Esercizi di Algebra Lineare
Caatteristica e teorema di Rouch´e-Capelli
Anna M. Bigatti 10 dicembre 2012
Mi aspetto che il sistema.. ..abbia...
(a1,1x + a1,2y = b1 a2,1x + a2,2y = b2
una unica soluzione
a1,1x + a1,2y = b1
a2,1x + a2,2y = b2 a3,1x + a3,2y = b3
nessuna soluzione
(a1,1x + a1,2y + a1,3z = b1
a2,1x + a2,2y + a2,3z = b2 infinite (precisamente ∞1) soluzioni
Vediamo in pratica quali casi possono verificarsi: consideriamo i sistemi lineari associati al- le seguenti matrici complete. Con qualche passo di riduzione Gaussiana otteniamo sistemi equivalenti di cui calcoliamo esplicitamente le soluzioni.
Sistemi lineari 2 equazioni e 2 incognite
R ::= QQ[a,b,c];
K := NewFractionField(R);
Use K;
I := IdentityMat(K,2);
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 1] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;
E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;
-- [[1, 0, -1], -- [0, -2, -2]]
----> unica soluzione Sol := ColMat(K, [-1,1]);
A := submat(C, [1,2], [1,2]); B := submat(C, [1,2], [3]);
A*Sol = B; --> true
1
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 1] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;
E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;
-- [[1, 0, -1], -- [0, 0, -1]]
----> nessuna soluzione
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 2] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;
-- [[1, 2, 1], -- [0, 0, 0]]
----> infinito^1 soluzioni Sol := ColMat(K, [1-2*a, a]);
A := submat(C, [1,2], [1,2]); B := submat(C, [1,2], [3]);
A*Sol = B; --> true
Interpretazione geometrica: nel piano reale intersezione, rispettivamente, di due rette incidenti in un punto,
di due rette diverse parallele, di due rette coincidenti.
Applicazione del Teorema di Rouch´e-Capelli:
nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ una soluzione, nel secondo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 1 =⇒ ∞n−rk(A)= ∞1 soluzioni.
Sistemi lineari 3 equazioni e 2 incognite
I := IdentityMat(K,3);
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 1], [ 4, 5, 1] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;
E2 := Eso(I, 3,1, -4); E2*E1*C;
-- [[1, 2, 1], -- [0, -2, -2], -- [0, -3, -3]]
----> unica soluzione Sol := ColMat(K, [-1,1]);
A := submat(C, [1,2,3], [1,2]); B := submat(C, [1,2,3], [3]);
A*Sol = B; --> true
2
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 3, 4, 2], [ 4, 5, 3] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;
E2 := Eso(I, 3,1, -4); E2*E1*C;
-- [[1, 2, 1], -- [0, -2, -1], -- [0, -3, -1]]
----> nessuna soluzione
C := Mat(K, [[ 1, 2, 1], [ 2, 4, 2], [ 3, 6, 3] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;
E2 := Eso(I, 3,1, -3); E2*E1*C;
-- [[1, 2, 1], -- [0, 0, 0], -- [0, 0, 0]]
----> infinito^1 soluzioni Sol := ColMat(K, [1-2*b, b]);
A := submat(C, [1,2,3], [1,2]); B := submat(C, [1,2,3], [3]);
A*Sol = B; --> true
Interpretazione geometrica: nel piano reale intersezione, rispettivamente, di tre rette incidenti in un punto,
di tre rette non incidenti, di tre rette coincidenti.
Applicazione del Teorema di Rouch´e-Capelli:
nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ una soluzione, nel secondo rk(A) = 2 e rk(C) = 3 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 1 =⇒ ∞n−rk(A)= ∞1 soluzioni.
Sistemi lineari 2 equazioni e 3 incognite
I := IdentityMat(K,2);
C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 3, 4, 2, 1] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -3); E1*C;
E2 := Eso(I, 1,2, +1); E2*E1*C;
-- [[1, 0, 4, -1], -- [0, -2, 5, -2]]
----> infinito^1 soluzioni
Sol := ColMat(K, [-1-4*a, 1+(5/2)*a, a]);
A := submat(C, [1,2], [1,2,3]); B := submat(C, [1,2], [4]);
3
A*Sol = B; --> true
C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 2, 4, -2, 1] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;
-- [[1, 2, -1, 1], -- [0, 0, 0, -1]]
----> nessuna soluzione
C := Mat(K, [[ 1, 2, -1, 1], [ 2, 4, -2, 2] ]);
E1 := Eso(I, 2,1, -2); E1*C;
-- [[1, 2, -1, 1], -- [0, 0, 0, 0]]
----> infinito^2 soluzioni
Sol := ColMat(K, [1+a-2*b, b, a]);
A := submat(C, [1,2], [1,2,3]); B := submat(C, [1,2], [4]);
A*Sol = B; --> true
Interpretazione geometrica: nello spazio reale intersezione, rispettivamente, di due piani incidenti in una retta,
di due diversi piani paralleli, di due piani coincidenti.
Applicazione del Teorema di Rouch´e-Capelli:
nel primo caso rk(A) = rk(C) = 2 =⇒ ∞n−rk(A)= ∞1 soluzioni, nel secondo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ nessuna soluzione, nel terzo rk(A) = 1 e rk(C) = 2 =⇒ ∞n−rk(A)= ∞1 soluzioni.
Osservazione: Notiamo che non abbiamo il caso “unica soluzione”: infatti, per il Teorema di Rouch´e-Capelli, dovrei avere rk(A) = rk(C) = n = 3 , ma questo `e impossibile perch´e A e C hanno solo due righe e quindi il rango `e ≤ 2 .
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