1. Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

(1)

1. Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

z

1

= 3 − 4i z

2

= − 2 + 3i z

3

= − 5 − 4i z

4

= 6 z

5

= 3 + 5i z

6

= − 1 − 2i z

7

= − 4 + i z

8

= − 3i

2. Scrivi in forma cartesiana e polare i numeri rappresentati di seguito sul piano di Gauss.

...

3. Esprimi quale o quali condizioni devono soddisfare i numeri complessi nell’area grigia della figura seguente:

...

4. Risolvi le seguenti equazioni e rappresenta sul piano di Gauss le soluzioni a) z

³

= i b) z

⁴

= 16 · e

^{i 160ř}

c) z

⁵

= 3 − 4i

a) z

1

= [cos (30ř) + i sin (30ř)], z

2

= [cos (150ř) + i sin (150ř)], z

3

= [cos (270ř) + i sin (270ř)]

b) |z| = 16

⁴

√

= 2, arg(z) =

¹⁶⁰^{ř + k 360ř}₄

per k = 0, 1, 2, 3 z

1

= (2∠40ř), z

²

= (2∠130ř), z

³

= (2∠220ř), z

⁴

= (2∠310ř) c) z

⁵

= 3 − 4i = 5 [cos (306.87ř) + i sin (306.87ř)]

|z| = 5

⁵

√

= 1.38, arg(z) =

^306.87^{ř + k 360ř}₅

per k = 0, 1, 2, 3, 4

z

1

= (1.38∠61.37ř), z

²

= (1.38∠133.37ř), z

³

= (1.38∠205.37ř), z

⁴

= (1.38∠277.37ř), z

5

= (1.38∠349.37ř)

5. Trova tutte le soluzioni delle seguenti equazioni a) z

³

= 64 cos

^π₄

+ i sin

^π₄

z

1

=

³

√ 64

cos

₁₂^π

+ i sin

₁₂^π

= 4 cos

₁₂^π

+ i sin

₁₂^π

z

2

= 4 h

cos

_π

12

+

^2π₃

+ i sin

_π

12

+

^2π₃

i

= 4 h cos

_9π

12

+ i sin

_9π

12

i

z

3

= 4 h cos

_π

12

+ 2 ·

^2π₃

+ i sin

_π

12

+ 2 ·

^2π₃

i

= 4 h

cos

_17π

12

+ i sin

_17π

12

i

b) z

³

− 2 = 5i ⇒ z

³

= 2 + 5i = √ 29

[cos (68.2ř) + i sin (68.2ř)]

z

=

3

p √ 29

= 1.753, arg(z) =

^68.2^{ř + k 360ř}₃

per k = 0, 1, 2

6. Dell’equazione x

⁴

− 2x

³

+ x

²

+ 2x − 2 = 0, si conosce una soluzione : x

¹

= 1 − i.

I coefficienti del polinomio son reali e quindi anche il coniugato di x

1

dev’essere una soluzione: x

2

= 1 + i.

Ne deduciamo che il polinomio è divisibile per (x − 1 + i) e per (x − 1 − i).

O, mettendoli assieme, per (x − 1 + i) · (x − 1 − i) = x

²

− 2x + 2

eseguendo la divisione otteniamo (x

⁴

− 2x

³

+ x

²

+ 2x − 2)/(x

²

− 2x + 2) = x

²

− 1 le altre due soluzioni saranno dunque x

3,4

= ± 1

7. Trova le soluzioni reali e complesse delle seguenti equazioni a) x

³

− x

²

+ 4x − 4 = 0 ⇒

x

²

(x − 1) + 4 x − 1) = 0 ⇒ x

²

+ 4

x − 1) = 0 ⇒ x

^1,2

= ± 2i, x

³

= 1 b) x

⁴

− 2x

²

− 3 = 0 ponendo z = x

²

avremo: z

²

− 2z − 3 = 0 ⇒ z

¹

= 3, z

2

= − 1

quindi x

1,2

= ± 3 √

e x

3,4

= ± i

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1. Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi: