ultima modifica 14/10/2014
I SISTEMI LINEARI
ESERCIZI SVOLTI
SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
Il metodo di confronto
Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare:
Risolvo. Isoliamo una stessa variabile in entrambe le equazioni, in questo caso la y:
−
=
= − x y
y x
8 3
2 3 2
Uguagliando le due espressioni di destra di entrambe le equazioni si ha:
2 3 4
2 3 8 13
x x x
− = − ⇒ = .
Sostituendo questo risultato in una delle due equazioni (conviene scegliere la più semplice, in questo caso la seconda) otteniamo:
4 13
4 7
3 8 13 13
x
y
=
= − ⋅ =
In definitiva 4 7 13 13; S = .
Esercizio 2. Risolvere il seguente sistema lineare:
= +
−
− = 3 7
2 4 2
2 4
y x
y x x
Risolvo. Eliminiamo i denominatori dalla prima equazione:
3 2 2
8 3
x y
x y
+ =
− − = −
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I SISTEMI LINEARI
= +
−
=
−
⇒ −
= +
−
=
⇒ −
= +
= −
−
3 7
8 2 4 3
7
8 8 2 4 3
7
4 8 8 4
2 4
y x
y x y
x
x y x y
x
x y x
Dividendo per (-2) i coefficienti di entrambi i membri della prima equazione si ha:
= +
= +
3 7
4 2
y x
y
x
Ora che il sistema è ridotto a forma normale ricaviamo la x da entrambe le equazioni:
−
=
= − y x
x y
7 3
2 4
.
Uguagliando le due espressioni di destra di entrambe le equazioni si ha:
4 3 7 2
2 13
y y y
− = − ⇒ = .
Sostituiamo questo risultato nella seconda equazione e ricaviamo x:
2 2 13 13
2 25
3 7 3 7
13 13 y y
x y x
= =
⇒
= − = − ⋅ =
Pertanto 25 2 13 13; S = .
Esercizio 3. Risolvere il seguente sistema lineare:
−
= +
−
=
− 6 5
3 4
y x
x y
x
Risolvo. Dopo aver ridotto il sistema a forma normale:
−
= +
=
−
6 5
3 5
y x
y x
isoliamo la y in entrambe le equazioni:
−
−
=
−
=
6 5
3 5
x y
x y
sostituiamo la seconda equazione con quella ottenuta uguagliando i due membri di destra delle equazioni:
5 3
5 3 5 6
y x
x x
= −
− = − −
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I SISTEMI LINEARI
e ricaviamo la x
5 3 3 10
y x
x
= −
= −
Sostituendo nella prima equazione il risultato ottenuto per x troviamo:
2 3 9 10
5 3 − =−
−
⋅
=
y .
In definitiva: 3 9 10; 2 S =− −
.
Esercizio 4. Risolvere il seguente sistema lineare:
− =
− +
= −
x x y
y x
2 2 1 3
4 4
4 2 3
Risolvo. Isoliamo la y dalla seconda equazione:
( ) ( )
= +
= −
⇒
=
− +
−
= −
⇒
− = +
−
= −
8 5 12
4 2 3
6 6 3 8 8
4 2 3
6 6 6
2 1 3 4 4 2
4 2 3
y x y x
x x y
y x x
x y
y x
sostituiamo una delle due equazioni (conviene optare per la seconda) con quella ottenuta uguagliando
i due membri di destra delle equazioni:
3 2
4
3 2 12 5
4 8
y x
x x
= −
− +
=
Dalla seconda equazione si ricava
2
−3
=
x . Per ricavare il valore di y basta sostituire tale valore nella
prima:
8 13 4
2 2 3 3
−
=
−
−
⋅
=
y .
Pertanto: 3 13 2; 8 S =− −
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