9 - Distribuzioni bivariate

(1)

6

Distribuzioni bivariate

(2)

La statistica bivariata

La statistica bivariata è un insieme di metodi che consentono di analizzare congiuntamente due caratteri.

Si ricorre alla rilevazione congiunta di due (o più) caratteri quando si ritiene che fra essi possano esservi delle relazioni.

I metodi differiscono a seconda dei tipi di caratteri considerati (qualitativi, quantitativi, ...).

(3)

Sia che i caratteri siano qualitativi o quantitativi, se hanno poche modalità (o poche classi nel caso dei quantitativi) si utilizza spesso la distribuzione di frequenze doppia o bivariata, che si rappresenta con una tabella a doppia entrata.

(4)

Pensiamo ad esempio di voler analizzare congiuntamente i due caratteri

• Dimensioni dell’azienda

• Grado di utilizzo di tecnologie moderne

rilevati su N=300 aziende vinicole ed entrambi suddivisi in 3 classi.

(5)

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

+ + =

+ +

+ = + =

+ + + =

+ + + +

+ + +

=

Costruiamo la tabella a doppia entrata relativa alla rilevazione congiunta dei due caratteri, contenente la loro distribuzione bivariata

(6)

B

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

Frequenze marginali di

riga Modalità

della Dimensione dell’azienda

Modalità del

Grado di utilizzo delle tecnologie

Caratteri

Frequenze Congiunte

Frequenze marginali di colonna

Costruiamo la tabella a doppia entrata relativa alla rilevazione congiunta dei due caratteri, contenente la loro distribuzione bivariata

(7)

A B _b₁ ^... _b_j ^... _b_q _Totale

a1 n11 ... n1j ... n1q n1^

⋮ ^⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ai ni1 ... nij ... niq ni ^

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ap np1 ... npj ... npq np^

Totale n^1 ... n^j ... n^q N

(8)

La tabella a doppia entrata può essere rappresentata anche in termini di frequenze relative (o percentuali):

frequenze congiunte frequenze marginali

N f_ij  n^ij

N f_i_  nⁱ^

N f__j  n^^j

   

   



 _ _

p 1 i

q 1

j j

p 1

i i

q 1

j fij f f 1

(9)

B

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

Vediamo il calcolo delle frequenze relative congiunte e marginali nella nostra tabella

(10)

B

Piccola 0.15 0.12 0.07 0.34

Media 0.10 0.16 0.09 0.35

Grande 0.05 0.08 0.18 0.31

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

48/300 54/300 Frequenze

relative congiunte

(11)

B

Piccola 0.15 0.12 0.07 0.34

Media 0.10 0.16 0.09 0.35

Grande 0.05 0.08 0.18 0.31

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

N f

_ij

 n

^ij

Frequenze

relative congiunte

(12)

B

Piccola 0.15 0.12 0.07 0.34

Media 0.10 0.16 0.09 0.35

Grande 0.05 0.08 0.18 0.31

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

108/300 93/300 Frequenze relative marginali

(13)

B

Piccola 0.15 0.12 0.07 0.34

Media 0.10 0.16 0.09 0.35

Grande 0.05 0.08 0.18 0.31

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

N f_i_  nⁱ^

f  n^^j

Frequenze relative marginali

(14)

B

Piccola 0.15 0.12 0.07 0.34

Media 0.10 0.16 0.09 0.35

Grande 0.05 0.08 0.18 0.31

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

   

   



 _ _

p 1 i

q 1

j j

p 1

i i

q 1

j fij f f 1

 

  p 

1 i

q 1

j fij 1 ^p f 1

1

i i 







1

q f





(15)

• La distribuzione congiunta mostra come sono ripartite le N unità tra le modalità dei due caratteri considerati congiuntamente.

• Le due distribuzioni marginali mostrano come sono ripartite le N unità tra le modalità dei due caratteri considerati singolarmente.

• Per ognuno dei due caratteri si possono individuare altre distribuzioni dette distribuzioni parziali o condizionate.

(16)

Distribuzione del carattere Dimensione dell’azienda, condizionata al Grado di utilizzo delle tecnologie «Medio»

B

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

(17)

Distribuzione del carattere Grado di utilizzo delle tecnologie, condizionata alla Dimensione dell’azienda «Piccola»

B

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

(18)

• Per confrontare le distribuzioni parziali di un carattere è necessario tenere conto del fatto che normalmente i totali marginali sono diversi

• Le frequenze condizionate vengono perciò espresse quasi sempre in termini relativi (o percentuali)

(19)

p ,..., 2

, 1 f i

f n

) n b

| a ( f f

j ij j

ij j

i j

|i    



q ,..., 2

, 1 f j

f n

) n a

| b ( f f

i ij i

ij i

j i

|

j    



1 f

f _{i j}_|i

j ij| 







(20)

Calcoliamo ora le distribuzioni di frequenze relative condizionate

B

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Totale 90 108 102 300

(21)

Distribuzioni di frequenza relative del carattere Dimensione dell’azienda, condizionate al Grado di utilizzo delle tecnologie

B

Piccola 0.50 0.33 0.21 0.34

Media 0.33 0.44 0.26 0.35

Grande 0.17 0.22 0.53 0.31

Totale 1.00 1.00 1.00 1.00

(22)

B

Piccola 0.50 0.33 0.21 0.34

Media 0.33 0.44 0.26 0.35

Grande 0.17 0.22 0.53 0.31

Totale 1.00 1.00 1.00 1.00

48/108 54/102

j ij j

ij j

i j

|i f

f n

) n b

| a ( f f





(23)

Distribuzioni di frequenza relative del carattere Grado di utilizzo delle tecnologie, condizionate alla Dimensione dell’azienda

B

Piccola 0.44 0.35 0.21 1.00

Media 0.29 0.46 0.26 1.00

Grande 0.16 0.26 0.58 1.00

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00

(24)

B

Piccola 0.44 0.35 0.21 1.00

Media 0.29 0.46 0.26 1.00

Grande 0.16 0.26 0.58 1.00

Totale 0.30 0.36 0.34 1.00





i ij i

ij i

j i

|

j f

f n

) n a

| b ( f

48/105 54/93 f