SSSUP 2015 Corso di Complementi di Analisi Matematica II

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SSSUP 2015

Corso di Complementi di Analisi Matematica II

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 01 – Limsup/liminf di successioni: definizione e caratterizzazione. Enunciato di alcuni risultati classici sui limiti in versione limsup/liminf. Equivalenza con maxlim/minlim. . . 6 Lezione 02 – Limsup/liminf di funzioni: definizione e caratterizzazione con le succes-

sioni. Funzioni semicontinue. Teorema di Bolzano-Weiertrass e di Weierstrass. 11 Lezione 03 – Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Moduli di

continuit`a. Funzioni Lipschitziane e Holderiane. . . 16 Lezione 04 – Successioni di funzioni. Definizione di convergenza puntuale ed uniforme.

Esempi e controesempi classici. Teorema di scambio dell’integrale. Teorema di scambio della derivata (versione semplificata). . . 21 Lezione 05 – Successioni di Cauchy a valori reali. Completezza dei numeri reali.

Dimostrazione via completezza che l’assoluta convergenza implica la convergenza per le serie numeriche. Teorema di scambio del limite per successioni di funzioni. 26 Lezione 06 – Continuit`a del limite uniforme di funzioni continue. Teorema di scambio

della derivata (versione integrale). Serie di funzioni. Convergenza totale implica convergenza uniforme. Esempi. . . 31 Lezione 07 – Introduzione al calcolo delle variazioni: metodo indiretto vs metodo

diretto. Condizioni necessarie per essere un punto di minimo (derivata lungo curve). Primo esempio di equazione di Eulero per un funzionale integrale. . . . 37 Lezione 08 – Lemma di Du Bois-Reymond. Secondo esempio di equazione di Eulero

per funzionali integrali, con nascita di una condizione di Neumann. Condizioni al bordo di Dirichlet/Neumann. Esempi in cui il minimo non esiste. . . 43 Lezione 09 – Equazione di Eulero per funzionali integrali generali (con dipendenza fino

alla derivata prima). Ruolo della convessit`a dell’integranda nella dimostrazione dell’esistenza del minimo. . . 48 Lezione 10 – Due esempi di studio di minimi di funzionali (ispirati dalla ricostruzione

di segnali e dalla posizione di equilibrio di una trave). . . 54 Lezione 11 – Definizione di spazio metrico. Completezza. Completezza dello spazio

delle funzioni limitate e dello spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso. Teorema delle contrazioni in uno spazio metrico. . . 58 Lezione 12 – Teorema di esistenza ed unicit`a per il problema di Cauchy dimostrato

mediante la formulazione integrale ed il teorema delle contrazioni. Discussione dell’unicit`a. . . 64 Lezione 13 – Teorema di sola esistenza per equazioni differenziali dimostrato passando

al limite in opportuni problemi approssimanti. . . 69 3

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Lezione 14 – Road map del metodo diretto del calcolo delle variazioni. Introduzione agli spazi di Hilbert. Convergenza assoluta di serie in uno spazio di Hilbert.

Definizione di base algebrica e base Hilbertiana. . . 74 Lezione 15 – Prime propriet`a delle basi Hilbertiane. Mancata convergenza (forte)

delle palle e delle sfere in dimensione infinita. Definizione di convergenza debole e prime propriet`a. Convergenza debole e componenti rispetto ad una base Hilbertiana. . . 79 Lezione 16 – Esistenza di una base Hilbertiana in uno spazio di Hilbert separabi-

le. Convergenza debole e convergenza delle componenti rispetto ad una base Hilbertiana. Compattezza debole delle palle. Semicontinuit`a inferiore della norma. . . 85 Lezione 17 – Spazio delle funzioni a quadrato sommabile. Spazi di Sobolev: definizione

W (integrazione per parti) e definizione H (approssimazione). Derivate deboli e loro stabilit`a per passaggio al limite. . . 90 Lezione 18 – Esempio di semicontinuit`a e compattezza per un funzionale integra-

le. Convergenza uniforme e continuit`a di integrali. Convergenza debole e semicontinuit`a di integrali. . . 95 Lezione 19 – Come dimostrare la compattezza delle successioni minimizzanti. Holde-

rianit`a delle funzioni negli spazi di Sobolev. Enunciato del teorema di Ascoli- Arzel`a. . . 100 Lezione 20 – Esempio di applicazione del metodo diretto del calcolo delle variazio-

ni: formulazione debole, compattezza delle successioni minimizzanti, semiconti- nuità, equazione di Eulero in forma debole, regolarità via bootstrap. Esempio di esistenza/unicità per un’equazione differenziale dimostrata mediante il problema di minimo associato. . . 106 Lezione 21 – Applicazioni lineari simmetriche e compatte in spazi di Hilbert. Enun-

ciato del teorema spettrale. Doppia primitiva come esempio di operatore lineare, simmetrico e compatto. Calcolo degli autovalori ed autovettori con condizioni di Dirichlet al bordo. . . 112 Lezione 22 – Calcolo degli autovalori e autovettori della doppia primitiva con diverse

condizioni al bordo. Corrispondenti sviluppi in serie di Fourier. . . 117 Lezione 23 – Enunciato dei teoremi di convergenza puntuale e uniforme per serie di

Fourier con condizioni periodiche. Uso delle simmetrie per ottenere le serie di Fourier con diverse condizioni al bordo (ed i relativi risultati di convergenza) a partire da quella periodica. . . 123 Lezione 24 – Utilizzo delle serie di Fourier per il calcolo di una serie numerica. Serie

di Fourier della derivata. Serie di Fourier e spazi di Sobolev. . . 128 Lezione 25 – Introduzione alle equazioni alle derivate parziali di evoluzione. Equazione

del calore su un intervallo risolta mediante serie di Fourier. . . 133 Lezione 26 – Equazione del calore: regolarit`a delle soluzioni e comportamento asin-

totico via convergenza uniforme della serie di Fourier, interpretazione delle condizioni al bordo, stime energetiche, interpretazione statistica. . . 138 Lezione 27 – Equazione delle onde su un intervallo risolta mediante serie di Fourier.

Regolarità dei dati vs regolarità della soluzione. Identità dell’energia. . . 143

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Lezione 28 – Equazione delle onde su tutta la retta: formula generale come som- ma di due traveling waves. Dominio di dipendenza, in una o pi`u dimensioni.

Estensione al caso di una semiretta. . . 148 Lezione 29 – Equazione di Eulero per un funzionale integrante in pi`u variabili: dal

gradiente al laplaciano con derivata normale nulla. Serie di Fourier su un rettangolo. . . 153 Lezione 30 – Analogo discreto della derivata seconda e del laplaciano. Accenno al

loro utilizzo all’interno dell’algoritmo jpeg. . . 158 Compitino – Testo . . . 161 Compitino – Traccia delle soluzioni . . . 162

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Scuola Superiore di Studi Universitari e di Perfezionamento S. Anna

Esame di Complementi di Analisi Matematica II

Pisa, 13 Aprile 2015 1. Consideriamo la funzione

f (x) = (3 + sin²x) cos1 x. Calcolare liminf e limsup di f (x) per x→ +∞ e x → 0⁻. 2. Consideriamo la funzione definita da

f (x) = X∞ n=1

1 n + n³x⁶.

(a) Determinare per quali valori reali di x si ha convergenza puntuale.

(b) Dimostrare che la funzione f (x), dove `e definita, `e continua e derivabile.

(c) Calcolare i seguenti limiti:

x→+∞lim f (x), lim

x→0f (x).

3. Consideriamo il problema di minimo min

Z 3 0

[ ˙u + u + x]²dx : u∈ C¹([0, 3]), u(3) = 0

.

(a) Determinare l’equazione di Eulero associata al problema e le relative condizioni al bordo.

(b) Determinare se il problema di minimo ha soluzione e in caso affermativo determinare se il punto di minimo `e unico.

4. Consideriamo il funzionale F (u) =

Z 1 0

u¨²+ ˙u²+ 5xu dx ed il problema di minimo

min

F (u) : u∈ C²([0, 1]), u(0) = 0, u^′(0) = u^′(1) .

(a) Determinare l’equazione di Eulero associata al problema e le relative condizioni al bordo.

(b) Dando per buono che l’equazione di Eulero ha soluzione (unica), dimostrare che si tratta di un punto di minimo.

(c) Studiare il problema di minimo per F (u) tra tutte le funzioni u ∈ C²([0, 1]) tali che u^′(0) = 2.

Si ricorda che ogni passaggio deve essere adeguatamente giustificato.

Ogni esercizio verr`a valutato in base alla correttezza ed alla chiarezza delle spiegazioni fornite. La sola scrittura del risultato non ha alcun valore.

Corso di Complementi di Analisi Matematica II by Massimo Gobbino – Compito finale

Compitino – Testo

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Compitino – Traccia delle soluzioni

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