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ANALISI MATEMATICA - ING. AEROSPAZIALE - II Canale 05/07/2019

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Academic year: 2021

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(1)

ANALISI MATEMATICA - ING. AEROSPAZIALE - II Canale 05/07/2019

Prof.ssa M.R. Lancia - Prof. S. Creo Testo A

Cognome ... Nome ...

Matricola ... Anno di corso ...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Calcolare l’ordine di infinitesimo per x → 0 della seguente funzione:

f (x) = x sen(ax) + ln(1 + x

2

).

al variare di a ∈ R.

2) Risolvere la seguente disequazione a coefficienti complessi 1

2 ≤ (Re(¯ z + i) − 1)

2

4 + (Im(¯ z + i) − 1)

2

4 ≤ 1

e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

3) Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici delle curve y = 1 − |x| e y = x

2

− 1.

4) Data la seguente funzione

f (x) = |(x + 2) ln(x + 2)| per x ∈ D = (−2, +∞), a) calcolare i limiti di f (x) agli estremi di D e gli eventuali asintoti;

b) studiare la prolungabilit` a per continuit` a di f (x) nel punto x = −2;

c) studiare la derivabilit` a di f (x) nel punto x = −1.

5) Dare la definizione di retta tangente in un punto ad una curva. Dimostrare il teorema

dei valori intermedi e fornire un esempio di applicazione.

(2)

ANALISI MATEMATICA - ING. AEROSPAZIALE - II Canale 05/07/2019

Prof.ssa M.R. Lancia - Prof. S. Creo Testo B

Cognome ... Nome ...

Matricola ... Anno di corso ...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Calcolare l’ordine di infinitesimo per x → 0 della seguente funzione:

f (x) = x sen x + ln(1 + ax

2

).

al variare di a ∈ R.

2) Risolvere la seguente disequazione a coefficienti complessi 1

3 ≤ (Re(¯ z + 2i) − 1)

2

9 + (Im(¯ z + 2i) − 1)

2

9 ≤ 1

e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

3) Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici delle curve y = |x| − 1 e y = 1 − x

2

.

4) Data la seguente funzione

f (x) = |(x + 1) ln(x + 1)| per x ∈ D = (−1, +∞), a) calcolare i limiti di f (x) agli estremi di D e gli eventuali asintoti;

b) studiare la prolungabilit` a per continuit` a di f (x) nel punto x = −1;

c) studiare la derivabilit` a di f (x) nel punto x = 0.

5) Dare la definizione di funzione derivabile in un punto e classificare i punti di non

derivabilit` a. Dimostrare che ogni funzione derivabile in un intervallo ` e ivi continua.

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