SSSUP 2014 Corso di Complementi di Analisi Matematica II

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SSSUP 2014

Corso di Complementi di Analisi Matematica II

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 01 – Presentazione del corso. Spazi metrici: prime definizioni ed esempi. . . 5 Lezione 02 – Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Rapporti tra prodotto scalare, norma,

distanza. Convergenza puntuale ed uniforme di funzioni. . . 9 Lezione 03 – Teorema delle contrazioni in spazi metrici (teorema di punto fisso). Lo

spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso rispetto alla distanza della convergenza uniforme `e completo . . . 14 Lezione 04 – Dimostrazione mediante punto fisso del teorema di esistenza ed unicit`a

per equazioni differenziali. . . 18 Lezione 05 – Teorema di Ascoli-Arzel`a (con dimostrazione). . . 23 Lezione 06 – Dimostrazione del teorema di sola esistenza per equazioni differenziali

mediante approssimazione con problemi Lipschitz. . . 28 Lezione 07 – Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricopri-

menti, compattezza per successioni e completezza + totale limitatezza. . . 32 Lezione 08 – Teorema di Weierstrass e sue varianti in spazi metrici. Teorema di

Heine-Cantor in spazi metrici. . . 38 Lezione 09 – Introduzione al calcolo delle variazioni: metodo diretto vs metodo indi-

retto. Condizioni necessarie per essere punto di max/min: differenziale secondo Gateaux e derivata lungo curve. . . 42 Lezione 10 – Equazione di Eulero-Lagrange per funzionali integrali: primi esempi.

Condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. . . 46 Lezione 11 – Equazione di Eulero-Lagrange per funzionali integrali: caso pi`u generale.

Discussione di diverse condizioni al bordo. Ruolo della convessit`a nel dimostrare che le soluzioni sono minimi. . . 51 Lezione 12 – Esempi di studio di funzionali: caso convesso vs caso non convesso

(rispetto alla derivata). . . 56 Lezione 13 – Spazi di Hilbert. Convergenza di serie negli spazi di Hilbert. Basi

Hilbertiane. . . 61 Lezione 14 – Enunciato dell’esistenza della base Hilbertiana. Convergenza forte e

convergenza debole negli spazi di Hilbert. Compattezza debole delle palle. . . 65 Lezione 15 – Principali propriet`a della convergenza debole. Semicontinuit`a della

norma rispetto alla convergenza debole. Spazio L². . . 70 Lezione 16 – Spazi di Sobolev: definizione W (integrazione per parti) e definizione H

(approssimazione). Holderianit`a delle funzioni in H¹ (in dimensione 1). Primi esempi di convergenza. . . 74 Lezione 17 – Metodo diretto nel calcolo delle variazioni (parte prima): formula-

zione debole, compattezza, semicontinuit`a. Passaggio al limite negli integrali:

convergenza dominata. . . 80 3

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4 INDICE

Lezione 18 – Metodo diretto nel calcolo delle variazioni (parte seconda): equazione di Eulero in H¹, regolarit`a via bootstrap. Convergenza debole e semicontinuit`a di integrali. . . 85 Lezione 19 – Teorema spettrale in dimensione finita. Caratterizzazione variazione di

autovalori/autovettori. Quoziente di Rayleigh e moltiplicatori di Lagrange. . . 89 Lezione 20 – Quoziente di Reyleigh senza moltiplicatori di Lagrange. Applicazioni

compatte in spazi di Hilbert. Teorema spettrale per applicazioni compatte in spazi di Hilbert. . . 93 Lezione 21 – Doppia primitiva come esempio di operatore lineare, simmetrico e

compatto. Discussione di varie possibili condizioni al bordo. . . 97 Lezione 22 – Calcolo degli autovalori e autovettori della doppia primitiva con diverse

condizioni al bordo. Corrispondenti sviluppi in serie di Fourier. . . 102 Lezione 23 – Teoremi di convergenza puntuale e uniforme per serie di Fourier. Ap-

plicazione al calcolo di una serie numerica. . . 107 Lezione 24 – Serie di Fourier e spazi di Sobolev. Equazione di Eulero per un problema

variazionale in pi`u dimensioni: Laplaciano. Condizioni di Dirichlet e Neumann in pi`u variabili. . . 112 Lezione 25 – Laplaciano su un rettangolo e relativa serie di Fourier. Laplaciano

discreto e algoritmo jpeg. . . 117 Lezione 26 – Introduzione alle equazioni alle derivate parziali di evoluzione. Equazione

del calore risolta mediante serie di Fourier. . . 121 Lezione 27 – Regolarit`a delle soluzioni dell’equazione del calore ottenuta mediante le

serie di Fourier. Equazione del calore con dato iniziale distribuzione. . . 126 Lezione 28 – Delta di Dirac come esempio di distribuzione. Propriet`a qualitative

dell’equazione del calore: decrescita dell’energia, comportamento dell’integrale, limite all’infinito. . . 131 Lezione 29 – Equazione delle onde su tutta la retta: formula esplicita come somma

di traveling waves. Dominio di dipendenza. Accenno al dominio di dipendenza in dimensione pari vs dispari. . . 135 Lezione 30 – Equazione delle onde su un intervallo risolta mediante serie di Fourier.

Regolarità dei dati vs regolarità della soluzione. Identità dell’energia. . . 140

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Stampato delle lezioni 5

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