Sistemi lineari 2 equazioni e 2 incognite

(1)

Esercizi di Algebra Lineare

Caatteristica e teorema di Rouch´e-Capelli

Anna M. Bigatti 10 dicembre 2012

Mi aspetto che il sistema.. ..abbia...

(a_1,1x + a_1,2y = b₁ a2,1x + a2,2y = b2

una unica soluzione







a1,1x + a1,2y = b1

a_2,1x + a_2,2y = b₂ a3,1x + a3,2y = b3

nessuna soluzione

(a1,1x + a1,2y + a1,3z = b1

a_2,1x + a_2,2y + a_2,3z = b₂ infinite (precisamente ∞¹) soluzioni

Vediamo in pratica quali casi possono verificarsi: consideriamo i sistemi lineari associati al- le seguenti matrici complete. Con qualche passo di riduzione Gaussiana otteniamo sistemi equivalenti di cui calcoliamo esplicitamente le soluzioni.

Sistemi lineari 2 equazioni e 2 incognite

R ::= QQ[a,b,c];

K := NewFractionField(R);

Use K;

I := IdentityMat(K,2);

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 1] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;

E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;

-- [[1, 0, -1], -- [0, -2, -2]]

----> unica soluzione Sol := ColMat(K, [-1,1]);

A := submat(C, [1,2], [1,2]); B := submat(C, [1,2], [3]);

A*Sol = B; --> true

1

(2)

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 1] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;

E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;

-- [[1, 0, -1], -- [0, 0, -1]]

----> nessuna soluzione

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 2] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;

-- [[1, 2, 1], -- [0, 0, 0]]

----> infinito^1 soluzioni Sol := ColMat(K, [1-2*a, a]);

A := submat(C, [1,2], [1,2]); B := submat(C, [1,2], [3]);

A*Sol = B; --> true

Interpretazione geometrica: nel piano reale intersezione, rispettivamente, di due rette incidenti in un punto,

di due rette diverse parallele, di due rette coincidenti.

Applicazione del Teorema di Rouch´e-Capelli:

nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ una soluzione, nel secondo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 1 =⇒ ∞^n−rk(A)= ∞¹ soluzioni.

Sistemi lineari 3 equazioni e 2 incognite

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 1], [ 4, 5, 1] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;

E2 := Eso(I, 3,1, -4); E2*E1*C;

-- [[1, 2, 1], -- [0, -2, -2], -- [0, -3, -3]]

----> unica soluzione Sol := ColMat(K, [-1,1]);

A := submat(C, [1,2,3], [1,2]); B := submat(C, [1,2,3], [3]);

A*Sol = B; --> true

2

(3)

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 2], [ 4, 5, 3] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;

E2 := Eso(I, 3,1, -4); E2*E1*C;

-- [[1, 2, 1], -- [0, -2, -1], -- [0, -3, -1]]

C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 2], [ 3, 6, 3] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;

E2 := Eso(I, 3,1, -3); E2*E1*C;

-- [[1, 2, 1], -- [0, 0, 0], -- [0, 0, 0]]

----> infinito^1 soluzioni Sol := ColMat(K, [1-2*b, b]);

A := submat(C, [1,2,3], [1,2]); B := submat(C, [1,2,3], [3]);

A*Sol = B; --> true

Interpretazione geometrica: nel piano reale intersezione, rispettivamente, di tre rette incidenti in un punto,

di tre rette non incidenti, di tre rette coincidenti.

nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ una soluzione, nel secondo rk(A) = 2 e rk(C) = 3 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 1 =⇒ ∞^n−rk(A)= ∞¹ soluzioni.

Sistemi lineari 2 equazioni e 3 incognite

C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 3, 4, 2, 1] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;

E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;

-- [[1, 0, 4, -1], -- [0, -2, 5, -2]]

----> infinito^1 soluzioni

Sol := ColMat(K, [-1-4*a, 1+(5/2)*a, a]);

A := submat(C, [1,2], [1,2,3]); B := submat(C, [1,2], [4]);

3

(4)

A*Sol = B; --> true

C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 2, 4, -2, 1] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;

-- [[1, 2, -1, 1], -- [0, 0, 0, -1]]

C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 2, 4, -2, 2] ]);

E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;

-- [[1, 2, -1, 1], -- [0, 0, 0, 0]]

----> infinito^2 soluzioni

Sol := ColMat(K, [1+a-2*b, b, a]);

A := submat(C, [1,2], [1,2,3]); B := submat(C, [1,2], [4]);

A*Sol = B; --> true

Interpretazione geometrica: nello spazio reale intersezione, rispettivamente, di due piani incidenti in una retta,

di due diversi piani paralleli, di due piani coincidenti.

nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ ∞^n−rk(A)= ∞¹ soluzioni, nel secondo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ ∞^n−rk(A)= ∞¹ soluzioni.

Osservazione: Notiamo che non abbiamo il caso “unica soluzione”: infatti, per il Teorema di Rouché-Capelli, dovrei avere rk(A) = rk(C) = n = 3 , ma questo è impossibile perché A e C hanno solo due righe e quindi il rango è ≤ 2 .

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