10. Applicazione: reattore cilindrico con diffusione radiale non isotermo
Si abbia una reazione chimica reversibile
d i
k
A
kB
Se si suppone che la diffusione molecolare avviene con diffusività uguale per le due specie, le equazioni
2
2
1 , ,
A A A A
A A B
C C C C
v S C C T
t r r r x
2
2
1 , ,
B B B B
A A B
C C C C
v S C C T
t r r r x
corrispondono al modello di un reattore non isotermo con diffusione radiale, dove S C C T
A
A,
B,
per reazioni del primo ordine può avere la forma di Arrhenius:
, ,
0 0
, ,
exp ; exp
A A B d A i B
a d a i
d d i i
S C C T k C k C
E E
k k k k
RT RT
Se si suppone inoltre per semplicità che le diffusività di materia e di energia sono uguali (numero di Lewis=1), l’equazione di bilancio dell’energia è
2
2
1
A A,
B,
p
T T T T H
v S C C T
t r r r x c
dove H è l’entalpia della reazione diretta. A queste equazioni saranno associate le opportune
condizioni al contorno ed iniziali. Se >0 e v >0 sono costanti, si può indicare la seguente tecnica
di discretizzazione:
r
x v
i,j i+1,j
i-1,j i,j-1
In figura a sinistra lo schema del problema, a destra lo "stencil" risultante dalla discretizzazione.
1 1 1 1 1 1
, , 1, , 1, 1, , , , 1 , 1 , 1 1
2 ,
,
2 1 ( , )
n n n n n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j n
n i j
i i j
u u u u u u u u u S u T
v u
t r r r x u
1 1 1 1 1 1
, , 1, , 1, 1, , , , 1 , 1 , 1 1
2 ,
,
2 1 ( , )
n n n n n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j n
n i j
i p i j
T T T T T T T T T H S u T
v u
t r r r x c u
Si noti per prima cosa che le incognite discretizzate sono organizzate come array a due indici, uno (i) che corre lungo r e l'altro (j) che corre lungo x. Inoltre, si noti che:
1. la derivata nel tempo è espressa nella forma consueta;
2. la derivata lungo x è espressa con la formula esplicita "backward", che garantisce l'"upwinding"
e troncamento nullo per v t 1
C x
;
3. il termine di generazione è espresso, nell’equazione di bilancio della specie, con lo schema linearizzato di Patankar, a valori positivi, per quanto riguarda la specie u , mentre nell’equazione di bilancio dell’energia esso viene valutato con gli stessi valori usati nell’equazione di bilancio della specie, per assicurare la coerenza stechiometrica; lo schema è solo apparentemente implicito nella u dato che, in una logica di risoluzione sequenziale delle equazioni (prima quella della specie, dopo quella dell’energia) il valore
,1n
u
i jè già noto allorquando si calcola la soluzione dell’equazione dell’energia;
4. la valutazione delle variabili di stato presenti nel termine di genenazione è fatta con riferimento
alla cella discretizzata di provenienza secondo il verso dell’“upwind”, e quindi i valori utilizzati
sono u
i jn, 1, T
i j,n1anziché u T
i jn,,
i j,n, il che è coerente con la scelta C 1 ;
5. le derivate lungo r sono espresse con schemi impliciti. Ciò consente di prescindere da limiti di stabilità calcolati per gli schemi lungo r e di rispettare senza problemi la condizione C=1.
Inoltre, si noti l'adozione ancora di uno schema "upwind" per la derivata prima lungo r. Upwind è un termine improprio in questo caso, poiché il coefficiente non rappresenta una velocità di trasporto, e per questo il termine si definisce “pseudo-convettivo”. Tuttavia le considerazioni fatte sul trattamento delle derivate prime valgono ugualmente. Per lo schema implicito, come si è detto, il troncamento non è mai nullo: tuttavia lungo r è presente un termine di derivata seconda, quindi errori di secondo ordine non alterano il carattere della soluzione.
Una discussione separata richiedono le condizioni al contorno. Per l’equazione di bilancio materiale, se il reattore è un tubo a parete impermeabile, la condizione al contorno r R si traduce in una condizione alla Neumann con derivata prima uguale a zero. L’equazione così come è scritta e cioè trascurando la diffusione assiale è del primo ordine in x e quindi richiede una sola condizione al contorno lungo la coordinata assiale, naturalmente all’ingresso del reattore. In corrispondenza della sezione di ingresso x 0 si immagina di conoscere il valore della concentrazione in ogni punto. Naturalmente, avendo assunto simmetria cilindrica per il problema, la condizione a x=0 dovrà necessariamente riflettere una condizione simmetrica rispetto alla rotazione intorno all’asse del cilindro. Si pone infine il problema di imporre una condizione in corrispondenza dell’asse del cilindro. Tale condizione non è una vera e propria condizione al contorno ma può essere imposta in base a considerazioni di simmetria o anche in considerazione del fatto che in corrispondenza della retta sull’asse non può esservi flusso entrante o uscente poiché non esiste un volume in cui accumulare o da cui prelevare. Quindi la condizione è ancora una volta alla Neumann (flusso=0).
La condizione al contorno r R si traduce in una equazione un po’ diversa per il nodo i M , in quanto il valore in corrispondenza del nodo fittizio i M 1 si ricava dalla condizione di flusso nullo. La derivata prima si esprime in analogia con il termine pseudo convettivo con una formula forward:
1 1
1, , 1 1
1, ,
2 0
n n
M j M j n n
M j M j
u u
u u u
r r
L’equazione dell’energia può avere condizioni al contorno diverse. Per esempio può esistere un flusso termico diverso da zero in parete. La condizione si scrive perciò così:
1 1
1, , 1 1 1 1
, 1, , ,
n n
M j M j n n n n
M j M j M j M j
T T
T H
H T T T T r T T
r r
M, j M+1, j
M-1, j M, j-1
x
r
Un'ultima considerazione vale per la singolarità sull'asse (r=0): per evitare problemi è necessario non scrivere l'equazione alle differenze per nodi sull'asse, come ad esempio nello schema in figura, in cui il primo nodo è a distanza r 2 dall'asse.
1, j 2, j
0, j 1, j-1
x
r
r/2
La condizione di simmetria si applicherà uguagliando tra loro i valori assunti sui nodi posti a cavallo dell'asse. Così, per il nodo (1,j) l'equazione si scriverà, dato che u
0,j u
1,j:
1 1 1 1 1
1, 1,
1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1 1
2 1,
1 1,
(1 2) 1
n,
nn n n n n n n n
j j
j j j j j j j j n
n j j
S u T
u u u u u u u u
v u
t r r r x u
e, analogamente, per l’equazione di bilancio dell’energia, dato che
0,j 1,j
T T :
1 1 1 1 1
1, 1,
1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1 1
2 1,
1,
1 2 1
n,
nn n n n n n n n
j j
j j j j j j j j n
n j
i p j
S u T
T T T T T T T T H
v u
t r r r x c u
Si noti ancora l’applicazione asimmetrica dello schema di Patankar, applicato nella forma classica
alla equazione di bilancio della specie che si consuma, onde evitare valori negativi per la
concentrazione, mentre il termine di produzione è preso numericamente uguale nell’equazione di
bilancio per l’energia, onde evitare incongruenze fra la quantità di specie reagita e l’energia
prodotta dalla reazione nell’intervallo di tempo discreto.
Ciascuna equazione contiene, al più, tre incognite distinte e cioè u
in11,j, u
i jn,1, u
in11,je
1 1 1
1,
,
,,
1,n n n
i j i j i j
T
T
T
. Il sistema risultante è quindi tridiagonale per ciascuna stazione j, e si risolve facilmente per qualsiasi sistema di condizioni ai limiti ed iniziali.
In conclusione si presentano le equazioni alle differenze finite in una forma adatta a ricavare le espressioni per i coefficienti delle matrici tridiagonali.
L’equazione generica per la variabile u per il nodo i,j si ripete:
1 1 1 1
, , ,
, 1 , 1
, 2 , , 1
1 1,
1
1 ,
1
1 1
1
, , ,
2
n n,
n n
i j i j
n n n
i
n n n n
i j j i j i j i j i j n i j
i n
i
j
i j j i j
S u T
t t v t
u u u u u t
r r r
u u u u u
x u
e si presenta quindi, raggruppando i termini, come:
, 1 , 1
,
, , 1
2 2 2
, 1
1 1, 1
1 , 1
,
2 , 1
n n
i j i j n n n n
i n
i n j i j i j i j
i i j i
i j j
S u T
nt t t t t v t
t u u u
r u r r r u u r r r u x
L’equazione generica per la variabile T per il nodo i,j si ripete:
1
1
1 1 1
,
, , 1 1
, 2 , , 1 ,
1 , 1
, 1,
1
1, 1, ,
2
in j in j,
n n
i j i j
n n n
i j
n n n
i j i j
n n
i j i j i j n i j
i j i
p j
S u T
t t v t H
T T T T T T t u
r r r T x
T c
T u
dove si noterà il termine di produzione con la stessa espressione usate nel bilancio di materia, e
1 , n
u
i jcompare in nero dato che è stata già calcolata e non è quindi più un’incognita. L’equazione si presenta quindi, raggruppando i termini, come:
2 2 2
, 1 , 1 1
, , , 1 ,
, 1
, 1
1 1,
1
1 ,
1 2
,
n i
i i
n n
i j i j
n n n n
i j n
i j
i j i j n i j
p j i j
i j
t t t
nt t
r r r r r r r
S u T
v t H
T T T t u
x c
T T
u
T
L’equazione alle differenze finite della specie, per il nodo 1,j (sull’asse del tubo), è:
1
0,
1, 1 1, 1
1, 1, 1
1 1 1 1
1, 1, 1,
1 1
1 , 1
2 2, 2,
1, 1
, 1
2
nj nj,
n
n n
j j
n n n
j j j
n n n n
j j j n j
j
j
S u T
t t v
u t
u u u t
r u u u
u u u
x u
r r
dove per la simmetria è:
1 0,
1 1,
n n
j
u
j u
e quindi:
1, 1 1, 1
1,
1, 1, 1
2 2
1 1,
1 1
1 ,
2,
1 1
1 ,
n n
j j n n n
j j j
n
n
j j
n j
S u T
t t t t v t
t u u u
r r r u u r r r u x
L’equazione alle differenze finite dell’energia, per il nodo 1,j (sull’asse del tubo), è:
1 1 1
1, 1, 1,
1 1, 1 1, 1 1
1, 0 1, 1
1 1
2, 2 , 1 1,
2 ,
1, ,
1 1
2 ,
n n n
j
n j
n n
j
n n
j j
n n n n
j j j n j
p j
j
j j
T t T T t T v t S u T
T H
T T T t u
r r T x
r c u
dove per la simmetria è:
1 0,
1 1,
n n
j
T
j T
e quindi:
1, 1 1, 1
11 1
2 , 1, 1, 1 1,
2 2
1 1 1
1
1 ,
, 1 ,
1 ,
n n
j j
n n n n
n
j j j n j
p j
n j
j
S u T
t t t t v t H
T T T t u
r r r T r r r
T u
x c
L’equazione di bilancio della specie per il nodo M,j (sul contorno del tubo) è:
, 1 , 1
, ,
1 1
, 1
2 1, 1
, 1
1,
1 1 1 1
, , ,
1
, ,
2
n n,
n n
M j M j
n n n
M
n n n n
M j j M j M j M j M j n M j
M M j
j n
j M M j
M
S u T
t t v t
u u u t
r u r r u x
u u u
u u u
dove per la condizione al contorno è, come visto:
1 1
, 1, n
M j
M j
u
u
nessa si presenta quindi, raggruppando i termini, come:
, 1 , 1
,
, , 1
2 1, 2
1 , 1
1
,
1 ,
n n
M j M j n n n
M j M j M j
n M
n n
M
j
j M j
S u T
t t v
u t
t u u u
r r u u x
L’equazione di bilancio dell’energia per il nodo M,j (sul contorno del tubo) è:
1 1
1, 1,
,
2 1
,
1 1
, ,
1 1,
, , 1
, 1 , 1 1
, , 1
2
,
n M j
M n
M j
n n
M j M
n n
M j M j
n n
M j M j n
M j
j
n
p M
n n
M j
n
M j M j
j
T
t t
r r r
v t T T x
T
T T T T
S u T
t H u
T
c u
dove per la condizione al contorno è, come visto:
1 1 1
, ,
, ,
1
1 n n
1
n M
n
M j M j
j M j
H H H
r T r r T
T T T
T
quindi
, 2 2
,
1 1 1 1
, , , ,
1 1,
, 1
, 1 , 1 1
, , 1
,
n n n n
M j M j M j M j
n M j
M
n n
M j M j
n M
n n
M j M j n
n M j
p M j
j
M
t t t H t H
T r r r r
v t T T x
S u T
t H u
c u
t H t H T T
T T T T
r r
cioè
1
2 2
, 1
, 1
,
, ,
1 ,
, , 1
,
1
,
M
n n
M j M j
n n n n
M j M
n
M j
j M j M j
n M
n
p M j M
j
t t t H t H
r r r r
S u T
v t H t H t H
T T T t u T
x c u r r
T
T
Il calcolo fornisce la distribuzione di concentrazione e temperatura in tutto il reattore e durante il transitorio. Una volta raggiunto lo stazionario, è possibile calcolare il grado di conversione, integrando sulla sezione di uscita la concentrazione del reagente. Di seguito la realizzazione MATLAB del metodo illustrato ed esempi di output:
%calcolo della dinamica di un reattore tubolare non isotermo
%parametri numerici M=40;N=30;
lung=10;
raggio=.1;
dx=lung/(N-1);
dR=raggio/(M-1+.5);
%parametri fisici V=100;
tfin=lung/V*1.1;
k0=1e+5;
alfa=0.001;
EasuR=3000;
DHsurCp=-10;
Tiniz=300;
T_inf=300;
dt=dx/V; % corisponde a C=1
%condizione iniziale(assenza di reagenti) u=zeros(M,N);
T=Tiniz*ones(M,N);
%condizione al contorno
uin=1;
Tin=400;
%u(1:M/2,1)=uin*ones(M/2,1);
u(1:M,1)=uin*ones(M,1);
T(1:M,1)=Tin*ones(M,1);
% condizione di scambio in parete Hsulambda=5000;
%
SUBPLOT(1,2,1), surf(u) view(-205,30)
SUBPLOT(1,2,2), surf(T) view(-205,30)
%griglia lungo la coordinata radiale r(1)=dR/2;
for i=2:M
r(i)=i*dR-dR/2;
end;
unosur=1./r;
%coefficienti numerici, termini diffusivi adtdR2=alfa*dt/(dR*dR);
adtRdR=alfa*dt/dR*unosur;
%coefficiente numerico, termine convettivo cour=V*dt/dx;
%calcolo dei coefficienti della matrice tridiagonale indipendenti da x e t
%equazione di bilancio della specie i=1;
a(i)=0;
aT(i)=0;
c(i)=-adtdR2-adtRdR(i);
cT(i)=-adtdR2-adtRdR(i);
% b(i) cambia nel corso del calcolo; non così bT(i) bT(i)=1+adtdR2+adtRdR(i);
for i=2:M-1
a(i)=-adtdR2;
aT(i)=-adtdR2;
% b(i) cambia nel corso del calcolo; non così bT(i) bT(i)=1+2*adtdR2+adtRdR(i);
c(i)=-adtdR2-adtRdR(i);
cT(i)=-adtdR2-adtRdR(i);
end;
i=M;
c(i)=0;
cT(i)=0;
a(i)=-adtdR2;
aT(i)=-adtdR2;
% b(i) cambia nel corso del calcolo; non così bT(i)
bT(i)=1+adtdR2+alfa*dt/dR*Hsulambda+alfa*dt*unosur(i)*Hsulambda;
% parte costante del termine dT(M)
contorno=(alfa*dt/dR*Hsulambda+alfa*dt*unosur(i)*Hsulambda)*T_inf;
%ciclo di integrazione nel tempo for t=0:dt:tfin
uold=u;
Told=T;
%ciclo di integrazione lungo x for j=2:N
%calcolo dei coefficienti della matrice tridiagonale dipendenti da x e t
%e del termine noto i=1;
EasRT=EasuR/Told(i,j-1);
S1=sorgT(uold(i,j-1),EasRT,k0);
b(i)=1+adtdR2+adtRdR(i)-S1*dt;
% bT(i) non cambia;
d(i)=uold(i,j)-cour*(uold(i,j)-uold(i,j-1));
dT(i)=Told(i,j)-cour*(Told(i,j)-Told(i,j-1))+dt*DHsurCp*S1*u(i,j);
for i=2:M-1
EasRT=EasuR/Told(i,j-1);
S1=sorgT(uold(i,j-1),EasRT,k0);
b(i)=1+2*adtdR2+adtRdR(i)-S1*dt;
% bT(i) non cambia;
d(i)=uold(i,j)-cour*(uold(i,j)-uold(i,j-1));
dT(i)=Told(i,j)-cour*(Told(i,j)-Told(i,j-1))+dt*DHsurCp*S1*u(i,j);
end;
i=M;
EasRT=EasuR/Told(i,j-1);
S1=sorgT(uold(i,j-1),EasRT,k0);
b(i)=1+adtdR2-S1*dt;
% bT(i) non cambia;
d(i)=uold(i,j)-cour*(uold(i,j)-uold(i,j-1));
dT(i)=Told(i,j)-cour*(Told(i,j)-Told(i,j-1))+dt*DHsurCp*S1*u(i,j)+contorno;
%soluzione implicita lungo r uj=Thomas(a,b,c,d,M);
Tj=Thomas(aT,bT,cT,dT,M);
for i=1:M
u(i,j)=uj(i);
T(i,j)=Tj(i);
end end;
SUBPLOT(1,2,1), surf(u) view(-205,30)
SUBPLOT(1,2,2), surf(T) view(-205,30)
t pause end
% Calcolo del grado di conversione complessivo Integ=0;
for i=1:M
Integ=Integ+u(i,N)*r(i);
end
Qu=2*pi*V*Integ*dR;
Qu0=pi*V*raggio*raggio*uin;
x=(Qu0-Qu)/Qu0
0
20
40
0 10 20 30 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 10
20
30 0 10 20 30 40
300 320 340 360 380 400 420
