III CAPITOLO

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- Caso pratico ed evidenze empiriche -

L’obiettivo di questo capitolo è di analizzare alcuni modelli per stimare la volatilità relativamente all’Indice di Borsa FTSE MIB. Per portare avanti queste analisi sarà necessario considerare modelli caratterizzati da eteroschedasticità condizionata. Il capitolo che segue sarà diviso nel seguente modo:

in una prima parte andremo a presentare i nostri dati in particolare le quotazioni giornaliere;

in una seconda parte andremo ad esaminare la serie dei rendimenti e dei residui standardizzati mediante degli strumenti messi a disposizione dal software E-views;

in una terza andremo ad analizzare i modelli GARCH1 facendo attenzione nel distinguere tra modelli simmetrici e modelli asimmetrici;

nell’ultima parte ci occuperemo del confronto tra i modelli indicando il più idoneo per una stima corretta della volatilità.

Per portare avanti la nostra analisi sarà necessario ricorrere a strumenti econometrici in particolare per le stime dei modelli faremo riferimento al software E-views.

Questa analisi andrà a costituire la parte più interessante del nostro lavoro entrando in questo modo più nello specifico esaminando in maniera dettagliata ciò che è stato esplicitato nei due capitoli precedenti prettamente teorici.

1

Brooks, C., S. P. Burke, and G. Persand (2003): “Multivariate GARCH models: software choice and estimation issues,” Journal of Applied Econometrics .

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3.1 Considerazioni di carattere introduttivo

La seria storica dell‟Indice di Borsa Italiana è relativa ai dati compresi nell‟arco temporale dal 1 Giugno 2009 al 1 Giugno 20132.

Questo indice è il principale benchmark dei mercati azionari italiani, esso raccoglie l‟80% della capitalizzazione di mercato interna ed è costituito da società di primaria importanza.

“L'Indice FTSE MIB misura la performance di 40 titoli italiani e ha l'intento di riprodurre le ponderazioni del settore allargato del mercato azionario italiano. L'Indice è ricavato dall'universo di trading di titoli sul mercato azionario principale di Borsa Italiana (BIt). Ciascun titolo viene analizzato per dimensione e liquidità nonché l'Indice fornisce complessivamente una corretta rappresentazione per settore”.

Esso è stato creato per consentire agli investitori di avere a disposizione una base standard e trasparente attraverso cui valutare, misurare e accedere al mercato azionario italiano. L‟indice FTSE MIB è calcolato in euro in tempo reale, esso può essere: stabile, chiuso, indicativo, sospeso e parziale.

“FTSE è responsabile del funzionamento dell'Indice FTSE MIB. FTSE registra i dati

della capitalizzazione di mercato delle azioni componenti il paniere nonché di tutte le altre e apporta le modifiche alle azioni componenti e alla loro ponderazione in conformità con le Regole di base. FTSE effettua le revisioni e implementa le conseguenti modifiche alle azioni componenti come previsto dalle Regole di base3”.

Prima di entrare nello specifico è doveroso chiarire alcuni punti della nostra analisi. In primo luogo, i dati forniti da Borsa Italiana sono relativi ai prezzi non già ai rendimenti4.

In secondo luogo, le date fornite sono discontinue dato che il sabato e la domenica le Borse sono chiuse e non esiste una relativa quotazione. Nelle quotazioni giornaliere le Borse sono chiuse anche nei giorni di festa differenti dal sabato e dalla domenica. Per fare in modo che la nostra serie in esame abbia 5 osservazioni a settimana, nei giorni festivi risulta necessario ripetere l‟ultima quotazione disponibile.

2_{Abbiamo considerato questo periodo iniziale in quanto il FITSE MIB è entrato in vigore proprio a}

partire da quella data in precedenza l‟indice a cui si faceva riferimento era il MIBTEL 30.

3_{Regole di base per la gestione dell'indice FTSE MIB “Versione 2.3 Agosto 2013”.}

4

Come già spiegato alla fine del capitolo due per la nostra indagine utilizzeremo la serie relativa ai rendimenti che ovviamente si ricava a partire dalla serie storica dei prezzi.

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Per essere più precisi, per ciascuna quotazione dei titoli azionari e quindi per ogni giorno di contrattazione vengono riportate:

1) la data della quotazione; 2) la quotazione di apertura; 3) la quotazione massima;

4) la quotazione minima di quel giorno di contrattazione; 5) la quotazione di chiusura;

6) i volumi trattati;

7) la quotazione di chiusura aggiustata detta ADJ close.

Nella nostra analisi faremo riferimenti ai dati giornalieri del FITSE MIB in particolare ci riferiremo ai prezzi di chiusura aggiustati. Sappiamo come già ripetuto più volte nei paragrafi precedenti che nelle analisi finanziarie di estremo interesse non sono i prezzi bensì i relativi rendimenti. Se indichiamo il rendimento di un attivo finanziario con , è ragionevole che il suo prezzo sia espresso dalla seguente formula:

,

è una quantità espressa in percentuale e può essere sia positiva che negativa ovviamente ciò dipende se il prezzo dell‟attivo finanziario sia cresciuto oppure diminuito nel giorno precedente.

Per cui, scriveremo:

la suddetta espressione mostra come il sia indipendente dall‟unità di misura adoperata per misurare i prezzi inoltre si può notare che rappresenta l‟indice a base mobile dei prezzi dell‟attivo finanziario5

. Tuttavia, per essere più precisi la formula espressa in precedenza presenta una problematica connessa al fatto che oscilla nel

range: .

5

Un‟altra interpretazione de i rendimenti p che essi p ossono essere considerati come la serie degli indici a base mobile dei prezzi a meno di uno.

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In particolare, -1 se mentre ∞ se . Ciò non è compatibile

con la distribuzione degli errori rappresentati dalla Normale nel range: .

Per superare questo inconveniente è possibile adoperare un altro modello che si avvale di un‟espressione esponenziale, in altri termini:

,

da cui utilizzando i log è possibile esplicitare l‟equazione relativa alla serie dei rendimenti:

) .

Essi vengono definiti log-rendimenti, nella nostra analisi empirica andremo ad utilizzare questa tipologia di rendimenti in quanto compatibili con la distribuzione Normale e T-Student. È molto importante precisare che i rendimenti di attivi finanziari sono diversi da quelli che si possono ottenere con una Normale e ne caratterizzano la loro struttura evolutiva6. Inoltre dalla serie dei rendimenti sarà possibile derivare un‟altra funzione che tiene conto dei legami lineari esistenti all‟interno dei rendimenti, la suddetta funzione è detta funzione di autocorrelazione.

Questa funzione che potremo indicare in questo modo:

sarà compresa tra -1 ed 1.

Solitamente per i rendimenti l‟esistenza di legami lineari è praticamente nulla.

Dopo aver evidenziato la formula dei rendimenti a cui faremo capo possiamo ora passare alla trattazione relativa la volatilità.

6

Per mostrare questo fenomeno possiamo prendere in considerazione il Q-Qplot che mostra l‟allontanamento dell‟Indice FITSE MIB da una distribuzione Normale.

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88 Già abbiamo detto in precedenza che:

,

per cui:

) 7.

Anche sulla serie della volatilità possiamo fare tutte le considerazioni svolte per la serie dei rendimenti.

Dopo queste considerazioni di carattere teorico ma necessarie per le nostre analisi empiriche addentriamoci nel vivo del lavoro.

7

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3.2 Serie storica dell’Indice FITSE MIB: presentazione dei

dati.

Costruiamo la serie storica relativa al nostro indice. Dal sito yahoo finance sono state riportate le quotazioni giornaliere dell‟Indice FTSE MIB relative all‟arco temporale dal 1 Giugno 2009 al 1 Giugno 20138. Tuttavia sappiamo che i prezzi sono dati non stazionari per questo motivo soffermarsi su di essi non avrebbe senso, per avere dei valori più rappresentativi è meglio avvalersi del grafico relativo al livello dei rendimenti logaritmici riportando le loro statistiche di base.

Serie dei log-rendimenti relativi all’Indice di Borsa FITSE MIB:

8

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Istogramma e test di J-B sulla serie dei rendimenti dell’indice FITSE MIB:

Le statistiche espresse dal seguente grafico mostrano che la media è praticamente nulla inoltre la distribuzione dei rendimenti è leptocurtica (il grafico mostra la presenza di code più spesse rispetto ad una distribuzione normale) nonchè una lieve asimmetria a sinistra, il valore del test di J-B9 rifiuta l‟ipotesi nulla di una distribuzione normale dei rendimenti a qualsiasi livello di significatività (come è logico che accada nella realtà). In particolare la statistica test Jarque-Bera, utilizzata nell‟analisi empirica, fa riferimento alla differenza fra gli indici di simmetria e curtosi della serie osservata rispetto ai valori che si hanno per una distribuzione Gaussiana.

Cherubini, Della Lunga (2001) affermano che “nei mercati finanziari, è ormai noto grazie ad osservazioni empiriche, eseguite e descritte da Mandelbrot, che la distribuzione normale, distribuzione identificata da una media aritmetica μ e da un parametro di dispersione ζ, non è appropriata a rappresentare l’aleatorietà dei rendimenti infatti essi hanno osservato che tale distribuzione tende a sottovalutare la probabilità attribuita a eventi estremi”.

9

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In altri termini, la serie dei rendimenti su FTSE MIB mostra segni di non normalità ciò induce a ritenere che l‟ipotesi di gaussianità condizionale sugli errori del modello non è adeguata. Inoltre, la serie presenta una marcata curtosi pari a 8,1529 ciò da un‟idea della pesantezza delle code. Si può notare dai dati riportati dalla tabella il fenomeno di

volatility clustering, da imputare maggiormente alla crisi finanziaria.

Un ulteriore strumento per verificare l‟allontanamento da una situazione del tutto teorica è il Q-Qplot che indica come lo scostamento dei dati dalla bisettrice soprattutto nelle code conferma la deviazione dall‟ipotesi di normalita.

Q-Qplot ralativo alle serie dei rendimenti dell’Indice di Borsa FITSE MIB:

Dalla lettura del grafico si può notare che nella serie in analisi si verificano comportamenti di asimmetria e di curtosi che ci consentono di dire che la distribuzione empirica è ben lontana da quella teorica di normalità.

Un ulteriore strumento a nostra disposizione è il correlogramma dei rendimenti da poter stimare sempre avvalendoci del programma E-Views.

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Correlogramma dei rendimenti dell’Indice di Borsa FITSE MIB:

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Il correlogramma dei rendimenti al quadrato evidenzia che per i ritardi superiori al quinto esiste una debole dipendenza dalla media. Potremo in teoria avvalerci di un modello al fine di esaminare questa dipendenza riscontrata nei dati. Il modello maggiormente utilizzato è un ARMA. Tuttavia una volta specificato il modello per la volatilità quello per la media condizionata si andrà a ridurre per semplicità ad un ARMA (1,1). Siamo a conoscenza che per stimare la bontà del modello è necessario esaminare la serie dei residui10 standardizzati. Il correlogramma relativo a funzioni di correlazione parziali e totali mostra che il processo risulta incorrelato ma non indipendente. Questo mette in luce che esiste la possibilità di ottenere maggiori informazioni modellando in maniera opportuna la parte stocastica

3.3 Modelli per stimare la volatilità

Accettando l‟idea che i prezzi presentino un modello econometrico è possibile adoperare questi ultimi per ottenere una stima della volatilità implicita.

Un approccio molto utilizzato negli ultimi anni che consente di tenere in considerazione situazioni di deviazioni dall‟ipotesi di normalità dei rendimenti è rappresentato dalla famiglia dei modelli ARCH che indicano dei modelli a volatilità variabile nel tempo. Cerchiamo con tutte le informazioni acquisite di individuare un modello per la stima della volatilità11. Andremo quindi ad esaminare, con l‟ausilio di un software econometrico, i modelli ARCH12. Abbiamo notato che esistono dipendenze dopo il quinto ritardo per cui andiamo a stimare un modello: ARMA (1,1) – ARCH13 (5).

Stima di un modello ARMA (1,1) – ARCH (5):

10

I residui rappresentano la differenza tra i valori osservati della variabile dipendente e i valori previsti del modello stimato.

11_{Davidson, J. (2004), “Moment and Memory Properties of Linear Conditional Heteroskedasticity}

Models, and a New Model,” Journal of Business and Economic Statistics.

12_{Francq, C. & J. Zak (2004), `Maximu m likelihood estimation of pure GARCH and ARMA-GARCH}

processes'.

13

Degiannakis, S. and E. Xekalaki (2004), “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) Models: A Review,” Quality Technology and Quantitative Management.

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94 Dependent variable: RFM Method: ML- ARCH Date: 22/10/07 Time: 20:30 Included observation: 1838 Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.717771 0.238162 3.0113794 0.0026 MA(1) -0.714873 0.240031 -2.9782482 0.0029 Variance Equation C 4.89E-06 1.42E-06 3.444047 0.0000 ARCH(1) 0.122052 0.025689 4.751145 0.0000 GARCH(1) 0.860949 0.023228 37.04986 0.0000

R-squared 0.010529 Mean dependent var 0.000206

Adjusted R-s. 0.008369 S.D. dependet var 0.010254 S.E. of regression 0.010211 Akaike info criterion -6.578567

Sum Squared R. 0.191135 Schwarz criterion -6.563560 Log likelihood 6050.703 F-statistic 4.876094

Durbin-Watson s. 1.878567 Prob(F-statistic) 0.000652

InvertedAR Roots .72 InvertedMA Roots .71

Si nota come i parametri sono tutti significativi e tuttavia costruendo ora un correlogramma sulla serie dei residui possiamo notare come non esiste alcuna dipendenza ed inoltre questa serie descrive un tipico processo white-noise.

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3.4 GARCH MODEL (1,1)

Al fine di un ottenere più informazioni andiamo a testare la classe dei modelli GARCH introdotta nel 1996 da B. E‟ doveroso precisare che il processo GARCH14

utilizzato fa riferimento ai parametri (1,1) in quanto è il meno dispendioso dal punto di vista dei calcoli ed è quello più utilizzato per stime di questo tipo in ambito finanziario. Innanzitutto per effettuare le nostre stime ci avvarremo del software E-views fondamentale per l‟individuazione dei parametri dei modelli che intendiamo analizzare. Per essere più chiari nell‟esposizione andremo ad indicare step by step i diversi comandi utilizzati. Innanzitutto, quando vogliamo stimare un modello della classe ARCH dobbiamo utilizzare il comando Quick/E stimate Equation, in tal modo andremo a selezionare la voce ARCH-Autoregressive Conditional Heteroskedasticity dal piccolo riquadro Estimation Setting che fa capo alla finestra Equation specification. In questo modo andiamo ad aprire una nuova finestra il cui nome è uguale a quello esplicitato in precedenza. Questa finestra sarà costituita da vari riquadri, nel nostro caso il riquadro che ci interessa cliccare è quello relativo alla voce ARCH specification ciò consente di specificare il modello che intendiamo esaminare. Procediamo dapprima mediante una rappresentazione del processo GARCH (1,1).

14

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Stima di un modello GARCH (1,1) per la serie dell’Indice di Borsa del FITSE MIB: Dependent variable: RFM Method: ML- ARCH Date: 22/10/07 Time: 22:30 Included observation: 1838 Variance backcast: ON

GARCH = C(3)+ C(4)*RESID(-1)^2 +C(5)*GARCH(-1)

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.000668 0.000215 3.113458 0.0018 A AR(1) 0.064647 0.028328 2.282084 0.0225 Variance Equation C 3.19E-06 5.95E-07 5.351415 0.0000 NN RESID(-1)^2 0.129675 0.010117 12.81802 0.0000 B GARCH(-1) 0.842414 0.012866 65.47671 0.0000

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La stima di questo modello produce una schermata di output contenente i parametri e una serie di statistiche diagnostiche. Come specificato alla fine del secondo capitolo, affinché un modello GARCH (1,1) abbia senso è necessario che sussistano le seguenti condizioni:

1. 2. 3.

4. la somma tra

Come indicato dalla tabella queste condizioni risultano verificate inoltre dato che la somma tra è comunque minore di uno ciò implica che anche se si avrà bisogno di molto tempo la volatilità farà ritorno alla varianza non condizionata del processo.

In altri termini, la schermata mostra come i valori relativi alle statistiche di Akaike e Schwarz possono essere un ulteriore strumento per identificare il modello più opportuno. Se dalla tabella risultasse che fosse pari a zero allora in tal caso la distribuzione non presenterebbe un eccesso di curtosi, ma come denota il modello appena analizzato questa possibilità non sussiste.

Nella prima parte della tabella vengono riportati i valori relativi:

alle stime dei parametri; ai loro errori standard15;

alla statistica t-student per l‟ipotesi nulla dei singoli parametri; il p-value16.

15_{La deviazione standard della distribuzione campionaria è chiamata standard error. Rappresent a una}

misura di quanto distante dal valore reale può essere la stima. Formalmente: .

16_{E‟ la probabilità di osservare, sotto l‟ipotesi nulla, un valore della statistica test uguale o più estremo}

del valore ottenuto dal campione. Un alto valore del p -value indica che i dati sono molto congruenti con l‟ipotesi nulla, mentre un basso valore del p-value indica che i dati sono invece tali da allontanarsi dall‟ipotesi nulla. Inoltre, un P-value molto basso < 0.05 indica che i dati sono tali da poter rifiutare l‟ipotesi nulla. In altri termini, è il piccolo livello di significativà in corrispondenza del quale l‟ipotesi nulla viene rifiutata.

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Relativamente ai dati ottenuti in questa prima parte, possiamo notare che il t-test è statisticamente rilevante in quanto ipotizzando un p-value = 0.05 notiamo che i valori ottenuti sono tutti inferiori a questa soglia il che comporta il rifiuto dell‟ipotesi nulla confermando la significatività statistica dei coefficienti stimati. Tuttavia per avere un quadro più preciso possiamo focalizzare la nostra attenzione sulla seconda parte della tabella. Qui sono presentati alcuni indici di estrema importanza. Si tratta di criteri che consentono di selezionare il modello e si basano sull‟idea che esiste un trade-off tra complessità del modello stimato e adattamento del modello ai dati (covarianza, varianza, distorsione..), sarà necessario prevedere una penalizzazione crescente al crescere dei parametri del modello. Indichiamo gli indicatori che ci riguardano:

L‟ “Adjusted R-s” fornisce una misura sintetica della bontà della regressione ovvero

della misura in cui la variabile dipendente è spiegata dalle variabili esplicative piuttosto che dai termini di errore.

Si noti che l‟R2 _{è estremamente basso (quasi prossimo a zero) evidenziando così una} bassissima capacità del modello nella previdibilità dei rendimenti.

L‟ “Akaike info criterion” questa statistica permette di indirizzarsi verso una regressione con il numero significativo di ritardi (scostamenti temporali tra le serie storiche). Si sceglie, sulla base di questo criterio, la regressione con il valore più basso del test.

Il criterio di “AIC” è definito nel modo seguente:

AIC = -2logL + Klog(n)17.

Questo indicatore aumenta quando diminuisce la bontà di adattamento del modello18.

Il “Durbin-Watson s.” in assenza di correlazione relative ai residui del primo ordine esso assume valore pari a 2. Nel nostro caso c‟è un valore prossimo a 2.

17_{L è il valore della funzione di verosimiglianza, K rappresenta il numero di parametri inseriti nel}

modello.

18

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I parametri c e φ1 sembrano significativi (in base al z-statistics) anche se per c la stima è molto piccola numericamente.

Il coefficiente α è significativo.

Ritornando ai risultati, la tabella mostra una volatilità dei rendimenti abbastanza persistente, infatti la somma di α e β (0.972) è prossimo ad uno ciò denota anche che la serie presenta una memoria molto lunga.

Fama e Mandelbrot, dall‟analisi dei rendimenti hanno evidenziato che esistono dei periodi in cui la varianza tende a rimanere bassa ed altri in cui la varianza tende a rimanere elevata.

Altri studi più recenti effettuati da Baille, Chou e Schwert alla fine degli anni novanta hanno esaminato questo tipo di comportamento mediante implicazioni pratiche, in altri termini hanno dimostrato che “gli shock sulla volatilità hanno ripercussioni sulla

volatilità attesa nel futuro, si deduce quindi che la volatilità risulterebbe persistente se una sua scossa attuale ha un’influenza significativa sulla volatilità futura”. L‟effetto

appena presentato può essere studiato ed esaminato in diversi modi, una recente misura formale di persistenza è l’half life della volatilità19. Quest‟ultima valuta per definizione

la velocità con la quale la previsione della varianza condizionata converge a quella non condizionata.

“Essa è definita come il numero di periodi necessari a dimezzare la distanza fra la previsione della varianza condizionata (ht) e il suo livello medio σ2 (la varianza non

condizionata) rispetto alla previsione un periodo in avanti.”

Per una definizione più precisa della persistenza consideriamo il valore atteso della varianza:

La conseguenza statistica riguarda l‟abbandono dell‟ipotesi di una distribuzione comune dei rendimenti con la finalità di individuare un modello in grado di descrivere l‟evoluzione temporale della varianza condizionata.

Una misura formale di persistenza è stata suggerita da Engle e Patton (2001) come la derivata parziale della previsione della varianza condizionate di k periodi in avanti rispetto al valore assoluto del rendimento al quadrato al tempo t:

19

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In definitiva, la persistenza consente di avvicinare periodi con volatilità elevata a periodi relativamente più calmi ciò significa che “periodi con alta volatilità saranno

seguiti da periodi con volatilità minore o uguale, al contrario periodi con bassa volatilità daranno luogo ad incrementi”.

Questo fenomeno prende il nome di Mean Reversion of Volatility, in altri termini esiste un livello al quale la volatilità farà ritorno (prima o poi). Questo mette in luce che l‟informazione corrente non ha effetti sulle previsioni di lungo periodo.

Infine, ricordiamo che la formula della varianza nel processo GARCH (1,1) è pari:

= 0.000114.

“Dall’analisi del comportamento dei rendimenti emerge che se misuriamo la volatilità su tutto il periodo di analisi non riusciremo a vedere questo alternarsi di periodi di alta e bassa volatilità. Il problema è dunque quello di misurare la volatilità in modo da evidenziarne l’evoluzione temporale20_”.

Tuttavia per svolgere un‟analisi più accurata del modello andremo ad esaminare la serie dei residui21. Una volta analizzati i coefficienti del modello emerge il problema di verificare in maniera complessiva i risultati al di là della loro significatività statistica. In altri termini sarà necessario valutare l‟adeguatezza e di conseguenza la bontà del modello stimato.

20_{(Gallo,Pacini, 2002).}

21

Per creare la serie dei residui con E-views andiamo a cliccare dalla barra principale: Proc Make

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101

Tabella Istogramma e Test di J-B dei residui standardizzati del processo GARCH (1,1) sulla serie dei rendimenti di Fitse mib:

Si può notare dal valore così elevato del test J-B. il rifiuto dell‟ipotesi di normalità anche nel caso della serie dei residui.

Grafico relativo ai residui standardizzati dell’Indice FITSE MIB:

Come mostra il grafico dei residui standardizzati c‟è una marcata oscillazione in tutto l‟arco di tempo analizzato causa le recenti ondate di crisi finanziaria. Queste oscillazioni avvengono intorno a zero e si presentano a grappoli ciò conferma la regola che a periodi di forte oscillazione seguono periodo caratterizzati da una più lieve e meno marcata oscillazione.

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Correlogramma relativo alla serie dei residui dell’Indice FTSE MIB di un modello GARCH (1,1):

(20)

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Prima di passare alla stima dei modelli GARCH ASIMMETRICI22 sarà necessario andare ad effettuare un test di asimmetria. Quello a cui faremo riferimento nella nostra analisi sarà il “Sign Bias test” ampiamente trattato nel secondo capitolo.

3.5 Test di asimmetria: Sign Bias Test.

Questo test considera una regressione sui residui standardizzati moltiplicati per una variabile Dummy. Il test verrà sempre condotto mediante il software E-Views23. Per effettuare un test di asimmetria con questo programma è necessario considerare la serie dei residui relativi al modello GARCH quindi sulla barra principale andiamo a cliccare

Procs/Make Residual Series successivamente dobbiamo creare la variabile dummy per

gli schoks negativi24.

Method: ML Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 0.763783 0.050311 15.18126 0.0000 DUMMY(-1) 0.477763 0.071726 6.660984 0.0000

Esso evidenza come il coefficiente dummy sia significato e positivo il che attesta la

presenza di un effetto asimmetrico ed è quello che ci interessa sapere.

22_{Engle, R.F. and J.G. Rangel (2008), “The Spline-GARCH Model for Volatility ” Review of Financial}

Studies.

23_{Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall (2007) “The applied econometrics - a modern approach with}

E-views-” published by PALGRAVE MACMILLAN.

24

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Dopo un esame attento della presenza o meno di effetto leverage possiamo procedere per la serie relativa all’indice FTSE MIB con la stima delle diverse versioni asimmetriche del modello GARCH (1,1). Inoltre tramite le stime fornite dal software E-views andremo ad analizzare la significatività delle asimmetrie, successivamente indicheremo quale modello sarebbe il più opportuno scegliere sulla base dei criteri descrittivi ed informativi esaminati nel capitolo precedente.

3.6 EGARCH MODEL(1,1)

Modello EGARCH (1,1) sulla serie dell’Indice di Borsa FITSE MIB.

Dependent variable: RFM

Method: ML- ARCH (Marquardt) – Normal distribution Date: 22/10/07 Time: 23:30

Included observation: 1838

Variance backcast: ON

LOG(GARCH) = C(3) + C(4)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(5)*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(6)*LOG(GARCH(-1))

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 0.000340 0.000210 1.614766 0.1064 A AR(1) 0.084371 0.027217 3.099988 0.0019 Variance Equation C(3) -0.453207 0.055237 -8.204762 0.0000 CCCCCCC C(4) 0.175823 0.018707 9.398553 0.0000 CCCCCCC C(5) -0.100035 0.008728 -11.46096 0.0000 CCCCCCC C(6) 0.966262 0.005112 189.0320 0.0000

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105

E‟ molto importante precisare che il modello EGARCH25

ha senso se ,

indipendentemente dal valore e dal segno degli altri parametri del modello. Con questo modello siamo in grado di modellare la volatilità in modo non lineare e questo permette di catturare la presenza o meno di effetto leverage. Dai dati espressi in tabella è possibile notare che il parametro 0.966262 cattura l‟effetto della persistenza della volatilità. Il secondo termine dell‟equazione 189,0320 prende in considerazione la possibilità di un effetto asimmetrico proporzionale all‟innovazione, si nota che il coefficiente è molto grande e significativo. Si deduce che questa asimmetria è correlata alla grandezza dell‟innovazione.

Cerchiamo di entrare più nello specifico. Per i rendimenti delle azioni è molto improbabile che gli shock positivi e negativi abbiamo sulla volatilità lo stesso effetto, questa asimmetria talvolta la si attribuisce a quel famoso effetto leverage di cui ne abbiamo parlato in precedenza mentre altre volte ad un premio per il rischio26. Per l‟effetto leverage, quando il prezzo dell‟azione cade il rapporto debt su equity aumenta e in tal modo aumenta la volatilità dei rendimenti dei possessori di azioni. Per il premio per il rischio, quando la volatilità aumenta le richieste relative ad un titolo diminuiscono a causa dell‟avversione al rischio. Al livello teorico molti sono stati i metodi proposti per il calcolo dell‟effetto leverage. Un primo metodo consiste nell‟esaminare il segno di ieri dei rendimenti e se questi possono in qualche modo influenzare la volatilità futura. Formalmente:

VAR

t

= μ + βrt

t−1

+ ε

t 27

.

Però se si procedesse in questo modo non si avrebbe la percezione del famoso effetto leverage. Per questo motivo una misura molto più completa che fornisce più informazioni consiste nel calcolare una funzione di correlazione lineare tra i rendimenti ritardati di un periodo e una misura futura della volatilità che si ottiene mediante il quadrato dei residui (RES^2).

25_{Kawakatsu, H. (2006): “Exponential GARCH,” Journal of Econometrics .}

26_{Alexander, C. (2008). Market Risk Analysis, Vol.II: Practical Financial Econometrics. Chichester,}

UK: John Wiley and Sons, Ltd.

27

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106

Con queste considerazioni si è voluto tener conto che un modello GARCH (1,1) simmetrico non riesce a cogliere la presenza o meno di effetto leverage per cui è meglio avvelersi di un modello asimmetrico, cercando di indicare sulla base delle statistiche dignostiche ottenute quale potrebbe essere il modello migliore per una stima piu‟ accurata della volatilità.

In conclusione, facendo ricorso ad un modello EGARCH (1,1)si ha una conferma della presenza di un effetto leverage asimmetrico, infatti il coefficiente risulta conformante alle attese negative ed infine è pari a -0,100035. L’indice di kurtosis e pari a 4.633407 minore di quello dei residui di un modello GARCH simmetrico (5.137597). Parte di queste informazioni sono contenute nell’istogramma stimato sulla serie dei residui standardizzati relativi al modello EGARCH(1,1).

Istogramma della serie dei residui standardizzati relativi all’’indice FTSE MIB del modello EGARCH (1,1):

(24)

107

….Continuiamo con la stima dei modelli GARCH asimmetrici.

3.7 TGARCH MODEL(1,1)

Stima del modello TGARCH (1,1) sulla serie dei rendimenti dell’Indice azionario FTSEMIB

GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +++++ C(6)*GARCH(-1)

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob

C 0.000340 0.000214 1.591337 0.1115 AR AR(1) 0.081415 0.028028 2.899354 0.0037 A Variance Equation C 3.11E-06 4.72E-07 6.595172 0.0000 RESID(-1)^2 0.030109 0.012201 2.467799 0.0000 RESID(-1)<0 0.144189 0.014975 9.628818 0.0000 GARCH(-1) 0.862288 0.012540 68.76190 0.0000

Adjusted R-s. 0.001550 S.D. dependet var 0.010254 S.E. regression 0.010195 Akaike info criterion -6.379527

Durbin-Watson 1.923213 Prob(F-statistic) 0.000652

Inverted AR Roots .08

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108

Entrambi i modelli (sia il modello EGARCH che il modello TGARCH) mostrano una significatività relativa al parametro di asimmetria ciò consente di modellare la presenza di un effetto leverage. Il criterio di Akaike e di Schwarz evidenziano un lieve favore per il modello EGARCH rispetto a quello TGARCH inoltre il modello EGARCH viene anche preferito a quello GARCH puro e semplice. Con il modello TGARCH la distribuzione dei residui presenta un indice di Kurtosis pari a 4.632127 minore di quello dei residui di un modello GARCH simmetrico (5.137597), ciò lo si evince dall‟istogramma dei residui standardizzati.

Istogramma dei residui standardizzati sull’Indice FITSE MIB relativo al modello TGARCH (1,1)

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Correlogramma dei residui relativi alla serie dell’Indice di Borsa del FITSE MIB considerando il modello TGARCH (1,1) :

Da quest‟output si può facilmente verificare, secondo la statistica di Q di Ljung-Box, come non ci sia il rifiuto dell‟ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione tra i residui della serie in analisi. Quindi non sarà necessario apportare alcuna correzione nello svolgimento della nostra analisi.

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Sembra doveroso indicare un ulteriore modello meglio conosciuto con il nome di Integreted GARCH, ovviamente andremo a considerare un modello IGARCH (1,1).

3.8 IGARCH MODEL(1,1)

Stima di un modello Integreted GARCH (1,1) relativa alla serie dell’Indice di Borsa FTSE MIB:

GARCH = C(2)*RESID(-1)*2 + (1 – C(2))*GARCH(-1) ++++ Coefficient Std. Error z-Statistic Prob

C 0.000340 0.000214 1.591337 0.1112 AR AR(1) 0.083467 0.028028 2.899354 0.0035 A Variance Equation A C 3.23E-06 4.34E-07 6.595172 0.0000 GARCH (R(-1)^2) 0.030222 0.012201 2.463499 0.0000 GARCH(-1) 0.862288 0.012540 68.76190 0.0000

Adjusted R-s. 0.001250 S.D. dependet var 0.010254 S.E. regression 0.010195 Akaike info criterion -6.578567

Durbin-Watson 1.923213 Prob(F-statistic) 0.000652

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Da questo output è possibile notare che le stime ottenute sono leggermente differenti dal modello TGARCH (1,1) questo in quanto entrambi sono relativi al primo ordine e i due modelli sono una versione asimmetrica del modello GARCH (1,1). Nel caso in cui non era presente alcun effetto leverage allora il modello IGARCH28 (1,1) sarebbe stato esattamente identico al modello GARCH (1,1) ma non è così in quanto è stato stimato mediante il Sign Bias Test la presenza di un effetto leverage.

Nell‟ultima parte del capitolo ci occuperemo di selezionare il modello che secondo le statistiche diagnostiche risulta il migliore.

Dal momento che il modello IGARCH (1,1) è molto simile al modello TGARCH sembra inutile riportare le diagnosi relative alla serie dei residui in quanto andremo ad ottenere gli stessi risultati ottenuti con il modello precedente.

28

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3.10 La News Impact Curve (NIC)

Con l‟ausilio dei dati appena forniti siamo in grado di analizzare la funzione d‟impatto delle notizie meglio conosciuta con il termine inglese News Impact Curve (NIC). La sua introduzione la si deve ad Engle. Intuitivamente, quando le notizie giungono al mercato provocano una reazione da parte degli operatori e statisticamente questa situazione produce realizzazioni di variabili casuali che determinano il processo di determinazione del prezzo futuro. La NIC mette in un grafico cartesiano l‟impatto degli shock sulla deviazione standard condizionata. Valutando la reattività si è in grado di rappresentare graficamente (avvelendoci sempre dell‟ausilio del software E-Views) il modo in cui queste innovazioni si traducono in volatilità: “la variazione nella varianza in funzione

dei valori assumibili da un generico ”. Nel modello la GARCH la curva è simmetria, si

tratta di una parabola:

Nel modello EGARH, invece, non si riscontra questa simmetria e la funzione a cui si

farà riferimento non sarà una parabola quadratica.

Ciò che è importante precisare è che gli shock hanno un impatto quadratico nel processo GARCH mentre hanno un impatto esponenziale nel processo EGARCH, quindi se si verificano shock di elevata intensità la risposta del modello EGARCH è più sensibile rispetto a quella fornita dal modello TGARCH in quanto matematicamente sappiamo che una funzione esponenziale domina una parabola quadratica.

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Ritornando al nostro lavoro è possibile rappresentare graficamente la NIC sia per il modello GARCH (1,1) sia per il modello EGARCH (1,1).

Grafico della NEWS IMPACT CURVE relativa al modello GARCH (1,1) e al modello EGARCH (1,1) per la serie dei rendimenti dell’Indice di Borse FITSE MIB:

Dal primo grafico si nota che la NIC relativa ad un processo GARCH (1,1) è simmetrica ovvero “shock della stessa entità della volatilità hanno lo stesso impatto sulla varianza

condizionata indipendentemente dal segno dell’innovazione”. Il secondo grafico

relativo ad un modello EGARCH (1,1) mostra un impatto asimmetrico degli shock, nel caso andassimo a sovrapporre i due grafici la NIC di questo modello andrebbe a dominare la NIC relativa al modello GARCH (1,1) questo perché la funzione esponenziale domina su quella parabolica.

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3.11 I modelli GARCH a confronto: considerazioni finali

Dopo un breve resoconto sui rendimenti degli attivi finanziari e sulle loro caratteristiche abbiamo introdotto i principali modelli ad eteroschedasticità condizionata, in particolare sono stati ampiamente trattati e discussi i diversi modelli GARCH29.

L‟intento di questo lavoro è stato quello di costruire un buon modello in grado di rappresentare le caratteristiche riscontrate nella serie dei rendimenti dell‟Indice di Borsa FTSE MIB. Le nostre analisi hanno messo in evidenza:

la persistenza della volatilità,

l’impatto asimmetrico mediante un test di asimmetria “il Sign Bias Test”,

la presenza di un effetto leverage.

Gli esempi riportati hanno mostrato l‟abilità dei modelli GARCH a mimare queste caratteristiche. I modelli sull‟Indice di Borsa Ftse mib hanno messo in luce un impatto asimmetrico degli shock negativi rispetto a quelli positivi.Si è visto come questi shock negativi incrementano la volatilità molto di più rispetto a quanto siano in grado di fare shock di segno opposto, queste specificazione sono state dapprima mostrate con il test di asimmetria (il Sign Bias Test) successivamente si è presentato questo effetto tramite il modello esponenziale e il modello TGARCH. Nel corso della nostra indagine sono state segnalate le evidenze empiriche notoriamente presenti nelle serie finanziarie dei rendimenti giornalieri, ovvero:

prezzi non stazionari per definizione,

rendimenti la cui distribuzione presentava code più spesse rispetto ad una gaussiana,

presenza di effetti ARCH nei residui al quadrato.

29

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Dagli output ottenuti tramite il software econometrico-statistico E-Views abbiamo potuto notare che il modello che può in qualche essere utilizzato per ottenere una migliore stima della volatilità risulta: l‟EGARCH, in quanto si basa su una funzione esponenziale, inoltre le statistiche diagnostiche hanno riportato dati soddisfacenti in merito a questo modello. Analizziamo più nel dettaglio gli output ottenuti.

Iniziamo con l‟indice , esso viene chiamato in diversi modi: coefficiente di determinazione, indice di adattamento ai dati o semplicemente erre quadro. In realtà non esiste una definizione concordata in merito a questo indice in quanto preso da solo non ci dice nulla di concreto. Questo indice oscilla nell‟intervallo compreso tra [0,1]. L‟erre quadro è una misura della vicinanza di adattamento nella regressione multipla, esso non può essere usato come mezzo di confronto di due equazioni differenti che contengono numeri diversi di variabili esplicative in quanto all‟aumentare del numero di variabili all‟interno della regressione questo indice tende ad assumere valori sempre maggiori infatti esso è chiamato spesso indice di eccesso. Per questa problematica sarà necessario considerare un nuovo indicatore che tenga conto del numero delle variabili esplicative inserite nel modello, esso è chiamato erre quadro aggiustato in quanto regolato per i regressori del modello o per i gradi di libertà. Anche quest‟ultimo indice tende ad oscillare tra 0 ed 1 tuttavia può assumere dei valori negativi in taluni casi. Un erre quadro aggiustato negativo indica che il modello non descrive adeguatamente il processo di generazione dei dati. Nelle nostre analisi è emerso che il coefficiente corretto risulta più alto nel modello EGARCH rispetto a tutti gli altri, questo dimostra un‟alta prevedibilità del modello nella serie dei rendimenti dell‟Indice di Borsa FTSE MIB. Tuttavia questo indice analizzato singolarmente non ci dice nulla sarà quindi necessario avvalerci degli altri indicatori presenti nelle statistiche diagnostiche ottenute. Un altro indice è conosciuto con il l‟acronimo AIC è stato presentato alla comunità matematica nel 1974 e fornisce una misura della qualità della stima di un modello statistico considerando sia la bontà di adattamento sia la sua complessità. Un altro indice simile è conosciuto con l‟acronimo BIC, esso propone una penalizzazione maggiore quando il numero di parametri inseriti nel modello aumenta. Si sceglierà il modello che presenta un valore minore (“small is the better…”), dagli output ottenuti con il nostro software si può notare che il modello EGARCH presenta entrambi gli indicatori di valore inferiore rispetto a tutti gli altri modelli esaminati, per cui anche in questo caso viene preferito agli altri.

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116

Un altro dato che emerge negli output è la somma dei quadrati residui semplici derivati dal modello (Sum Squared R30). Esso è una misura della discrepanza tra i dati ed il modello scelto: quanto minore sarà tale distanza, migliore risulterà l'adattamento del modello ai dati e quindi le conclusioni che se ne trarranno saranno più precise.

Dalle nostre stime risulta che nel modello EGARCH questo valore è minore rispetto agli altri il che ci fa propendere verso di esso.

Per essere precisi gli S.E.of Regression danno una misura sintetica che si basa sulla

varianza stimata dei residui. Inoltre sia il modello EGARCH sia il modello TGARCH

presentano lo stesso valore relativo alla funzione di log-verosimiglianza, in questo caso si procede scegliendo il modello che presenta un valore di AIC minore e anche in questo caso la scelta ricade sull‟EGARCH.

Il valore della statistica Durbin-Watson generalmente è sempre compreso tra 0 e 4. Un valore di questo indicatori pari a 2 comporta assenza di autocorrelazione nei residui mentre valori piccoli di d indicano che i residui sono vicini gli uni agli altri oppure correlati in maniera positiva viceversa valori molto grandi di d mostrano che i residui sono lontani gli uni dagli altri oppure correlati negativamente. Nel nostro caso sia il modello EGARCH sia il modello TGARCH segnalano un valore prossimo a 2 il che evidenzia come non appare alcuna presenza di autocorrelazione tra i residui31 della serie relativa all‟Indice di Borsa FTSE MIB.

Per quanto riguarda la statistica F e il suo p-value esso riguarda in teoria un test per la significatività congiunta dei residui, tuttavia per avere dei risultati veritieri sarebbe necessario procedere con altre analisi che non risulterebbero utili per il nostro percorso. Tuttavia il modello EGARCH riesce a fornirci indicazioni in merito alla persistenza della volatilità grazie al coefficiente C(6) nonché informazioni anche rispetto alla presenza di un effetto asimmetrico grazie al valore relativo alla statistica t-student. Il modello IGARCH non è stato preso molto in considerazione in quanto dalle stime dei parametri ottenuti si intuisce che esso risulta molto simile al modello TGARCH (1,1) per questo sembrava superflua una ulteriore analisi dei residui della serie.

30_{James Stock; Mark Watson, Introduzione all'econometria, Milano, Pearson Education, 2005.} 31_{Nel caso in cui fosse emersa la presenza di correlazione negativa o positiva tra i residui della serie}

sarebbe stato necessario per effettuare gli altri test apportare una correzione nota come “la correzione di

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Tuttavia in questo lavoro ci siamo focalizzati esclusivamente sulla situazione relativa all‟Indice di Borsa FTSE MIB senza considerare una visione quantitativa d‟insieme. Tuttavia, i modelli appena analizzati presentano comunque degli svantaggi che cercheremo di mostrare a grandi linee nel nostro lavoro. Nella realtà finanziaria ciò che ci consente di scegliere in ambito decisionale non sono solo le informazioni limitate alla conoscenza di una singola serie del passato ma bisogna considerare i legami, le interconnessioni tra i diversi strumenti finanziari presenti sul mercato azionario. In altri termini quando un bene o strumento finanziario segue un modello GARCH ciò non è detto che valga anche per un paniere o un portafoglio di beni. Uno svantaggio che questi modelli presentano riguarda l‟instabilità temporale dei coefficienti ovvero molto spesso accade che il modello non risulta ben specificato per dati con differenti scale temporali rendendo in questo modo molto difficili approfondire le analisi. In definitiva i modelli GARCH proposti sembrano essere una valida alternativa per una stima più accurata della volatilità rispetto alla nota formula di B&S che ipotizza una volatilità costante nel tempo, pur tuttavia la stima dei parametri attenuti con questi modelli econometrici richiede molta attenzione in quanto come abbiamo visto non sono immuni da svantaggi che possono comportare degli errori all‟interno delle nostre analisi finanziarie.

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Con il confronto tra i diversi modelli, esaminati medianti l’ausilio del software econometrico E-Views ,abbiamo completato la trattazione relativa al nostro lavoro cercando di essere più esaustivi possibili. Dall’indagine statistica è emerso che il modello che possiede migliore proprietà teoriche è il modello EGARHC(1,1) in quanto presenta il vantaggio di non porre alcune restrizione sui parametri in merito alla positività della varianza.