il principio di conservazione dell’energia meccanica. Inizialmente il corpo possiede soltanto energia potenziale – rispetto al livello zero che consideriamo essere la posizione finale in cui giunge il suo baricentro – che viene convertita interamente in energia cinetica.
(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑅 = 1 2𝐼𝑂𝜔2 6𝑚𝑔𝑟 = 1
2 33
2 𝑚𝑟2𝜔2 ⟹ 8𝑔 = 11𝜔2𝑟 ⟹ 𝜔 = √ 8 11
𝑔
𝑟 ≈ 4,87 𝑟𝑎𝑑/𝑠
