Méthode des résidus pondérés (Galerkin) Méthode variationnelles discrétisées

Plan du cours

Méthode des résidus pondérés (Galerkin) Méthode variationnelles discrétisées

Méthodes

d’approximation

g ℓ

x_o

y_o ^{A B}

( ) ( )

P D u u f

∀ ∈ M ɺɺ + L =

Méthodes d’approximation

Système physique continu

Forme matricielle Forme intégrale

(EDP)

Formes différentielles Problème aux limites

Mise en équations formulation mathématique

du problème

Résidus pondérés

Formulation mathématique du problème (PTV)

Forme Variationnelle

?

Discrétisation

.

( ) 0

D

ϕ ϕ u dV

⇔ ∀ ∫ ^R = 1ère forme intégrale

fonction de pondpondpondpondéééérationrationrationration

Méthodes d’approximation : résidus pondérés

Point de départ ^{∀ P ∈ D}

⁼

R(u) : r R(u) : r R(u) : r

R(u) : rééésiduésidusidusidu (erreur commise) Annulation du RRRRéééésidusidusidusidu pondpondépondpondéérérrrééééeeee sur le domaine Si uuuu solution approchée

Il faut utiliser une approximation qui vérifie les CL Approximation

{ }

( )

( , ) ( ) ( ) ( )

1 n

M t i M M t

i

i t

u w q w q

=

= ∑ =< >

N paramètres de l’approximation

Base de fonctions de comparaison (vérifient les CL)

{ }

(^M)

(

) 0

i i

D

P P w q dV

∀ ∫ ^R < > =

1ère forme intégrale

une équation à N inconnues

Pour N fonctions

de pondération ^{:1, i(M) ( (M)}

{ }

D

i N P w q dV

∀

∫

N équations à N inconnues

Méthodes d’approximation : résidus pondérés

avec Forme matricielle

{ }

( )

( ) ( )

:1, _i ^M ( ^{M t} ) 0

D

i N P w q dV

∀

∫

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

⇔ ɺɺ + =

[ ] [ ] { }

( )

( )

T

D

T

D

T

D

M P w dV

K P w dV

F P f dV



= < > < >





= < > < >





= < >



∫

∫

∫

M L

2 principales méthodes

Galerkin choix P w Collocation choix P

i i

i M M i

:

: ( )

=

=





δ

Matrices symétriques positives (vibra) Calcul de l’intégrale calculs plus long Meilleurs résultats

Matrices quelconques

Calculs rapides (pas d’intégration) Résultats non certains

Prenons l’exemple du PTV En mécanique

Les méthodes d’approximation présentées ici sont le point de départ de toute formulation

Eléments finis d’un problème

Méthodes d’approximation:

Ecriture matricielle

Forme variationnelle

Point de départ _{. : . .}

D D D S

u u u dv dv f u dv T u ds

δ δ ρ σ δε δ δ

∀ ∫ ^ɺɺ + ∫ = ∫ + ∫

Approximation ^u

^{=< w}

^> { } ^q

{ }

(M) (M)

u w q

δ =< > δ

Pondération «variation »

{ } σ

[ ]

{ } ε

MMC Lois de comportement

{ }

[ ]

{ }

[

] { }

[ ]

{ } Géométrie (

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] { }

T D

T D

T T

D D

M w w dv

K B D B dv

F w fdv w Tds

ρ

∂

 = < > < >



 =



 = < > + < >



∫

∫

∫ ∫

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

avec

⇔ ɺɺ + =

PTV

Nous avons les outils permettant

de construire un système matriciel de résoudre ce système

Et dans les cas simples

Comparer avec des solutions analytiques