Analisi Matematica II, Ing. Aerospaziale (Canale A-K)

Analisi Matematica II, Ing. Aerospaziale (Canale A-K)

Silvia Marconi - 24 Maggio 2012 -

Esercizi di ricapitolazione Equazioni differenziali

• Risolvere il seguente problema di Cauchy (

y ⁰ = x cos x ^{2 y}

^+2y−3 _y+1 y(0) = 2

[y(x) = −1 + p

4 + 5e ^{sin x}

soluzione globale in R].

• Determinare l’integrale generale dell’equazione y ⁰⁰ = 1

x y ⁰ + x.

[y(x) = c ^x ₂

+ ^x ₃

+ d, c, d ∈ R, x 6= 0].

• Determinare l’integrale generale dell’equazione y ⁰⁰ + y = cos x + 1

cos x .

[y(x) = c ₁ cos x + c ₂ sin x + ³ ₂ x sin x + cos x ln | cos x|, c ₁ , c ₂ ∈ R, x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ Z].

Forme differenziali

• Data la forma differenziale ω(x, y) = 

3e ^(a

^+2)x+az + y ² 

dx + 2xy dy + e ^(a

^+2)x+az dz

1. determinare i valori di a ∈ R tali che ω sia esatta e calcolare le primitive;

2. calcolare R

γ ωds dove γ ` e la curva definita da γ(ϑ) =







x(ϑ) = cos ϑ y(ϑ) = sin ϑ z(ϑ) = −3 cos ϑ

ϑ ∈ [0, 2π].

[ω esatta in R ² per a = 1 e a = 2. Primitive F (x, y, z) = xy ² + e ^3x+z + c, c ∈ R per a = 1 e F (x, y, z) = xy ² + ¹ ₂ e ^6x+2z + c, c ∈ R per a = 2. R

γ ωds = 0 ∀a ∈ R].

• Data la forma differenziale ω(x, y) = x p

x ² + y ² − 4 dx + y p

x ² + y ² − 4 dy 1. stabilire se ` e esatta nel suo insieme di definizione;

2. calcolare R

γ ωds dove γ ` e la curva definita da γ(t) =  x(t) = − ¹ ₂ t ² + 3

y(y) = t t ∈ [−2, 2].

[ω esatta in R ² privato del cerchio di centro l’origine e raggio 2. R

γ ωds = 0].