Analisi Matematica I 26 marzo 2018 FOGLIO A
Cognome . . . Nome . . . .
Matricola . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♢ AUTLT, ♢ MECMLT
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari, smartphone, smartwatch.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) = x
2 + arctan ( |x|
x − 2 )
.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 0,5]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzon- tali, obliqui) per f .
Risposta [punti 2,5]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit` a.
Risposta [punti 1,5]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 1,5]:
Senza calcolare la derivata seconda di f discutere la possibile esistenza di punti di flesso.
Risposta [punti 1]:
Tracciare sul foglio di protocollo un grafico qualitativo della funzione f , in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare il luogo dei punti z ∈ C tali che Re (
|z| 2 − 2i¯z )
+ (z − i) 2 = 3 . Risposta [punti 3]:
3. Calcolare il limite
n →+∞ lim
[log(n + 1) n + sin(n!)] [
tan n 1 − n 1 ] (n + e −n ) 2 [√
n 2α + 7 − n α ] al variare di α > 0.
Risposta [punti 3]:
4. Discutere, al variare di α ∈ R + , il carattere della serie
+ ∞
∑
n=2
7 n2+ √ n [α n + 7 n ] n . Risposta [punti 3]:
5. Calcolare il limite
x →+∞ lim
e x2log(1+1/x) − e x − 2x 3e x − x 3 . Risposta [punti 3]:
6. Siano α ∈ R e f : R → R definita da
f (x) =
[log(e x − 2)] α −1 se x > log 3
0 se x = log 3
[log 3 − x] α −1 se x < log 3.
Al variare di α ∈ R discutere la continuit`a di f nel punto x = log 3; discutere la derivabilit`a di f nel punto x = log 3 e classificare il tipo di non derivabilit` a.
Risposta [punti 4]:
7. Sia F : [1, ∞) → R la primitiva di f(x) = x 12 log ( 7 x
1+x
2)
tale che lim x →+∞ F (x) = 0.
Risposta [punti 3]:
8. Calcolare la soluzione ˜ y del problema di Cauchy
y ′′ − 4y = 4e 2x ,
y(0) = 0,
y ′ (0) = 8 7 .
Risposta [punti 3]:
Analisi Matematica I 26 marzo 2018 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) =x
2 + arctan( |x|
x− 2 )
.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 0,5]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f . Risposta [punti 2,5]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 1,5]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 1,5]:
Senza calcolare la derivata seconda di f discutere la possibile esistenza di punti di flesso.
Risposta [punti 1]:
Tracciare sul foglio di protocollo un grafico qualitativo della funzione f , in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare il luogo dei punti z∈ C tali che Re(
|z|2− 2i¯z)
+ (z− i)2= 3 . Risposta [punti 3]:
3. Calcolare il limite
n→+∞lim
[log(n + 1)n+ sin(n!)][
tann1−1n] (n + e−n)2[√
n2α+ 7− nα]
al variare di α > 0.
Risposta [punti 3]:
4. Discutere, al variare di α∈ R+, il carattere della serie +∞∑ n=2
7n2+√ n [αn+ 7n]n. Risposta [punti 3]:
5. Calcolare il limite
x→+∞lim
ex2 log(1+1/x)− ex− 2x 3ex− x3 . Risposta [punti 3]:
6. Siano α∈ R e f : R → R definita da
f (x) =
[log(ex− 2)]α−1 se x > log 3
0 se x = log 3
[log 3− x]α−1 se x < log 3.
Al variare di α∈ R discutere la continuit`a di f nel punto x = log 3; discutere la derivabilit`a di f nel punto x = log 3 e classificare il tipo di non derivabilit`a.
Risposta [punti 4]:
7. Sia F : [1,∞) → R la primitiva di f(x) =x21 log( 7 x 1+x2
)
tale che limx→+∞F (x) = 0.
Risposta [punti 3]:
8. Calcolare la soluzione ˜y del problema di Cauchy
y′′− 4y = 4e2x, y(0) = 0, y′(0) =87. Risposta [punti 3]:
