4. Integrazione numerica

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4. Integrazione numerica

Come è possibile dedurre dai precedenti capitoli riguardanti al meccanica orbitale e la dinamica d’assetto, alla base della simulazione del moto di un satellite attorno ad un pianeta o attorno al suo baricentro vi è l’integrazione di equazioni differenziali ordinarie del I ordine. Anche le equazioni differenziali ordinarie del II ordine, come quelle che originano dal metodo di Cowell, sono infatti riconducibili ad un sistema di due equazioni differenziali del I ordine.

Una equazione differenziale ordinaria (ODE) del primo ordine è un’equazione del tipo:

( )

(

( )

)

' ,

Y x =F x Y x

un’equazione cioè composta da una combinazione della variabile indipendente, della funzione incognita e della sua derivata di primo grado.

Una volta fissato un intervallo per la variabile indipendente ed un valore iniziale per la funzione in un punto dell’intervallo si perviene ad una scrittura di quello che viene chiamato Problema di Cauchy.

( )

(

( )

)

[

]

( )

0 0 ' , , Y x F x Y x x a b Y x Y = ∈ =

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E’ facile riconoscere come nelle equazioni da noi studiate la variabile indipendente è sempre rappresentata dal tempo.

La soluzione del Problema di Cauchy parte dalla discretizzazione dell’intervallo in un numero finito di punti detti nodi.

0 1 2 n 1 n

a=t <t <t <…<t − <t =b

Nei nodi t_i viene calcolata una approssimazione Y_i di Y t

( )

i . In altri termini in corrispondenza dei nodi t_i, un particolare metodo genera una sequenza di valori Y_i che

definiscono la soluzione discreta e rappresentano le approssimazioni dei valori Y t

( )

i della soluzione continua.

I metodi numerici per la soluzione delle equazioni differenziali si possono dividere in due diversi tipi: metodi single – step e metodi multi – step. Tutti e due i tipi di integratori possono essere caratterizzati da un passo di integrazione fisso o variabile. I metodi single – step utilizzano il valore Y_i al tempo t_i e le derivate temporali per

calcolare il valore Yi+1 al tempo ti+h dove h rappresenta la dimensione del passo di integrazione.

Gli esempi più tipici di metodi single –step sono il metodo di Eulero ed i metodi Runge Kutta.

I metodi multi – step invece effettuano un tentativo sulla determinazione dei primi istanti successivi al primo utilizzando un metodo single – step di ordine sufficientemente alto, quindi integrano nel tempo per poi correggere a ritroso e reintegrare fino a soddisfare l’accuratezza desiderata.

Inoltre i metodi possono essere di carattere esplicito o implicito. Si dice che il metodo è esplicito se il calcolo di Y_i non è funzione di Y_i, altrimenti si dice implicito.

I metodi numerici utilizzati all’interno del simulatore D-Orbit, nonché per l’integrazione della dinamica di assetto del satellite sono parte dei metodi implementati all’interno del software di calcolo Matlab. In particolare i metodi di cui si è previsto l’utilizzo da parte dell’utente sono il metodo Runge – Kutta (4, 5) Dormand Prince, il metodo Runge – Kutta (2, 3) Bogacki e Shampine o il metodo Adams – Bashforth – Moulton. Si tratta in tutti e tre i casi di schemi di integrazione a passo variabile che regolano automaticamente la suddivisione in nodi dell’intervallo di integrazione in base alla tolleranza sull’errore imposta dall’utente. I solutori a passo variabile sono auspicabili nella propagazione su orbite ellittiche data la capacità del metodo di adattarsi in modo

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da distanziare i passi in regioni di scarsa variabilità della soluzione ed avvicinarli in regioni con comportamente opposto.

4.1 Il metodo di Eulero

Il più semplice integratore single – step è rappresentato dal metodo di Eulero, il quale fa uso di una espansione al primo ordine della serie di Taylor per calcolare il nuovo valore. Il valore è infatti calcolato valutando la derivata temporale della variabile indipendente, moltiplicandola per un passo temporale accettabile e aggiungendo il risultato al valore iniziale fornito:

(

i 1

)

( )

i

( )(

i i 1 i

)

Y t+ =Y t +Y t t+ −t

Il nuovo valore della variabile è quindi facilmente calcolabile una volta noto il valore della derivata temporale della stessa.

4.2 I metodi Runge – Kutta

Un integratore single – step più avanzato rispetto al metodo di Eulero è il metodo Runge Kutta, , dal nome dei matematici tedeschi che per primi svilupparono questa famiglia di metodi, e si basa sulla valutazione della derivata temporale dell’equazione in diversi punti all’interno dell’intervallo di integrazione e sulla combinazione di queste derivate al fine di ottenere una stima più accurata del risultato.

Un metodo Runge – Kutta (RK) esplicito a s stadi, ovvero con s valutazioni della funzione, può essere scritto come:

1 1 s n n i i i Y + Y h b K = = +

∑

dove i K_i sono definiti da:

(

)

1 1 1 , , 2, , n n i i n i n ij j j K f x Y K f x c h Y h a K i s − = =      =  + +  =    

∑

… e 1 i i h=x+ −x è il passo di integrazione.

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I coefficienti a_ij, c_i, b_i caratterizzano un particolare metodo e vengono raccolti sotto

forma di tabella detta matrice di Butcher.

Il metodo Runge – Kutta del quarto ordine, ad esempio, è basato su una espansione in serie di Taylor al quarto ordine ed è formulata nella maniera seguente:

(

)

(

)

( )

(

)

( )

1 0 0 2 0 0 1 3 0 0 2 4 0 0 3 5 0 1 2 3 4 , , 2 2 , 2 2 , 2 2 6 y f t y h h y f t y y h h y f t y y y f t h y hy h y t y t y y y y O h =   = _ + + _     = _ + + _   = + + = + + + + +

dove O h

( )

5 è l’errore di troncamento relativo ai termini di ordine più alto.

Un differente sviluppo del metodo Runge – Kutta è data dai metodi Runge – Kutta (4,5) Dormand Prince e Runge – Kutta (2,3) Bogacki e Shampine. Questi metodi sono due implementazioni che utilizzano rispettivamente una coppia di formulazioni del quarto e del quinto ordine e del secondo e del terzo ordine per ottenere la soluzione e fanno uso di un passo variabile singolo determinato in base all’errore di calcolo. La dimensione del passo è cioè variata per raggiungere la tolleranza richiesta.

4.3 Il metodo Runge – Kutta (4,5) Dormand Prince

Il metodo Runge – Kutta (4,5) Dormand Prince fa uso di sei valutazione della funzione per calcolare una soluzione precisa al quarto e al quinto ordine ed è calcolato in base a dei coefficienti che minimizzano l’errore della soluzione. E’ un metodo più accurato rispetto al metodo “Runge – Kutta (2,3) Bogacki e Shampine” ma impiega più tempo ad ogni passo e utilizza passi maggiori. E’ il metodo raccomandato per l’utilizzo come primo tentativo su nuovi problemi.[9]

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Tabella 4.1 La tabella di Butcher per il metodo RK45 Dormand Prince

4.4 Il metodo Runge – Kutta (2,3) Bogacki e Shampine

Il metodo Runge – Kutta (2,3) Bogacki e Shampine è un metodo di Runge – Kutta di ordine tre proposto da Przemyslaw Bogacki e Lawrence F. Shampine nel 1989. E’ preferibile rispetto al metodo precedente se è sufficiente una soluzione più grossolana.

Tabella 4.1 La tabella di Butcher per il metodo RK23 Bogacki e Shampine

Si riporta, a titolo di esempio, un passo di integrazione secondo questo metodo:

(

)

(

)

1 2 1 3 2 1 1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 , 1 1 , 2 2 3 3 , 4 4 2 1 4 9 3 9 , 7 1 1 1 24 4 3 8 n n n n n n n n n n n n n n n K f x Y K f x h Y hK K f x h Y hK Y Y hK hK hK K f x h Y Z Y hK hK hK hK + + + =   = _ + + _     = _ + + _   = + + + = + = + + + +

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Qui Y_n₊₁ è una approssimazione del terzo ordine della soluzione esatta. D’altra parte

1

n

Z ₊ rappresenta una soluzione del secondo ordine e la differenza tra Y_n₊₁ e Z_n₊₁ può essere utilizzata per adattare la dimensione del passo di integrazione.

4.5 Il metodo Adams – Bashford – Moulton

Come detto precedentemente esistono sia metodi single – step che metodi multi – step. Il metodo Adams – Bashford – Moulton è un metodo multi – step basato su una formula Predictor – Corrector [10] . Si tratta in sostanza di un metodo semi – implicito nel quale diversi passi iniziali devono essere determinati, nella maggior parte dei casi utilizzando un metodo esplicito come un Runge – Kutta dello stesso ordine del metodo multi – step.

A questo punto la formula del metodo esplicito è utilizzata come predizione per il passo successivo. Questo valore predetto è quindi utilizzato all’interno di un metodo implicito il quale corregge il valore precedente. E’ possibile in questo modo risolvere un’equazione non lineare con la sola sostituzione ottenendo un metodo semi – implicito. E’ per questa combinazione di metodi espliciti ed impliciti che queste formule sono dette Predictor – Corrector.

Questo metodo può essere più efficiente del metodo Runge – Kutta (4,5) Dormand Prince per tolleranze restrittive e quando la funzione f risulta particolarmente costosa. Pur essendo un solutore multi – step, che pertanto richiede la risoluzione numerica per i primi passi, non è però richiesto all’utente l’introduzione dei valori ai passi successivi al primo in quanto la funzione provvede automaticamente a calcolare i primi passi necessari all’innesco del metodo multi – step.