Si immagina che in un reattore Batch avvengano le seguenti due reazioni del primo ordine:
1
2
k k
A B
A C
Si devono perciò scrivere almeno due equazioni di bilancio, una per la specie A ed un’altra per la specie B o la specie C (l’altra concentrazione si può anche ricavare da una relazione algebrica). Per la specie A l’equazione di bilancio è:
1 2
0 A AdCA k C k C
dt Per la specie B si ha:
0 k C1 AdCB dt
e analogamente, per la specie C, si ha:
0 k C2 AdCC dt
Scriviamo le tre equazioni in forma esplicita:
1 2
1
2
A
A
B A
C A
dC k k C
dt
dC k C dt
dC k C dt
con le relative condizioni iniziali:
0 0 0
0 0 0
A A
B B
C C
C C
C C
C C
La concentrazione di una della due specie (B o C) si potrà calcolare anche con una semplice relazione algebrica ricavata dalla stechiometria delle reazioni.
La prima equazione è disaccoppiata dalle altre due, a variabili separabili, e si risolve immediatamente:
1 2
0
k k t
A A
C C e
La seconda si risolve per integrazione diretta, dopo la sostituzione dell’espressione per CA , per dare (vedi Appendice):
0 1 0
1 2
1 2
1
k k t
B B A
C t C k C e
k k Ovviamente si ha
0 2 0
1 2
1 2
1
k k t
C C A
C t C k C e
k k .
Questa figura riporta le concentrazioni in funzione del tempo per CA0 1, CB0 CC0 0, k11 e
2 0.5
k .
APPENDICE
Soluzione dell’equazione
1 2
1 0
k k t
B A
dC k C e dt
con la condizione iniziale
0 0
B B
C C
Per integrazione diretta si ha:
1 0 1 2 1 0 1 2
1 2
k k x k k t
B A A
C t k C e dx c k C e c
k k
La costante di integrazione si ricava applicando la condizione iniziale:
1
0 0
1 2
B A
C k C c
k k
e quindi:
1 0 1 2 0 1 0
1 2 1 2
k k t
B A B A
k k
C t C e C C
k k k k
che si può riscrivere come
0 1 0
1 2
1 2
1
k k t
B B A
C t C k C e
k k .
