Dipartimento di Matematica Corso di Laurea in Matematica
Tesi di Laurea Magistrale
Modellizzazione del tasso di interesse
con un approccio multi-curve
Candidato: Relatore:
Davide Marano
Prof. Maurizio Pratelli
Controrelatore:
Prof. Marco Romito
Indice
Introduzione I
1 Nozioni preliminari e approccio precrisi 4
1.1 Modelli per il tasso short . . . 5
1.2 La struttura Heath-Jarrow-Morton (HJM) . . . 7
1.3 Cambio di numerario (misure forward) . . . 8
2 Principali strumenti derivati da tasso di interesse e tecniche di Boo-tstrap 10 2.1 Derivati lineari . . . 11
2.2 Derivati opzionali . . . 19
2.3 Necessità di un nuovo modello . . . 22
2.4 La tecnica del Bootstrap . . . 22
3 Un nuovo modello per il tasso short 25 3.1 Princing di un FRA . . . 28
3.2 Calibrazione del modello . . . 33
4 Un nuovo modello per il tasso forward 34 4.1 Modello HJM: approccio classico . . . 36
4.2 Modello HJM per G(·; T, T + ∆) . . . . 37
4.3 Modello HJM per i prezzi dei bond fittizi . . . 39
4.4 Pricing di strumenti derivati . . . 41
4.5 Princing dei principali Interest Rate Swap . . . 44
5 Un esempio numerico 46 5.1 Considerazioni finali . . . 51
Codice 52
Introduzione
Nei mercati finanziari è possibile comprare o vendere direttamente titoli primitivi, cioè legati a qualcosa che esiste nel mondo reale di qualsiasi natura, come oro, petrolio o azioni. Inoltre, è possibile scambiare titoli derivati, che molto genericamente, sono dei titoli finanziari il cui valore deriva da uno o più titoli primitivi, che prendono il nome di sottostanti (del derivato). Dato il prezzo di un titolo primitivo St, e indicato con Ht il
prezzo di un suo derivato, in formule si ha
Ht= f (St), con f funzione qualsiasi
Gli esempi più semplici sono l’opzione Call e l’opzione Put. Fissata una data futura T > t chiamata scadenza e fissato un valore K detto prezzo strike, si definisce opzione Call un contratto che dà il diritto (e non obbligo), a chi la acquista, di comprare il sottostante al prezzo K all’epoca T . Dunque, se il titolo alla scadenza è superiore al prezzo K, al possessore conviene esercitare l’opzione e comprare il titolo ad un prezzo più basso di quello attuale. L’opzione Put, analogamente, dà il diritto, a chi la acquista, di vendere il sottostante al prezzo K all’epoca T . In questo caso, se il titolo alla scadenza è inferiore al prezzo K, al possessore conviene esercitare l’opzione e vendere l’azione (acquistata precedentemente insieme alla Put) ad un prezzo più alto di quello del mercato.
Noi ci soffermeremo sui derivati sui tassi di interesse, che definiremo più avanti nel dettaglio, e sulle curve dei tassi a cui tali derivati fanno riferimento. Per dare un prezzo a tali strumenti derivati è necessario avere un modello di riferimento che dia una dinamica del sottostante (che esso sia una valuta, un’azione o un tasso di interesse).
A partire dalla crisi dei mutui subprimes del 2007, la teoria classica dei modelli per i tassi di interesse è stata messa pienamente in dubbio dato che numerose violazioni delle condizioni di non arbitraggio sono state osservate sul mercato. I modelli usati prima di allora consideravano trascurabili il rischio di controparte e il rischio di liquidità. Infatti, si osserva che prima del 2007, lo spread tra l’Overnight Indexed Swap (OIS) e lo standard Interest Rate Swap (IRS) era praticamente vicino a 0 e costante e i basis-swap spread erano praticamente nulli, in modo consistente con i modelli per i tassi di interesse usati fino ad allora. Dopo il 2007 tutto questo non fu più rispettato a causa della crescita del rischio sistemico1 (Figura 1). La causa principale delle incoerenze con la teoria consiste
1
Il rischio sistemico è il rischio che l’insolvenza o il fallimento di uno o più intermediari determini generalizzati fenomeni d’insolvenza o fallimenti a catena di altri intermediari.
nel fatto che, fino ad allora, si era usata un’unica yield curve per tutti i tassi forward. La soluzione a tale problema è stata quella di adottare una struttura di tipo multi-curve: distinguere la curva per l’attualizzazione dei cash-flow futuri dalla curva dei tassi forward per ogni tenor quotati sul mercato, che non potevano più essere ottenuti dai classici modelli con una sola curva.
Figura 1: Tasso swap EONIA, in giallo, vs Tasso Swap EURIBOR con maturità 1 anno, in bianco. In verde lo spread tra i due tassi da inizio 2005 a fine 2015. La figura è stata presa dalla piattaforma Bloomberg R
I tassi d’interesse principali di riferimento sono tre:
1. Il tasso EONIA (Euro OverNight Index Average) è il tasso di riferimento per le transazioni quotidiane nel mercato OTC della zona Euro. Lo si calcola come il tasso medio delle transazioni overnight(inteso come da un business day a quello successivo). Può essere inteso come il tasso risk-free, data la breve durata delle transazioni.
2. Il tasso EURIBOR (EURo Inter Bank Offered Rate) è il tasso interbancario di riferimento come media dei tassi d’interesse ai quali primarie banche2 attive nel mercato monetario dell’euro, offrono depositi interbancari a termine in euro ad altre primarie banche.
3. Il tasso LIBOR (London Inter Bank Offered Rate) è il tasso di interesse interban-cario medio al quale una selezione di banche si concede reciprocamente prestiti
2
Con primaria banca si intende un istituto di credito con elevata affidabilità per i depositi a breve termine
nel mercato monetario di Londra. Come l’EURIBOR, il LIBOR esiste per diversi periodi.
Quando parleremo più avanti di tassi LIBOR, intederemo sia tassi EURIBOR che LIBOR. Lo scopo di questo elaborato è quello di presentare i principali approcci, studiati in letteratura, per una struttura multicurve.
Nel Capitolo 1, vedremo i principali strumenti finanziari primari che utilizzeremo e una panoramica dei vecchi modelli.
Nel Capitolo 2, introdurremo i principali strumenti finanziari derivati e daremo un prezzo in maniera teorica; spiegheremo il perchè necessitiamo un nuovo modello con più curve e mostreremo le tecniche di costruzione delle curve per il pricing.
Nel Capitolo 3, vedremo un modello per il tasso short modellando anche lo spread tra il tasso senza rischio e il tasso rischioso, e prezzeremo un FRA in modo teorico.
Nel Capitolo 4, in analogia al Capitolo 3, vedremo alcuni modelli per i tassi forward e daremo un pricing teorico per gli strumenti derivati lineari visti nel Capitolo 2.
Infine, nel Capitolo 5, calibrereremo un modello visto nel Capitolo 4 e daremo una stima per il LIBOR-OIS spread a 6 mesi con data di partenza un’anno confrontandolo con il dato reale e faremo una previsione riguardante il LIBOR-OIS spread ad 1 anno.
Nell’ultima parte ci sono i codici, scritti col linguaggio R, relativi all’algoritmo usato per calibrare il modello e dare una stima degli spread.
Capitolo 1
Nozioni preliminari e approccio
precrisi
Sia (Ω, F , P) uno spazio di probabilità dotato di una filtrazione (Ft)t∈[0,T ] e adattato
a questa filtrazione consideriamo un processo di Wiener d−dimensionale. Si assuma, inoltre, che non esista opportunità di arbitraggio e che esista una misura neutrale al rischio Q.
Definizione 1.1. Uno Zero Coupon Bond (ZCB) con scandenza T è un contratto
che garantisce, al suo possessore, il pagamento di una unità di valuta al tempo T , senza pagamenti intermedi. Il valore del contratto al tempo t è denotato con B(t, T ). Chiaramente B(T, T ) = 1 per ogni T .
Assumiamo che, per ogni T > 0, esista uno ZCB. Inoltre, assumiamo che, per ogni t > 0, B(t, T ) è differenziabile in T .
Da questa definizione si osserva facilmente che la somma 1 al tempo t vale B(t,T )1 al tempo T . In termini lineari, l’interesse sul periodo sarà dato da: B(t,T )1 = (1 + L(t, T ))(T − t) da cui ricaviamo la seguente definizione.
Definizione 1.2. Il tasso di interesse spot semplice al tempo t con maturità al tempo T , è denotato con L(t, T ) ed è il tasso costante con cui un investimento produce una unità di valuta alla scadenza, partendo da un numero pari a B(t, T ) unità di valuta al tempo t. In formule:
L(t, T ) = 1 − B(t, T ) B(t, T )(T − t)
Dati T < S, ricordiamo che la quantità 1 vale B(t,T )1 al tempo T e B(t,S)1 al tempo S. In termini lineari si ha la formula:
1
B(t, T )[1 + F (t; T, S)(S − T )] = 1 B(t, S), da cui ricaviamo le definizioni successive.
Definizione 1.3. Il tasso d’interesse forward semplice al tempo t, con tempo d’esercizio
T > t e maturità S, è denotato con F (t; T, S) e definito da
F (t; T, S) := B(t, T ) − B(t, S) (S − T )B(t, S) = 1 S − T B(t, T ) B(t, S) − 1 (1.1)
Definizione 1.4. Il tasso forward istantaneo al tempo t con maturità T > t, è denotato
con f (t, T ) e definito da f (t, T ) : = lim ∆!0F (t; T, T + ∆) = lim ∆!0 1 B(t, T + ∆) B(t, T ) − B(t, T + ∆) ∆ = − 1 B(t, T ) ∂B(t, T ) ∂T = − ∂ ln B(t, T ) ∂T ,
da cui si ricava anche
B(t, T ) = exp − ˆ T t f (t, u)du ! (1.2)
Definizione 1.5. Il tasso spot istantaneo short al tempo t è denotato con rte definito
da
rt:= f (t, t)
Definizione 1.6. Il Bank-account (o money-market account) Bt è il valore di un pro-cesso stocastico al tempo t ≥ 0 con B0 = 1 che evolve secondo la seguente equazione
differenziale:
dBt= rtBtdt, B0= 1
Come conseguenza si ha che
Bt= exp
ˆ t
0 rsds
!
Definizione 1.7. Il fattore di sconto (stocastico) tra due istanti t e T è la quantità al
tempo t che è equivalente ad un’unità di valuta pagabile al tempo T , ed è data da: D(t, T ) := Bt BT = exp − ˆ T t rsds !
1.1
Modelli per il tasso short
La teoria per i tassi di interesse era originariamente basata sull’assunzione di una specifica dinamica per l’instantaneo tasso short rt, direttamente sotto la misura neutrale
al rischio:
Modellizzare questo tasso è molto conveniente per poi dare un prezzo a strumenti finanziari fondamentali come i bond. Il prezzo d’arbitraggio di qualsiasi derivato è possibile grazie all’esistenza della misura neutrale al rischio.
Vale la seguente proposizione.
Proposizione 1.8. Se X è una variabile casuale T −misurabile, allora il suo prezzo al
tempo t, sotto la misura Q è
πtX = BtEQ X BT Ft
Da questa proposizione ricaviamo che il prezzo d’arbitraggio1al tempo t di un derivato con payoff HT al tempo T è dato da:
Ht= E[D(t, T )HT | Ft] = E " exp − ˆ T t rsds ! HT Ft # .
In particolare, uno ZCB al tempo t e maturità T è caratterizzato dal fatto di avere payoff 1 al tempo T , e dunque: B(t, T ) = E " exp − ˆ T t rsds ! Ft # (1.3) I più importanti modelli per il tasso short sono i seguenti:
• Vasicek: drt= (b − art)dt + σdWt • C.I.R.: drt= a(b − rt)dt + σ √ rtdWt • Ho-Lee: drt= θ(t)dt + σdWt • Hull-White: drt= (θ(t) − art)dt + σdWt
I modelli sopracitati sono dei modelli che posseggono una stuttura a termine affine (esponenziale), ovvero uno zero coupon bond si può scrivere come
B(t, T ) = exp(α(t, T ) − β(t, T )rt),
dove α e β sono funzioni deterministiche con α(T, T ) = β(T, T ) = 0.
Osservazione 1.1. Invece di utilizzare modelli per il tasso short con una struttura a
termine affine esponenziali, è possibile considerare modelli con una struttura a termine quadratica esponenziale. Consideriamo
dΨi,t= −biΨi,tdt + σidWi,t, i = 1, 2,
1
Il prezzo di arbitraggio (o di non arbitraggio) è quel prezzo tale per cui non possono verificarsi arbitraggi nel mercato, cioè investimenti con profitti non negativi certi in un dato periodo.
e sia
rt= Ψ1,t+ (Ψ2,t)2.
Possedere una struttura a termine quadratica vuol dire che il bond si può scrivere nel seguente modo: B(t, T ) = EQ " exp − ˆ T t rsds ! Ft # = EQ " exp − ˆ t t (Ψ1,s+ (Ψ2,s)2)ds ! Ft # = exp α(t, T ) − 2 X i=1 bi(t, T )Ψ(t, T )Ψi,t− 2 X i,j=1 ci,j(t, T )Ψi,tΨj,t
Un problema delicato, dei modelli del tasso short è la calibrazione. Un’idea è il problema dell’inversione della curva dei rendimenti: scelto un modello per il tasso short e osservato sul mercato il tasso r∗(0), si ottiene secondo il modello il valore di B(0, T ) per ogni 0 < T < T∗ e ci si chiede se è possibile calibrare i parametri in modo da avere, per ogni T , B(0, T ) = B∗(0, T ).
1.2
La struttura Heath-Jarrow-Morton (HJM)
Il modello HJM consiste nel scegliere una dinamica per il tasso forward instantaneo f (t, T ), sotto la misura neutrale al rischio Q:
df (t, T ) = a(t, T )dt + σ(t, T )dWt, (1.4)
dove a(t, T ) è un processo adattato e σ(t, T ) = (σ1(t, T ), . . . , σd(t, T )) è un vettore di processi adattati con
ˆ T t |a(t, T )| dt < ∞ q.c. e ˆ T 0 |σi(t, T )|2dt < ∞ q.c. ∀i = 1, . . . , d.
Il prodotto σ(t, T )dWtva inteso come prodotto scalare. Possiamo inserire il tasso osservato sul mercato dalla curva dei tassi, riducendo in questo modo il problema della calibrazione del modello, cioè:
f (t, T ) = f∗(0, T ) + ˆ t 0 a(s, T )ds + ˆ t 0 σ(s, T )dWs
Inoltre, possiamo definire direttamente il prezzo di uno zero-coupon bond B(t, T ) col tasso forward: B(t, T ) = exp − ˆ T t f (t, s)ds ! .
La dinamica (1.4) non soddisfa sempre la condizione di non arbitaggio, cioè B(t,T )B t non è una martingala per ogni a(t, T ) e σ(t, T ) ma devono essere soddisfatte le condizioni del seguente teorema.
Teorema 1.9 (Heath-Jarrow-Morton). Il processo stocastico B(t,T )B
t è una martingala, qualunque sia T , se e solo se vale q.c. la seguente eguaglianza:
a(t, T ) = σ(t, T ) ˆ T
t
σ(t, s)ds
Dunque, preso il tasso forward iniziale , e scelta una struttura σ(t, T ), il problema della calibrazione del modello si riduce nel determinare i possibili parametri in σ(t, T ).
1.3
Cambio di numerario (misure forward)
Di default si usa il processo bank-account Bt come numerario, cioè per Q misura martingala abbiamo che:
Ss Bs = E Q S t Bt Ft
, ∀s < t e per ogni asset price St In particolare, per ogni prezzo πt di un derivato con payoff HT abbiamo:
πt Bt = E Q H T BT Ft ⇒ πt= BtEQ hH T BT Ft i πt= EQ h exp(−´tT rsds)HT Ft i
Un cambio di numerario include un cambio nella misura martingala, che potrebbe risultare conveniente per il calcolo del prezzo di alcuni derivati. Dal momento che per un numerario generico St0 con misura martingala associata Q0 deve valere
πt S0 t = EQ0 " HT S0 T Ft # ⇔ πt= S0tEQ 0 " HT S0 T Ft # ,
allora vale il seguente risultato.
Teorema 1.10. Sia Q una misura martingala per uno spazio di probabilità filtrato
(Ω, F , Ft, Q) con t ≤ T e FT = F . Sia St il prezzo di un qualsiasi asset sul mercato
tale che St
Bt sia una martingala. Per ogni processo S 0
t > 0 esiste dunque una probabilità
Q0∼ Q tale che SS0t
t
sia una martingala. Inoltre la derivata di Radon-Nikodim è L =dQ 0 dQ = ST0 BTS00 ( assumendo B0 = 1) da cui otteniamo Lt:= EQ[L|Ft] = St0 BtS00 , 0 ≤ t ≤ T
Osservazione 1.2. Supponiamo per esempio che il payoff di un derivato possa essere
fattorizzato in HT = ST0H¯T. Con Btcome numerario dovremmo calcolare:
πt= BtEQ H T BT Ft = BtEQ " ST0H¯T BT Ft #
Invece se usassimo ST0 come numerario, con Q0 la corrispondente misura martingala, lo stesso πt può essere ottenuto come
πt= St0EQ 0HT St0 Ft = St0EQ0[ ¯H T|Ft]
Osservazione 1.3. Sia rtun tasso a breve stocatico. Con Btcome numerario dovremmo calcolare πt= EQ " exp − ˆ T t rsds ! HT Ft #
cioè la speranza condizionale del prodotto delle variabili aleatorie correlate exp−´tT rsds
e HT. Se usassimo B(t, T ) come numerario, e denotando con QT la corrispondente misura
martingala (T -forward measure) abbiamo πt= B(t, T )ET H T B(T, T ) Ft = B(t, T )ET[HT|Ft]
In particolare, per un generico T ∈ [0, T∗], la T −forward measure QT è data da: dQT dQ F t = B(t, T ) BtB(0, T ) , 0 ≤ t ≤ T, ( assumendo B0= 1)
Inoltre, il collegamento tra due misure forward associate a due date T, S ∈ [0, T∗] è dato da: dQT dQS Ft = B(t, T )B(0, S) B(t, S)B(0, T ), 0 ≤ t ≤ T ∧ S (1.5)
Capitolo 2
Principali strumenti derivati da
tasso di interesse e tecniche di
Bootstrap
In questo capitolo diamo una panoramica dei derivati sui tassi d’interesse più standard con definizioni precise e connessione tra diversi derivati. Inizieremo con derivati lineari per poi sfociare nei derivati opzionali non lineari. Tali derivati vengono scambiati sia nei mercati regolamentati ma soprattutto nei mercati Over The Counter (OTC). I mercati regolamentati sono quei mercati finanziari dove c’è un ente, detto Clearing House, che fissa delle regole per la quotazione, per l’intermediazione e la negoziazione, e fa da garante ufficiale per gli scambi. I mercati OTC, invece, sono dei mercati in cui la negoziazione si svolge al di fuori dei circuiti borsistici ufficiali. La quotazione nei mercati OTC avviene soltanto secondo il principio dell’incontro tra la domanda e l’offerta. In assenza di un ente regolamentato che fa da garante negli scambi tra due controparti, si chiama una terza controparte che prende le veci della Clearing House nei mercati non regolamentati, chiamata controparte centrale (CCP - Central Counterparty). I volumi dei derivati scambiati nei mercati OTC è molto piu grande rispetto ai volumi scambiati nei mercati regolamentati (vedi figura 2.1). Questo perché nei mercati OTC c’è più flessibilità tra le controparti. In questo capitolo considereremo solo i cosidetti clean price, termine introdotto nella letteratura postcrisi, per riferirsi al prezzo di un derivato OTC con l’ipotesi che il rischio di default e di liquidità delle controparti siano trascurabili. In particolare, nel caso dei derivati da tasso d’interesse, questo significa che il rischio di controparte e il rischio di liquidità delle due parti sono ignorati, mentre il rischio di liquidità e di controparte del mercato interbancario, che influenza direttamente i tassi di riferimento in questi contratti, sono presi in considerazione. Esiste anche il global price di un derivato che è il prezzo che include anche gli aggiustamente dovuti al rischio di controparte e di liquidità. Questo può essere svolto in due modi:
1. Sviluppando un quadro dei prezzi che tenga conto di queste problematiche fin dall’inizio
2. Calcolando prima i clean price e poi "aggiustandoli" sommando loro dei fattori in più chiamati XVA (X-Value Adjustment). I principali XVA sono CVA (Credit value adjustmente), DVA(debt value adjustment), FVA(funding valuation adjustment), KVA(Capital value adjustment). Il calcolo e l’interazione di questi aggiustamenti al fine di ottenere il prezzo globale di un derivato sono tutt’altro che banali.
Figura 2.1: Differenza dei volumi dei derivati scambiati tra i mercati regolamentati e i mercati OTC. I dati per il grafico sono stati presi da "Bank for International Settlements".
2.1
Derivati lineari
Vediamo ora quali sono i derivati lineari più comuni: FRA, Coupon Bond, IRS, OIS e Basis Swap.
FRA
Definizione 2.1. Un forward rate agreement (FRA) è un derivato OTC che consente al
titolare di bloccare in qualsiasi momento 0 ≤ t ≤ T l’interesse tra la data di lancio T e la scadenza S a tasso fisso R. A scadenza S ≥ T , viene effettuato un pagamento basato sul tasso R e viene ricevuto quello basato sul tasso variabile pertinente (generalmente il tasso di LIBOR L(T ; T, S))
Formalmente, al tempo T il possessore paga
(S − T )(L(T ; T, S) − R) Il valore nominale del payoff al tempo t è:
πtFRA(T, S, R) = (S − T )E B t BT (L(T ; T, S) − R) Ft = B(t, T )ES[L(T ; T, S) − R | Ft] (2.1) Quindi, la quantità chiave nell’attesa condizionata è il tasso di libor forward che indichiamo con L(t; T, S) e definito come segue.
Definizione 2.2. Il tasso LIBOR forward al tempo t > 0 per l’intervallo futuro [T, S],
dove t ≤ T ≤ S, è il tasso dato da
L(t; T, S) := EQS[L(T ; T, S) | F
t], 0 ≤ t ≤ T < S (2.2)
Il tasso FRA, RFRAt , è il tasso fisso che rende il contratto equo al tempo t, cioè che rende il prezzo in (2.1) al tempo t uguale a zero:
RFRAt = EQS[L(T ; T, S)].
Nell’assetto precrisi valeva l’uguaglianza
L(T ; T, S) = F (T ; T, S) = 1 S − T 1 B(T, S) − 1 (2.3) Utilizzando la (2.3) nella (2.1) e imponendo il prezzo uguale a zero, ottengo che il tasso FRA, cioè il tasso che rende il contratto equo è:
RFRAt (T, S) = EQS[F (T ; T, S) | F t] = EQS 1 S − T B(T, T ) B(T, S) − 1 Ft = 1 S − T B(t, T ) B(t, S) − 1
da cui possiamo dare un’altra definizione equivalente alla (1.3):
Definizione 2.3. Il tasso forward discretamente composto al tempo t > 0 per il futuro
intervallo [T, S], dove, t ≤ T ≤ S, è il tasso dato da: F (t; T, S) = EQS[F (T ; T, S) | F t] = 1 S − T B(t, T ) B(t, S) − 1
COUPON BOND
Un Coupon Bond (CB) può essere visto come una somma di più ZCB con scadenza diversa. Prima di dare una definizione rigorosa di un CB diamo la definizione di tenor structure.
Definizione 2.4. Fissato un orizzonte temporale finito per tutte le attività di mercato
T∗> 0, si definisce tenor structure (discreta) Tx con tenor x una sequenza finita di date Tx:= {0 ≤ Tx
0 < T1x< · · · < Tnxx ≤ T ∗}
Denotiamo con δkx := Tkx − Tx
k−1 la frazione di anno corrispondente alla lunghezza
dell’intervallo (Tk−1x , Tkx], per k = 1, . . . , nx. Tipicamente, la distanza tra le date nella tenor structure è costante, cioè δxk = δ, per ogni k.
Definizione 2.5. Un Coupon bond a tasso fisso è uno strumento finanziario che offre al suo possessore un flusso di pagamenti futuri chiamati coupon o cedole. Denotando con T = {0 ≤ T0 < T1 < . . . < Tn} una tenor structure con δk= Tk− Tk−1, il CB a tasso
fisso paga una quantità 1 · δkck alla data Tk per ck ∈ (0, 1) e k = 1, . . . , n. Il nozionale 1
è pagato in aggiunta al coupon cn al tempo Tn. In un Coupon Bond a tasso variabile,
i pagagamenti dei coupon sono collegati ad un tasso variabile (generalmente al tasso LIBOR spot con un deterimato periodo), cioè il CB a tasso variabile paga una quantità 1 · δkL(Tk−1; Tk−1, Tk) alla data Tk, dove L(Tk−1; Tk−1, Tk) è il tasso spot Libor fissato al
tempo Tk−1 per il periodo [Tk−1, Tk] con k = 1, · · · , n.
Il prezzo al tempo t < T0 del CB a tasso fisso è dato da: πtCB(T )fixed=
n
X
k=1
δkB(t, Tk)ck+ B(t, Tn)
In modo analogo, il prezzo di un CB a tasso variabile al tempo t ≤ T0 è dato da: πCBt (T )float = n X k=1 δkB(t, Tk)ETk[L(Tk−1; Tk−1, Tk) | Ft] + B(t, Tn) = n X k=1 δkB(t, Tk)L(t; Tk−1), Tk+ B(t, Tn)
Osservazione 2.1. Utilizzando la (2.3) e la (2.2), il prezzo di un CB a tasso variabile
in epoca precrisi era semplicemente: πtCB(T )float= n X k=1 δkB(t, Tk)L(t; Tk−1, Tk) + B(t, Tn) = n X k=1 δk B(t, T k−1) B(t, Tk) − 1 + B(t, Tn) = B(t, T0)
dove la terza uguaglianza segue dalla cancellazione nella somma telescopica. Ciò significa che il prezzo iniziale di un CB a tasso variabile era alla pari, cioè πCBT
IRS
In grandi linee, uno swap non è altro che un contratto tra due parti per lo scambio di un flusso di pagamenti futuri fra di loro. In particolare, abbiamo il seguente swap.
Definizione 2.6. Un interest rate swap (IRS) è un contratto finanziario in cui un flusso
di pagamenti futuri legati a un tasso fisso prestabilito indicato con R è scambiato con un altro legato a un tasso di interesse variabile, basato sull’importo nozionale di un’unità di valuta. Il tasso variabile è generalmente collegato al tasso LIBOR. Ad ogni swap è associata una tenor structureT = {0 ≤ T0 < T1· · · Tn} con T0 data d’inizio dello swap e T1, · · · , Tn date di pagamento, con δk:= Tk− Tk−1, per tutti i k = 1, . . . , n.
Lo swap prende il nome di payer swap se il tasso fisso è pagato e il tasso variabile ricevuto; viceversa prende il nome di receiver swap. Se non specificato prenderemo in considerazione sempre un payer swap. Il valore al tempo t dello swap, dove t ≤ T0, è
dato dalla differenza del valore al tempo t della gamba variabile e la gamba fissa:
πIRSt (T , R) = n X k=1 δkB(t, Tk)EQ k [L(Tk−1; Tk−1, Tk) − R|Ft] = n X k=1 πFRAt (Tk−1, Tk, R) = n X k=1 δkB(t, Tk)(L(t; Tk−1, Tk) − R) (2.4)
dove L(t; Tk−1, Tk) è data da (2.2), per ogni k = 1, . . . , n. Il tasso swap IRSRIRSt (T )è il
tasso che rende il prezzo in (2.4) nullo ed è dato da RIRSt (T ) = Pn k=1δkB(t, Tk)L(t; Tk−1, Tk) Pn k=1δkB(t, Tk) (2.5) = n X k=1 wkL(t; Tk−1, Tk)
Possiamo osservare che il tasso swap è una combinazione convessa dei tassi LIBOR forward, con i pesi wk := δkB(t,Tk)
Pn
i=1δiB(t,Ti)
, k = 1, . . . , n, che sono funzioni dei prezzi dei bond.
Osservazione 2.2. Nella realtà i pagamenti relativi al tasso fisso e i pagamenti relativi
al tasso variabile, tipicamente, non sono eseguiti con la stessa frequenza, come abbiamo assunto sopra per semplificare la notazione. Per esempio, nel mercato europeo, i pagamenti della gamba fissa si verificano con un tenor di un anno, mentre le date dei pagamenti variabili adottano il tenor del tasso sottostante LIBOR (un mese, tre mesi, sei mesi o un anno). In questo caso dobbiamo lavorare con due tenor structure differenti e modificare la formula di pricing. In particolare, se denotiamo con Tx la tenor structure per i
pagamenti con tasso variabile, e con Ty la tenor structure per i pagamenti con tasso fisso, il valore al tempo t dell’IRS è dato da
πIRSt (Tx,Ty, R) = nx X i=1 δixB(t, Tix)L(t; Ti−1x , Tix) − R ny X j=1 δjyB(t, Tjy)
Il corrispondente tasso swap è dato da RIRSt (Tx,Ty) = Pnx i=1δxiB(t, Tix)L(t; Ti−1x , Tix) Pny j=1δ y jB(t, T y j) (2.6) OIS
Definizione 2.7. Un Overnight Indexed Swap (OIS) è un IRS in cui il tasso variabile è
collegato ad un tasso composto overnight.
Supponiamo di avere la tenor structure del precedente swap e denotiamo il tasso fisso di nuovo con R. Il valore al tempo t della gamba fissa è dato da
πtOIS(T , R)fixed= R
n
X
k=1
δkB(t, Tk)
Per calcolare il valore al tempo t della gamba variabile πtOIS(T , R)float procediamo come segue: il tasso variabile per ogni intervallo (Tk−1, Tk] è dato componendo in modo
lineare i tassi overnight tra queste due date, cioè: RON(Tk−1, Tk) = 1 δk nk Y i=1 h 1 + δtk j−1,tkjR ON(tk j−1, tkj) i − 1 ! dove Tk−1 = tk0 < tk1 < · · · < tknk−1 < t k
nk = Tk è la suddivisione in business day e δtk
j−1,t k j = t
k
j − tkj−1, e dove RON(tkj−1, tkj) è il tasso overnight per il periodo (tkj−1, tkj]. Il
pagamento basato tul tasso discretamente composto RON(Tk−1, Tk) è fatto al tempo Tk.
Il tasso overnight RON(tkj−1, tkj) è collegato ai prezzi dei bond: infatti,
RON(tkj−1, tkj) = 1 δtk j−1,tkj B(tkj−1, tkj−1) B(tkj−1, tkj) − 1 ! , (2.7)
dunque, il valore della gamba variabile al tempo t è dato da πtOIS(T , R)float =
n
X
k=1
dove RONt (Tk−1, Tk) = ETk h RON(Tk−1, Tk) Ft i = 1 δkE Tk nk Y j=1 h 1 + δtk j−1,t k jR ON(tk j−1, tkj) i − 1 Ft = 1 δk ETk nk Y j=1 B(tkj−1, tkj−1) B(tk j−1, tkj) Ft − 1 = 1 δk B(t, T k−1) B(t, Tk) − 1 (2.8) La terza uguaglianza segue dalla (2.7) e la quarta è basata sulla successione di sottosuc-cessioni delle misure da QTk a Qtk
j, per j = nk− 1, . . . , 0 (ricordando che Tk = tnk). Per essere più precisi, al primo passo, facendo uso della densità tra le misure forward Qtk
nk e Qtk
nk−1 data dalla (1.5) e applicando la formula di Bayes abbiamo:
ETk nk Y j=1 B(tkj−1, tkj−1) B(tkj−1, tkj) Ft = Et k nk−1 Qnk−1 j=1 B(tk j−1,tkj−1) B(tk j−1,tkj) Ft Et k nk−1 B(tk nk−1,tknk) B(tk nk−1,tknk−1) Ft = B(t, t k nk−1) B(t, tk nk) Et k nk−1 nk−1 Y j=1 B(tkj−1, tkj−1) B(tkj−1, tkj) Ft
Ripetendedo la stessa procedura, otteniamo il seguente prodotto telescopico EQTk nk−1 Y j=1 B(tk j−1, tkj−1) B(tk j−1, tkj) Ft = nk−1 Y j=1 B(t, tk j−1) B(t, tk j) = B(t, Tk−1) B(t, Tk)
che conclude la derivazione della (2.8). Conseguentemente, πtOIS(T , R)float= n X k=1 δk B(t, T k−1) B(t, Tk) − 1 = B(t, T0) − B(t, Tn)
dove la seconda uguaglianza segue dalla cancellazione nella somma telescopica. Dunque, il valore al tempo t, per t ≤ T0, del payer OIS (cioè l’OIS dove il tasso variabile è ricevuto
e il tasso fisso viene pagato) è dato da
πtOIS(T , R) = B(t, T0) − B(t, Tn) − R n
X
k=1
δkB(t, Tk) (2.9)
Il tasso swap OIS, ROISt (T ), per t ≤ T0, è il tasso che rende il valore dell’OIS al tempo t
uguale a 0. Esso è dato da
RtOIS(T ) = B(t, TPn 0) − B(t, Tn)
Osservazione 2.3. Come nell’Osservazione (2.2), anche qui i pagamenti da tasso variabile
e i pagamaneti da tasso fisso di un OIS possono avere tenor structure differenti. Quindi, se denotiamo con Tx la tenor structure per il pagamento a tasso variabile e Ty la tenor structure per i pagamenti a tasso fisso, il valore al tempo t dell’OIS è dato da
πOISt (Tx,Ty, R) = B(t, T0) − B(t, Tnxx) − R
ny
X
k=1
δkyB(t, Tky) Il corrispondente tasso OIS è dato da
ROISt (Tx,Ty) = B(t, T0) − B(t, T x nx) Pny k=1δ y kB(t, T y k) (2.10) BASIS SWAP
Un basis swap è un interest rate swap dove due pagamenti variabili collegati ai tassi Libor con differenti tenor vengono scambiati. Per esempio, un compratore riceve ogni 6 mesi un pagamento collegato al 6m-LIBOR e paga ogni 3 mesi un 3m-LIBOR, entrambi impostati in anticipo e pagati in arretrato. Formalizzando, otteniamo la definizione seguente.
Definizione 2.8. Un basis swap è un contratto finanziario per lo scambio di due flussi di pagamenti basati su tassi variabili (tipicamente tassi LIBOR) collegati a due diverse tenor structure contrassegnate da T1 = {T01 < · · · < Tn11} e T2 = {T2 0 < · · · < Tn22}, dove T01= T02 ≥ 0, T1 n1 = T 2 n2, e T 1⊆T2. T1
0 = T02 è chiamata data d’inizio, Tn11 = T
2
n2 data
di scadenza del basis swap e i primi pagamenti avvengono a T11 e T12, rispettivamente. Il valore al tempo t ≤ T01= T02, è dato da
πBSt (T1,T2) = n1 X i=1 δi1B(t, Ti1)EQT 1i [L(Ti−11 ; Ti−11 , Ti1) | Ft] − n2 X j=1 δ2jB(t, Tj2)EQT 2j[L(T2 j−1; Tj−12 , Tj2) | Ft] (2.11) Dd cui ricaviamo πtBS(T1,T2) = n1 X i=1 δ1iB(t, Ti1)L(t; Ti−11 , Ti1) − n2 X j=1 δ2jB(t, Tj2)L(t; Tj−12 , Tj2) (2.12) dove L(t; Tk−1x , Tkx) è dato da (2.2) per ogni tenor structureTx, x = 1, 2 e k = 1, · · · , nx.
Osservazione 2.4. Il prezzo di un basis swap al tempo t ≤ T01 = T02, nell’assetto precrisi, era nullo. Per dimostrarlo ricordiamo innanzitutto che in questa configurazione, i tassi Libor forward hanno una forma ben precisa: utilizzando la (2.2) e (2.3) otteniamo
L(t; T, T + ∆) = 1 ∆
B(t, T )
B(t, T + ∆)− 1
Inoltre i processi (L(t; T, T + ∆))0≤t≤T sono martingale sotto la corrispondente misura
forward. Dunque, abbiamo
πtBS(T1,T2) = n1 X i=1 δ1iB(t, Ti1)EQT 1i [L(Ti−11 ; Ti−11 , Ti1) | Ft] − n2 X j=1 δi2B(t, Ti2)EQ T 2 j [L(Ti−12 ; Ti−12 , Ti2) | Ft] = n1 X i=1 δ1iB(t, Ti1)L(t; Ti−11 , Ti1) − n2 X j=1 δ2jB(t, Tj2)L(t; Tj−12 , Tj2) = (B(t, T01) − B(t, Tn1)) − (B(t, T02) − B(t, Tn2 2)) = 0
grazie all’assuzione che T01= T02 e Tn11 = Tn22.
A seguito di quest’ultima osservazione, dopo la crisi dei mercati dobbiamo aggiungere un basis swap spread positivo ai pagamenti con il tenor più piccolo. Più precisamente, richiamando la gamba con il tenor più piccolo (quella con la tenor structureT2), il tasso di interesse variabile L(Tj−12 ; Tj−12 , Tj2) è sostituito con L(Tj−12 ; Tj−12 , Tj2) + S per ogni j = 1, . . . , n2 dove S è il basis swap spread(vedi Figura 2.2). Il valore del basis swap con
l’aggiunta dello spread è denotato con πtBS+S ed è dato da un’espressione analoga alla (2.12), dove nella (2.11) è stata fatta la sostituzione descritta pocanzi. Il valore equo del basis swap spread StBS al tempo t quando lo swap è contratto è lo spread S che rende il valore dello swap uguale a 0, cioè la soluzione del equazione πBS+St = 0, ed è dato da
StBS(T1,T2) = Pn1 i=1δ1iB(t, Ti1)L(t; Ti−11 , Ti1) − Pn2 j=1δj2B(t, Tj2)L(t; Tj−12 , Tj2) Pn2 j=1δ2jB(t, Tj2) (2.13)
Osservazione 2.5. Il prezzo di un basis swap πtBS con tenor structureT1 e T2 può essere espresso come differenza di prezzi di due IRS dove condividono la stessa tenor structure T3 per i pagamenti a tasso fisso e il tasso fisso R e, inoltre, i pagamenti a tassi variabili sono fatti rispettivamente nelle tenor structureT1 e T2 del basis swap. Più precisamente, abbiamo
πtBS(T1,T2) = πtIRS(T1,T3, R) − πIRSt (T2,T2, R) (2.14) dove πtIRS(T1,T3, R) e πIRSt (T2,T2, R) sono definiti nell’osservazione (2.2).
Osservazione 2.6. Seguendo la rappresentazione in (2.14), potremmo seguire una
convenzione analoga riguardo il basis swap spread definendo
StBS(T1,T2) = RIRSt (T1,T3) − RIRSt (T2,T3), dove Rt(Ti,T3), i = 1, 2, sono i tassi swap definiti nell’osservazione (2.2)
Figura 2.2: Evoluzione dal 2005 al 2019 del Basis swap spread 3Mvs6M. Come detto nell’introduzione, nel periodo precrisi era molto vicina allo 0 e coerente con la teoria classica. La figura è stata presa dalla piattaforma Bloomberg .R
2.2
Derivati opzionali
I derivati su tassi di interesse non lineari più comuni sono swaption, cap e floor. Tutti questi derivati sono di natura opzionale, pertanto li chiamiamo derivati opzionali. I caps (floors) consistono in una serie di opzioni call (put) su un tasso di interesse variabile e le swaption sono opzioni che consentono di entrare in un contratto IRS, OIS o BS descritti precedentemente.
SWAPTION
Definizione 2.9. Una swaption è un derivato opzionale che attribuisce al compratore
la facoltà di entrare in un contratto swap (visto pocanzi). Quest’ultimo è pertanto il sottostante della swaption stessa. Esistono due tipi swaption:
• payer, dove il compratore ha la possibilità di entrare in un contratto swap in cui paga un tasso fisso R e riceve quello variabile
• receiver, dove il compratore ha la possibilità di entrare in un contratto swap in cui paga il tasso variabile e riceve quello fisso R
Il tasso fisso R viene chiamato tasso strike e la data T ≤ T0, con T0 data di sottoscrizione
Consideriamo un payer IRS con tasso variabile il tasso LIBOR e con tasso fisso un tasso R. Supponiamo che la maturità della swaption coincida con la data di partenza dello swap, cioè T = T0. Dunque, il payoff della swaption alla maturità è dato da (πIRST
0 (T , R))
+. Il valore al tempo t ≤ T
0 della swaption è dato da πSwnt (T , R) = B(t, T0)ET0 πIRST0 (T , R)+ Ft = B(t, T0)ET0 n X k=1 δkB(T0, Tk)L(T0; Tk−1, Tk) − R n X k=1 δkB(T0, Tk) !+ Ft (2.15) = B(t, T0)ET0 " n X k=1 δkB(T0, Tk)(RT0(T ) − R) + Ft # = B(t, T0) n X k=1 δkEQT0 h B(T0, Tk)(RT0(T ) − R) + Ft i
La seconda uguaglianza segue dalla (2.1)e la terza dalla (2.5) dove RIRST
0 (T ) è il tasso
swap del sottostante IRS al tempo T0.
Per prezzare una swaption è conveniente introdurre il processo At:=
n
X
k=1
δkB(t, Tk), t ≤ T1
Dato che At è una combinazione lineare di prezzi di ZCB, il processo At
B(t,T0)
t≤T0
è una martingala (positiva) rispetto alla misura forward QT0. Dunque, (A
t)t≤T0 può essere
usata come numerario per definire il cambio di misura dQswap dQT0 Ft = At B(t, T0) B(0, T0) A0 (2.16) Cambiando la misura nella misura swap appena introdotta nella (2.15), il prezzo del-la swaption può essere espresso come il prezzo di una opzione call con strike R con "sottostante" RIRST 0 (T ): πSwnt (T , R) = AtEQswap RIRST0 (T ) − R+ Ft
Osservazione 2.7. Sotto le stesse ipotesi precedenti, ma considerando un OIS anzicchè
un IRS, il prezzo di una swaption al tempo T è dato da πtSwn(T , R) = B(t, T0)ET0 πTOIS0 (T , R)+ Ft = B(t, T0)ET0 1 − n X k=1 ckB(T0, Tk) !+ Ft
dove ck= Rδk, per k = 1, . . . , n − 1, e cn= 1 + Rδn.
Tale espressione può essere resa simile alla (2.15): πtSwn(T , R) = B(t, T0) n X k=1 δkEQT0 B(T0, Tk) ROIST0 (T ) − R+ Ft CAP E FLOOR
I cap e floor sono dei derivati finanziari opzionali definiti su una prespecificata tenor structure discreta. Il compratore di un cap ha il diritto di ricevere dal venditore, per un certo periodo di tempo e in date prefissate, un importo pari al prodotto tra la parte positiva della differenza tra un tasso variabile (ad esempio il tasso LIBOR con un tenor prefissato) e il tasso fissato dal contratto R (tasso strike), un capitale nozionale pari ad un’unità di valuta e la lunghezza del periodo di riferimento espressa nella medesima base dei tassi. La definizione di un floor è simile a quella di un cap: in un floor anzicchè considerare la differenza tra il tasso variabile e il tasso fisso, si considera la differenza tra il tasso fisso e il tasso variabile.
Ogni cap (rispettivamente floor) può essere scomposto in una serie di opzioni che si applicano a ogni sotto-periodo, che sono chiamati caplets (rispettivamente floorlets). Di seguito ci concentreremo sulla definizione di un singolo caplet e di un singolo floorlet con tasso variabile LIBOR.
Definizione 2.10. Un caplet con tasso strike R, data di sottoscrizione T e maturità T + ∆, con ∆ > 0, su un nominale di un’unità di valuta è un contratto finanziario che dà al possessore il diritto ad un payoff alla scadenza dato da ∆(L(T ; T, T + ∆) − R)+, dove L(T ; T, T + ∆) è il tasso LIBOR spot fissato all’istante T per l’intervallo di tempo [T, T + ∆].
Definizione 2.11. Un floorlet con tasso strike R, data di sottoscrizione T e maturità
T + ∆, con ∆ > 0, su un nominale di un’unità di valuta è un contratto finanziario che dà al possessore il diritto ad un payoff alla scadenza dato da ∆(R − L(T ; T, T + ∆))+, dove L(T ; T, T + ∆) è il tasso LIBOR spot fissato all’istante T per l’intervallo di tempo [T, T + ∆].
Osserviamo che il caplet (rispettivamente un floorlet) può essere visto come un’opzione call (rispettivamente put) con maturità T + ∆ e strike R sul tasso Libor, dove il tasso Libor è noto già all’istante T . Il prezzo al tempo t, per t ≤ T , di un caplet è dato da
πtCaplet(T, T + ∆, R) := ∆B(t, T + ∆)EQT +∆h(L(T ; T, T + ∆) − R)+ Ft
i
,
invece, il prezzo al tempo t, per t ≤ T , di un floorlet è dato da
πFloorlett (T, T + ∆, R) := ∆B(t, T + ∆)EQT +∆h(R − L(T ; T, T + ∆))+ Ft
2.3
Necessità di un nuovo modello
Consideriamo una controparte A esposta ad un flusso di pagamenti futuri con date {0 = T0 < T1, . . . , Tn} con tenor un giorno (δi = ∆1g per ogni i) per tre mesi (Tn = 3
mesi). Supponiamo che A scambi il flusso di pagamenti con solo un pagamento che avviene a Tn. Se supponiamo che la relazione classica di non arbitraggio per il tasso LIBOR sia vera, abbiamo che il tasso offerto alla pari, dato dalla formula (2.10), è
ROISt (T1g,T3m) = B(0, T0) − B(t, Tn) ∆3mB(0, Tn) = 1 ∆3m 1 B(0, Tn) − 1
L’ultima espressione, nel modello classico ad una singola curva, è il tasso 3m-LIBOR fissato al tempo 0. Dunque, il tasso alla pari dello swap è uguale la tasso LIBOR con tenor 3 mesi. La Figura (1) presentata nell’introduzione mostra in alto la quotazione giornaliera del tasso EURIBOR a tre mesi e del tasso swap OIS con la stessa maturità, ed in basso lo spread giornaliero tra i due tassi.
La figura mostra chiaramente come gli indici erano quasi uguali prima del 2009, con spread molto vicino a 0, ma dopo la crisi finanziaria lo spread non poteva più essere trascurabile. Dato che la gamba variabile paga un tasso di interesse variabile con tenor 1 giorno, che può essere considerato come il tasso senza rischio, non ha senso considerare il tasso LIBOR come tasso fisso, perché pagheremmo un tasso con rischio e venderemmo un tasso senza rischio. Dunque, il contratto non sarebbe alla pari. Quindi il tasso offerto non può più essere il LIBOR, ma un tasso riskfree per la maturità di tre mesi. Ciò spiega l’inizio dell’aumento dello spread osservato. Questo è un esempio di inconsistenza della relazione classica di non arbitraggio.
Dato che i tassi LIBOR non possono più essere ottenuti dalla relazione classica di non arbitraggio, possono essere modellizzati come processi differenti ed è possibile scegliere una dinamica per ognuno di loro. Questo è quello che fa la teoria dei modelli multicurve. Dunque, a tempo 0, per ogni tasso LIBOR L(t; T, T + ∆) deve essere nota la quantità L(0; T, T + ∆) per ogni scadenza T . Di conseguenza, al tempo 0, può essere costruita la famiglia di curve T ! L(0; T, T + ∆), una per ogni tenor ∆. Questo spiega del perché del nome modello multicurve.
Vediamo ora in dettaglio le procedure principali per costruire le curve.
2.4
La tecnica del Bootstrap
La tecninca del Bootstrap è un metodo per costruire una curva dei tassi dai prezzi di un insieme di strumenti finanziari collegati a questi tassi. Generalmente, le curve che necessitiamo di bootstrappare nel modello che presenteremo sono del tipo
T ! B(0, T ) T ! F (0; T, T + ∆).
La prima è chiamata curva zero-coupon e la seconda è una famiglia di curve denominata curve forward, una per ogni tenor ∆ che compare nel modello. Adesso, per ogni curva, spiegheremo gli strumenti e le procedure necessarie per il bootstrap.
LA CURVA ZERO-COUPON
La procedura che descriviamo per bootstrappare la curva zero-coupon necessita di un tasso EONIA fissato e di un insieme di prezzi degli OIS con T = T0 e ∆1d= τi= τi0
per ogni i = 1, . . . , n. Per il tasso EONIA possiamo supporre la comune relazione di non arbitraggio tra il tasso LIBOR e i prezzi del bond, siccome abbiamo supposto che il rischio del tasso EONIA è trascurabile. Questo significa che
EO(t; T + ∆1d) = 1 ∆1d B(t; T ) B(t; T + ∆1d) − 1 = ET[L(T ; T, T + ∆1d) | Ft] (2.17) quindi possiamo ricavare il primo valore della curva B(0, ∆1d) da un tasso EONIA fissato come
B(0, ∆1d) =
1
EO(0; 0, ∆1d)∆1d+ 1 .
Gli altri valori sono determinati con l’insieme dei prezzi degli OIS. Il tasso OIS al tempo 0 è
ROIS0 (T ) =
Pn
i=1B(0, Ti)ETi[L(Ti−1; Ti−1, Ti) | F0]
Pn
i=1B(0, Ti)
.
Usando nuovamente l’equazione (2.17), possiamo ottenere una formula per B(0, Tn) che
dipende dalle date precedenti: B(0, Tn) =
B(0, T0) − ROIS0 (T )∆1dPn−1i=1 B(0, Ti)
1 + ∆1dROIS0 (T )
.
Una volta calcolato un insieme di B(0, Ti) per sufficienti i, possiamo semplicemente interpolarli con una delle tecniche numeriche più comuni e ottenere, così, la curva zero-coupon.
LE CURVE FORWARD
Supponiamo di aver già bootstrappato la curva zero-coupon.
Vediamo come bootstrappare le altre. La procedura che illustreremo necessita dei seguenti strumenti:
• per ∆1m: EURIBOR ad 1 mese, IRS da uno a trent’anni con tasso annuale fissato
e tasso variabile EURIBOR 1 mese
• per ∆3m: EURIBOR a 3 mesi, FRA fino ad un anno, IRS da uno a trent’anni con tasso annuale fissato e tasso variabile EURIBOR 3 mesi
• per ∆6m: EURIBOR a 6 mesi, FRA fino ad un anno e mezzo, IRS da uno a trent’anni con tasso annuale fissato e tasso variabile EURIBOR 6 mesi
• per ∆1y: EURIBOR a 12 mesi, FRA da uno a due anni, basis-swap 6 vs 12 mesi
Vediamo come usare i tassi swap e i tassi FRA nel bootstrappare le curve con il tenor ∆. Supponiamo che gli swap si riferiscano ai dati in modo tale che τi = ∆ per ogni i e
τj0 = ∆0 per ogni j. La formula (2.6) al tempo t = 0 allora diventa RIRS0 (T1,T2) = ∆ Pn i=1B(0, Ti)F (0; Ti, Ti+ ∆) ∆0Pm j=1B(0, Tj0) .
Questo porta alla seguente formula per il tasso forward F (0; Tn, Tn+ ∆)
F (0; Tn, Tn+ ∆) = RIRS0 ∆0Pm j=1B(0, Tj0) − ∆ Pn−1 i=1 B(0, Ti)F (0; Ti, Ti+ ∆) B(0, Tn) (2.18) Questo mostra che il tasso forward F (0; Tn, Tn+ ∆) può essere calcolato a partire dai tassi
precedenti. Quindi possiamo usare il tasso FRA per i primi valori e poi i tassi swap per gli ultimi usando la formula (2.18). Una volta determinato un insieme di F (0; Ti, Ti+ ∆)
possiamo bootstrappare la curva forward con i metodi numerici. Una volta bootstrappata la curva forward a 6 mesi, possiamo bootstrappare la curva forward a 1 anno con i basis swap. Per i basis swap considerati abbiamo τi = ∆6mper ogni i e τj0 = ∆1y. La formula (2.13) diventa S0BS(T1,T2) =∆6m Pn i=1B(0, Ti)F (0; Ti, Ti+ ∆6m) ∆1yPm j=1B(0, Tj0) + − Pm j=1B(0, Tj0)F (0; Tj0, Tj0+ ∆1y) Pm j=1B(0, Tj0) e possiamo ottenere F (0; Tm, Tm+ ∆1y) = (R0IRS(T1,T2) − S0BS(T1,T2))Pm j=1B(0, Tj0) B(0, T0 m) + − Pm−1 j=1 B(0, T 0 j)F (0; Tj0, Tj0+ ∆1y) B(0, T0 m) . (2.19)
Osserviamo che, per le basis swap considerate, m è uguale a 1, quindi la formula (2.19) ci dà esplicitamente un’espressione per F (0; Tm, Tm+ ∆1y) che dipende solamente dalla
curva a 6 mesi e dalla curva zero-coupon. Di nuovo, una volta ottenuto un insieme di valori della curva, si procede con l’interpolazione.
Capitolo 3
Un nuovo modello per il tasso
short
In questo capitolo presenteremo un modello per il tasso short e prezzeremo un FRA con un tenor fissato ∆. Modellizzeremo direttamente il tasso short rt e lo spread st,
relativo al tenor ∆, tra il tasso con rischio e il tasso short, sotto la misura martingala Q con numerario il bond con tasso short. Il tasso rt+ st, rischioso, è un tasso fittizio, non osservabile sul mercato. Partendo da questi due tassi, possiamo definire i corrispettivi bond: il bond senza rischio e il bond rischioso:
B(t, T ) = Ehe− ´T t rudu Ft i , B(t, T ) = E¯ he− ´T t (ru+su)du Ft i . (3.1)
Nel modello classico, i tassi LIBOR possono essere visti come tassi privi di rischio, e dunque i bond associati sono i bond privi di rischio. Invece, in una struttura multi-curve, sono modellati come tassi con rischio. Dunque la definizione di tasso LIBOR cambia rispetto quella data in precedenza, e diventa
L(T ; T, T + ∆) = 1 ∆ 1 ¯ B(T, T + ∆)− 1 ! (3.2) Per tener conto di una possibile correlazione (anche negativa) tra rte st, introduciamo un modello a fattori: dati tre processi indipendenti Ψ1,t, Ψ1,t, Ψ3,t, definiamo rte stcome
segue:
(
rt= Ψ1,t+ Ψ2,t st= kΨ1,t+ Ψ3,t
(3.3) ove k è una costante positiva. Questa impostazione può essere generalizzata in vari modi, in particolare usando più fattori che guidano st, oppure considerando un insieme di tenor, e in quel caso avremo tanti s∆t per ogni tenor. Consideriamo le seguenti dinamiche per i processi introdotti nel sistema precedente sotto la misura neutrale a rischio:
dΨ1,t = (a1− b1Ψ1,t)dt + σ1dW1,t, dΨ2,t = (a2− b2Ψ2,t)dt + σ2pΨ2,tdW2,t, dΨ3,t = (a3− b3Ψ3,t)dt + σ3 p Ψ3,tdW3,t, (3.4)
ove ai, bi, σi, per ogni i = 1, 2, 3, sono costanti positive con a2 ≥ σ
2 2
2 , a3 ≥
σ23
2 e Wi,t
sono processi browniani indipendenti, per ogni i = 1, 2, 3. Il primo processo è un processo di Vasicek, mentre gli altri due sono processi CIR.
Prima di procedere con il pricing di un FRA, richiamiamo qualche risultato che ci sarà utile.
Lemma 3.1. Sia Ψ un processo di Vasicek
dΨt= (a − bΨt)dt + dWt.
Allora, per ogni γ, K ∈ R, vale la seguente:
E ( exp " − ˆ T t γΨudu − KΨT # Ft ) = exp[α(t, T ) − β(t, T )ΨT]
ove i coefficienti soddisfano
(∂ ∂tβ(t, T ) − bβ(t, T ) + γ = 0, β(T, T ) = K ∂ ∂tα(t, T ) = aβ(t, T ) − σ2 2 β2(t, T ), α(T, T ) = 0
e sono dati da:
β(t, T ) = −γ b −bK γ + 1 e−b(T −t)− 1 = Ke−b(T −t)− γ b e−b(T −t)− 1 α(t, T ) = −a´tT β(s, T )ds +σ22 ´tT(β(s, T ))2ds
Lemma 3.2. Sia Ψ un processo CIR
dΨt= (a − bΨt)dt + σ
p
ΨtdWt.
Per ogni T > 0 definiamo l’insieme:
IT := {u ∈ R : E
h
euΨTi< ∞}
cioè l’insieme degli u ∈ R tale per cui la funzione generatrice dei momenti di ΨT è ben
definita. Allora per ogni γ > 0 e ogni K ∈ R tale per cui −K ∈ IT, abbiamo:
E ( exp " − ˆ T t γΨudu − KΨT # Ft ) = exp[α(t, T ) − β(t, T )ΨT]
ove i coefficienti soddisfano β(t, T ) = K(h+b+e h(T −t)(h−b))+2γ(eh(T −t)−1) Kσ2(eh(T −t)−1)+h−b+eh(T −t)(h+b) , dove h := p b2+ 2γσ2 α(t, T ) = −a´tT β(s, T )ds = σ2a2 log 2he
(T −t)(h+b) 2
Kσ2(eh(t−t)−1)+h−n+eh(T −t)(h+b)
!
Utilizzando i Lemmi (3.1) e (3.2) con γ = 1 e K = 0 abbiamo che il bond senza rischio (OIS-bond) può essere riscritto nel modo seguente:
B(t, T ) = Ehe−´tTrudu
Ft
i
= Ehe−´tT(Ψ1,u+Ψ2,u)du
Ft i = exp [α(t, T ) − β1(t, T )Ψ1,t− β2(t, T )Ψ2,t] (3.5)
ove α(t, T ) = α1(t, T ) + α2(t, T ) per ogni T ≥ 0 e t ≤ T . Inoltre segue, sempre dal Lemma (3.1) che β1(t, T ) = − 1 b1 e−b1(T −t)− 1 (3.6)
Parallelamente, per il prezzo del bond fittizio rischioso abbiamo
¯ B(t, T ) = Ehe− ´T t (ru+su)du Ft i
= Ehe−´tT((k+1)Ψ1,u+Ψ2,u+Ψ3,u)du
Ft i = exphα(t, T ) − ¯¯ β1(t, T )Ψ1,t− ¯β2(t, T )Ψ2,t− ¯β3(t, T )Ψ3,t i
ove, analogamente a α(t, T ), β1(t, T ), β2(t, T ), le funzioni ¯α(t, T ), ¯β1(t, T ), ¯β2(t, T ) e
¯
β3(t, T ) sono determinate in accordo ai Lemmi (3.1) e (3.2) con ¯α(t, T ) = ¯α1(t, T ) +
¯
α2(t, T ) + ¯α3(t, T ). In particolare, segue sempre dal Lemma (3.1) che
¯ β1(t, T ) = − k + 1 b1 e−b1(T −t)− 1= (1 + k)β 1(t, T ), (3.7)
mentre ¯β2(t, T ) = β2(t, T ). La relazione lineare tra β1(t, T ) e ¯β1(t, T ) sarà di grande
importanza più avanti per ricavare i prezzi dei derivati. Per questo motivo abbiamo postulato un modello di tipo Vasicek per il fattore in comune tra il tasso short e lo spread e per i fattori idiosincratici abbiamo scelto di seguire un modello CIR. Utilizzando questa relazione lineare il prezzo del bond fittizio può essere riscritto come
¯
B(t, T ) = B(t, T ) exphα(t, T ) − k ¯˜ β1(t, T )Ψ1,tk − ¯β3(t, T )Ψ3,t
i
(3.8) con ˜α := ¯α(t, T ) − α(t, T ).
3.1
Princing di un FRA
Richiamiamo l’espressione di un prezzo di un FRA sotto la misura forward vista già in precedenza nel Capitolo 2:
πFRAt (T, T + ∆, R) = ∆B(t, T + ∆)ET +∆[L(T ; T, T + ∆) − R|Ft] . Utilizzando la nuova Definizione (3.2) del tasso LIBOR,
πF RAt (T, T + ∆, R) = ∆B(t, T + ∆)ET +∆ " 1 ¯ B(t, T + ∆)− (1 + ∆R) Ft # ,
si ricava che l’unica parte da calcolare è ¯ νt,T := ET +∆ " 1 ¯ B(T, T + ∆) Ft # (3.9) Considerando un cambio di numerario dalla misura forward QT +∆alla misura neutrale a rischio Q, e il corrispettivo processo di densità
Lt= B(t, T + ∆) B(0, T + ∆)Bt , possiamo scrivere ¯ νt,T = ET +∆ " 1 ¯ B(T, T + ∆) Ft # = L−1t EQ " LT ¯ B(T, T + ∆) Ft # = 1 B(t, T + ∆)E Q ( exp " − ˆ T t rudu # B(T, T + ∆) ¯ B(T, T + ∆) Ft ) (3.10) Utilizzando la relazione tra il bond fittizio e il bond OIS descritta in (3.8) otteniamo
¯ νt,T = 1 B(t, T + ∆) · EQ ( exp " − ˆ T t rudu − ˜α(T, T + ∆) + kβ1(T, T + ∆)Ψ1,T+ ¯β(T, T + ∆)Ψ3,T # Ft ) = 1 B(t, T + ∆)exp [− ˜α(T, T + ∆)] E Q expβ¯3(T, T + ∆)Ψ3,T Ft · EQ " exp " − ˆ T t
(Ψ1,u+ Ψ2,u)du
# exp " kβ1(T, T + ∆)Ψ1,T # Ft # (3.11)
Osservazione 3.1. Ponendo il prezzo uguale a 0, ricaviamo che il tasso FRA è
¯
RFRAt (T, T + ∆) = 1
∆(¯νt,T − 1).
Definiamo ora νt,T := ET +∆ 1 B(T, T + ∆) Ft = B(t, T ) B(t, T + ∆) (3.12)
l’analoga quantità di ¯νt,T nel caso singola curva, dove la seconda uguaglianza segue dal
fatto che B(·,T +∆)B(·,T ) è una martingala sotto la misura (T + ∆)-forward.
Osservazione 3.2. Come nell’osservazione precedente, ponendo il prezzo uguale a 0,
ricaviamo che il tasso FRA, nel caso monocurva è: RFRAt (T, T + ∆) = 1 ∆(νt,T− 1) = 1 ∆ B(t, T ) B(t, T + ∆)− 1 .
Ricordiamo che i prezzi degli OIS bond sono considerati osservabili, contrariamente a quelli dei bond fittizi e di conseguenza, per calcolare Rt non necessitiamo di nessun modello, a differenza di ¯Rt. Inoltre, prima della crisi la differenza tra gli ZCB e gli OIS
bond era trascurabile. Dunque, ora, vorremmo trovare un fattore di aggiustamento che metta in relazione ¯νt,T con νt,T. Il risultato principale del pricing di un FRA la seguente
proposizione.
Proposizione 3.3. Vale la relazione
¯
νt,T = νt,T · AdT,∆t · Res T ,∆
t (3.13)
dove chiamiamo "fattore di aggiustamento" il secondo fattore a destra dato da AdT ,∆t := EQ " B(T, T + ∆) ¯ B(T, T + ∆) Ft # = e− ˜α(T,T +∆)EQhekβ1(T ,T +∆)Ψ1,T+ ¯β3(T,T +∆)Ψ3,T Ft i (3.14)
e "fattore residuo" l’ultimo fattore a destra dato da ResT ,∆t = exp " −k(σ1) 2 2(b1)3 1 − e−b1∆ 1 − e−b1(T −t)2 # (3.15) Il fattore residuo è pari a 1 nel caso in cui la correlazione k tra il tasso short e lo spread sia nulla.
Osservazione 3.3. Osserviamo che, nel caso in cui tutti e tre i fattori soddisfino un
modello di Vasicek, il fattore di aggiustamento può essere calcolato come un’attesa incondizionata. Abbiamo, infatti, da (3.14) e dall’indipendenza dei fattori,
AdT ,∆t = e− ˜α(T ,T +∆)EQ[exp(kβ1(T, T + ∆)Ψ1,T) | Ft] EQ h exp( ¯β3(T, T + ∆)Ψ3,T) | Ft i = e− ˜α(T ,T +∆)EQ[exp(kβ1(T, T + ∆)(Ψ1,T − Ψ1,t)) exp(kβ1(T, T + ∆)Ψ1,t) | Ft] · EQhexp( ¯β3(T, T + ∆)(Ψ3,T − Ψ3,t)) exp( ¯β3(T, T + ∆)Ψ3,t) | Ft i = e− ˜α(T ,T +∆)exp(kβ1(T, T + ∆)Ψ1,t+ ¯β3(T, T + ∆)Ψ3,t) · EQhexp(kβ 1(T, T + ∆)(Ψ1,T − Ψ1,t) + ¯β3(T, T + ∆)(Ψ3,T − Ψ3,t)) | Ft i (3.16)
Sia Zj,s:= Ψj,s− Ψj,t per ogni s ≥ t e j = 1, 3. Allora Zj,t= 0 e abbiamo dZj,s= dΨj,s= (aj− bjZj,s− bjΨj,t)dt + σjdWj,s quindi Zj,s= e−bjs aj bj (ebjs− ebjt) − Ψ j,t(ebjs− ebjt) + σj ˆ s t ebjudW j,u ! = Vj,s− Ψj,t(1 − e−bj(s−t)) dove Vj,s:= abjj(1 − e−bj(s−t)) + σje−bjs ´s t e bjudW
j,uè indipendente da Ft. Di conseguenza
AdT ,∆t =e− ˜α(T ,T +∆)e(kβ1(T ,T +∆)Ψ1,t+ ¯β3(T,T +∆)Ψ3,t) · e(−kβ1(T ,T +∆)(1−e−b1(T −t))Ψ1,t) EQ h ekβ1(T ,T +∆)V1,Ti · e(− ¯β3(T ,T +∆)(1−e−b3(T −t))Ψ3,t) EQ h eβ¯3(T ,T +∆)V3,Ti. (3.17)
Ora dimostriamo la Proposizione (3.3). Dimostrazione. Ricordiamo dalla (3.11) che
¯ νt,T = 1 B(t, T + ∆)exp [− ˜α(T, T + ∆)] E Qh eβ¯3(T ,T +∆)Ψ3,T Ft i · EQhe−´tTΨ2,udu Ft i EQ h e−´tTΨ1,udu+kβ1(T ,T +∆)Ψ1,T Ft i (3.18)
Osserviamo che, per il modello che stiamo usando, la quantità EQheβ¯3(T,T +∆)Ψ3,T
Ft
i
è finita perché ¯β3(T, T + ∆) ∈ FT. Dal Lemma (3.1), con K = −kβ1(T, T + ∆) e γ = 1,
abbiamo β1(t, T ) = − 1 b1 e−b1(T −t)− 1.
