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4.1. INTRODUZIONEL’intera parte delle esperienze su modello fisico di laboratorio che costituiscono il corpo centrale del lavoro di tesi è stata realizzata presso il laboratorio di idraulica e idrodinamica applicata dell’università di Liegi in Belgio.
L’equipe del suddetto laboratorio (HACH)
continua ad intraprendere
un’intensa ricerca nel campo dello studio delle onde di piena derivanti dal collasso di sbarramenti da più di 20 anni.
In particolare, lo studio più recente che ha impegnato i ricercatori è l’analisi
della piena generata dal collasso istantaneo di una diga in cemento armato, la diga della Plate Taille, alta circa 70m (la più imponente struttura idraulica del Belgio). Poiché la diga si trova a monte di un complesso di cinque sbarramenti non può essere trascurato il fenomeno di collasso “in cascata”. La localizzazione della diga in pietrame de L’Eau d’Heure a soli 3 km a valle della precedente struttura implica un elevato rischio di aggressione da parte dell’onda di piena.
Lo studio sperimentale condotto sul modello a scala ridotta di una porzione della diga de L’Eau d’Heure si inserisce all’interno dell’approfondimento delle conoscenze sul meccanismo di collasso delle dighe in materiale sciolto al fine di attuare previsioni realiste sulla formazione di brecce e generazione di portate di piena a valle. L’approccio sperimentale è stato preceduto da un’attenta ricostruzione delle conoscenze sul tema, come mostrato dai capitoli precedenti.
4.2. TEORIA DELLA SIMILITUDINE DEI MODELLI FLUVIALI
La realizzazione di un modello fisico a scala ridotta si basa su leggi di similitudine che sono legate al fenomeno che deve essere riprodotto. Lo scopo di questo lavoro è di condurre un’attenta analisi sui modi con i quali può arrivare a rottura una diga in pietrame sciolto. Pertanto, il modello di laboratorio dovrà rappresentare correttamente il prototipo sia dal punto di vista idrodinamico sia da quello del movimento del materiale solido.
Il primo passo è, dunque, di ottenere le leggi che mettono in relazione le quantità sperimentali con i dati a scala reale. Il mezzo di cui ci serviamo è l’analisi dimensionale, condotta con il noto teorema di Vaschy-Buckingham. Successivamente si porrà il problema della messa a punto dell’apparato di laboratorio con la costruzione del modello in scala.
4.2.1 Similitudine idrodinamica
L’analisi dimensionale condotta nel campo idrodinamico ci permette di individuare quei numeri, privi di dimensioni, rappresentativi del sistema fisico e sui quali dobbiamo basarci perché sia rispettata la similitudine. La fase iniziale prevede l’individuazione dei parametri che regolano il fenomeno:
Le proprietà del fluido: ρ = densità
µ = viscosità dinamica σ = tensione dell’interfaccia aria-acqua Eb = modulo di elasticità volumica dell’acqua La geometria del sistema: L = grandezza caratteristica [L]
Le proprietà dell’efflusso: V = velocità del flusso liquido ∆P = differenza di pressione Le forze agenti sul sistema: g = forza di gravità
Abbiamo quindi elencato 8 parametri le cui unità di misura sono funzione delle tre grandezze fondamentali: massa [M], lunghezza [L] e tempo [T]. Secondo il teorema π di Vaschy-Buckingham individuiamo (8-3)=5 parametri adimensionali che sono tipici di tutti i sistemi idraulici:
• Numero di Froude
gL V Fr=
• Numero di Weber σ ρ = LV2 We • Numero di Eulero P V Eu 2 ∆ ρ = • Numero di Cauchy b 2 E V Ca=ρ
Naturalmente l’analogia tra modello e prototipo non può essere vera per tutti i numeri sopra elencati. La fase successiva è dunque quella di comprendere quali sono i fenomeni e le forza dominanti nel nostro caso studio. La rottura di una diga, causata da un’onda che la sormonta o da un cedimento per erosione interna, è un fenomeno a pelo libero ed è dominato dalla forza di gravità. Gli altri aspetti, come l’elasticità e la tensione dell’interfaccia aria-acqua ma anche la viscosità e la pressione, hanno un’influenza molto limitata e possono essere pertanto trascurati. Concludendo, il nostro modello si baserà sull’analogia di Froude.
Il numero
gL V
Fr= , infatti, si ottiene come rapporto tra le forze inerziali e la forza di gravità. I rapporti di scala che devono essere conservati affinché si possano ricreare le stesse condizioni di deflusso che si hanno nella realtà sono:
rapporto delle lunghezze
m p L L L = λ Æ similitudine geometrica rapporto delle velocità
m p V V V = λ Æ similitudine cinematica rapporto delle forze
m p F F F = λ Æ similitudine dinamica
Da questi rapporti fondamentali possiamo ottenere la riduzione in scala di tutte le grandezze che ci interessano:
scala dei tempi
] V [ ] L [ ] T [ = Æ V L m p T T T λ λ = = λ
scala delle portate [Q]=[L]2[V] Æ 2L V m p Q Q Q λ λ = = λ
In base all’analogia di Froude la similitudine dinamica sarà data da: 1 Fr Fr m p Fr = = λ Æ 1 . L . g V L . g V 2 / 1 L 2 / 1 g V m m m p p p Fr = λ λ λ = = λ
La forza di gravità assume lo stesso valore per il modello e per il prototipo, quindi λg =1. In base alla dimensione del canale di laboratorio si ricava la grandezza massima che può essere data alla diga sperimentale.
Essendo nota, a questo punto, la scala delle lunghezze, la relazione di pagina precedente ci permette di ottenere il primo risultato notevole:
noto
L =
λ Æ [47] Di conseguenza ricaviamo gli altri rapporti di scala:
V L m p T T T λ λ = = λ Æ 12 L L V L T − λ ⋅ λ = λ λ = λ Æ [48] V 2 L m p Q Q Q λ λ = = λ Æ 12 L 2 L V 2 L Q =λ ⋅λ =λ ⋅λ λ Æ [49]
Osservazione: occorre rilevare un aspetto importante: nel prototipo abbiamo sempre il moto turbolento ma, a causa della riduzione in scala, è possibile che il numero di Reynolds del modello si abbassi troppo. Affinché possiamo trascurare completamente le forze viscose è necessario verificare che anche nel modello di laboratorio sia Re > 2000.
La scala per il numero di Reynolds si ottiene con:
L V im m ip p im m ip p m p Re R V R V R 4 V R 4 V Re Re λ ⋅ λ = = µ ρ µ ρ = = λ Æ [50]
Una volta calcolato il numero di Reynolds caratteristico del prototipo si dovrà verificare che:
2000 Re Re 2 3 L p m > λ = . 2 1 L V =λ λ 2 1 L T
=
λ
λ
2 3 L Re =λ λ 2 5 L Q =λ λ4.2.2 Similitudine del materiale solido
Ci proponiamo nuovamente di individuare i parametri che dominano il fenomeno fisico alla nostra attenzione. In questo caso si tratta del trasporto solido, e le variabili sono:
Le proprietà del fluido: ρ = densità dell’acqua
ν = viscosità cinematica Le proprietà dei sedimenti: ρs = massa volumica
d = diametro del sedimento Le proprietà dell’efflusso: h = altezza liquida
S = pendenza della linea dell’energia U* = velocità di attrito o di taglio Le forze agenti sul sistema: g = accelerazione di gravità
Procedendo con l’analisi dimensionale, l’applicazione del teorema di Bukcingham permette l’individuazione di quattro grandezze adimensionali:
• Azione di taglio adimensionale
(
U)gd
s 2 * ρ − ρ ρ = θ • Numero di Reynolds al fondoν =U d Re
* *
• Lunghezze relative flusso-sedimenti
d h
• Masse relative flusso-sedimenti
ρ ρs
L’azione di taglio adimensionale è anche conosciuta col nome di Numero di Froude relativo al fondo. Essa è la grandezza fondamentale sulla quale si sviluppa la similitudine tra prototipo e modello, essendo la principale responsabile del movimento di particelle solide non coesive, come quelle che costituiscono il corpo diga. Tuttavia, a causa della turbolenza, tale azione di taglio, e conseguentemente anche l’azione di trascinamento, sono soggette a fluttuazioni. Un modello che si accorda solo con la similitudine di Froude non può essere in grado di mettere in conto le variazioni di turbolenze e del trascinamento che sono funzione del numero di Reynolds. Per far si che l’intensità delle forze viscose sia correttamente rappresentata occorre che il numero di Reynolds al fondo Re* si mantenga superiore a
settanta (Coleman, “Model Similitude” – cap.3, 2000), sia per il modello che per il prototipo. In base all’analogia del Numero di Froude relativo al fondo si ha:
1 m p = θ θ = λθ
Æ
1 d . g ). ( U . d . g ). ( U . m m m m , s 2 * m m p p p p , s 2 * p p = ρ − ρ ρ ρ − ρ ρ = λθ
Come nel caso precedente λg =1 Inoltre, si definisce ρ ρ − ρ = ρ
∆ s e si fornisce un’espressione per la velocità al fondo quale
S gR
U* = i , dove Ri è il raggio idraulico e S è la pendenza della linea dell’energia. Allora si ottiene: ) ( ) ( 1 m m , s m p p , s p ρ − ρ ρ ρ − ρ ρ = λ∆ρρ e m i,m m p p , i p U g R S S R g * = λ Æ 12 S L 2 1 m 2 1 m , i 2 1 p 2 1 p , i U S R S R * =λ ⋅λ ⋅ ⋅ = λ
Essendo anche
λ
S≈
1
(assumiamo il moto uniforme), la similitudine in base al numero di Froude relativo al fondo si traduce nella seguente espressione:1 d L d 2 U* = λ ⋅ λ λ = λ ⋅ λ λ = λ ρ ρ ∆ ρ ρ ∆ θ Æ
Considerando che il rapporto delle lunghezze è già noto, la similitudine relativa al trasporto solido non è ancora univocamente definita. La scelta deve essere fatta intervenendo sulla scala dei diametri oppure su quella della densità. Data l’importanza del numero di Reynolds al fondo, a cui abbiamo fatto riferimento a pagina precedente, possiamo eliminare il grado di libertà residuo imponendo che risulti Re*p =Re*m.
In base all’analogia del numero di Reynolds relativo al fondo otteniamo:
1 Re Re * m * p Re* = = λ Æ . 1 d . U d . U d U m m * m p p * p Re * * = λ λ λ = ν ν = λ ν Ricordando che 12 L U*
=
λ
λ
e cheλ
ν=
1
, perché il liquido è lo stesso, si ha: 1 . d 2 1 L d U* =λ ⋅λ = λ λ λ ν Æ 1 L d − ρ ρ ∆λ
⋅
λ
=
λ
2 1 L d − λ = λIl risultato che otteniamo è fisicamente impossibile poiché il diametro del materiale del modello sarebbe maggiore di quello reale.
Dobbiamo quindi rinunciare a rispettare la similitudine del numero di Reynolds al fondo. Una soluzione alternativa può essere quella di rispettare un’altra grandezza adimensionale, e cioè il
rapporto delle lunghezze d h . Questo significa: m m p p d h d h = Æ m p L m p d d h h = λ = Æ [51] Il diametro del materiale del corpo diga è ridotto con la stessa scala della geometria della struttura. In base alla presenza uguaglianza otteniamo anche:
Æ 1 m , s p , s = ρ − ρ ρ − ρ Æ [52]
4.3. CASO STUDIO: LA DIGA DE “L’EAU D’HEURE”
4.3.1. Inquadramento geografico e funzionale
La diga dell’Eau d’Heure fa parte di un complesso costituito da due strutture principali, quella in esame e la diga della Plate Faille, e da tre dighe secondarie: Féronval, Ry Jaune e Falemprise. Il tutto copre un territorio di 1800 ettari nel sud del Belgio.
L d =λ λ
1
1 d L⋅
λ
=
λ
=
λ
− ρ ρ ∆ m , s p , s =ρ ρGli studi condotti, dagli anni ’50 in poi, sul fabbisogno idrico nel caso di una seccessione eccezionale di stagioni secche hanno portato alla conclusione che era necessaria una riserva utile di 48.75 hm3. Dall’analisi del sito geografico si è visto che un tale volume era generato dalla costruzione di due dighe: quella dell’Eau d’Heure apresso Silenrieux e la difa sulla Plate Taille, affluente de l’Eau d’Heure, ai confini tra Boussu-lez-Walcourt e Cerfontaine. L’invaso di questo secondo sbarramento è stato riempito per pompaggio, a partire dall’invaso della diga dell’Eau d’Heure, causa l’incapacità di alimentazione naturale da parte del suo bacino idrografico.
Figura 4. 3 – Vista aerea della diga in pietrame de L’Eau d’Heure
La costruzione delle due dighe e delle centrali idroelettriche associate iniziò nel 1971. Contemporaneamente, si è prevista la realizzazione di tre dighe secondarie con lo scopo di attenuare le fluttuazioni del livello d’invaso di frequenza sia stagionale sia giornaliera. Nel 1977, la quota raggiunta dall’invaso dell’Eau d’Heure fu tale da poter permettere l’inizio del riempimento di quello della Plate Taille. L’intero complesso di dighe e centrali idroelettriche si considera operativo dal 1980.
4.3.2. Caratteristiche tecniche e ipotesi di rottura
La struttura costruita sul fiume de L’Eau d’Heure, a monte di Silenriuex, si tratta di una diga a gravità composta da pietrame a secco. Tale soluzione è stata adottata principalmente per la possibilità di ottenere il materiale da una cava non molto distante e posizionata lungo la linea ferroviaria Silenriuex-Cerfontaine. Si è trattato, cioè, di una scelta economica al fine di risparmiare sui costi di trasporto e quindi su quello complessivo dell’opera.
La diga è dotata di un evacuatore di piena, sulla riva destra del fiume, equipaggiato di due paratoie a saracinesca. Essa è anche attraversata da due condotte metalliche per lo svuotamento. Alla loro testa si trova la torre di manovra delle paratoie per il vuotamento medesimo. Il volume liquido di un eventuale svuotamento e quello prodotto dagli evacuatori di piena è incanalato in un unico bacino d’accumulo che lo restituisce al fiume, una volta ritrovate le condizioni normali.
Un aspetto fondamentale del buon funzionamento e della sicurezza di una struttura in materiale sciolto è la realizzazione dello strato impermeabile. Gli effetti negativi dell’infiltrazione si ripercuotono a livello statico e dinamico, e, per ultimo, anche economico:
• Effetti statici: la presenza di un deflusso sotterraneo, soprattutto nella zona delle fondazioni, causa la nascita di sottopressioni. Si tratta di azioni, rivolte verso l’alto, che sollevano il materiale della struttura e ne provocano una potenziale rotazione. L’effetto è quello di ridurre il coefficiente di stabilità.
• Effetti dinamici: l’infiltrazione nel corpo diga modifica la capacità portante del materiale ed è la causa dell’erosione interna. Il prolungarsi di tale erosione può portare alla formazione di cavità interne e alla catastrofica rottura per sifonamento.
L’impermeabilizzazione della diga dell’Eau d’Heure è realizzata tramite quattro strati sovrapposti costituiti da composti a base di cemento, gel di silicato di sodio e resine che reagiscono velocemente con l’acqua. L’efficacia di questo strato non può mai arrivare al 100%, è la ragione per cui la struttura deve essere completata con una rete di drenaggio. Indispensabile è, infine, la realizzazione di un controllo continuo della struttura. A tale scopo è posizionata una rete di piezometri e di misuratori di portata liquida.
L’ipotesi di rottura elaborata dai ricercatori è quella di sormonto a causa dell’onda di piena proveniente dal collasso istantaneo della diga della Plate Taille, situata 3 km a monte L’équipe del laboratorio HACH ha valutato che una tale onda in ingresso all’invaso de L’Eeau d’Heure, tenendo conto degli organi di scarico, genererebbe un sormonto hf di 2.5 m sulla cresta della diga. In base a questo valore di sormonto è stata calcolata la portata effluente al di sopra della cresta con la formula dello stramazzo in parete grossa.
CARATTERISTICHE COSTRUTTIVE
Tipologia costruttiva Diga a gravità in rocce sciolte Volume della diga 345000 m3
Lunghezza in cresta 250 m Altezza massima sopra le fondazioni 34.8 m
CARATTERISTICHE IDROLOGICHE
Bacino di riferimento 7900 ha Quota d’invaso: Normale
Massima eccezionale Massima accidentale
Variabile da 202.5 – 207 m s.l.m. 208.4 m s.l.m.
-
Superficie liquida (solo Eau d’Heure) 165 ha alla quota 207 m s.l.m. Superficie liquida con la Palte Taille 351 ha alla quota 250 m s.l.m. Capacità d’invaso (solo Eau d’Heure) 14.75 hm3 alla quota 207 m s.l.m
Capacità d’invaso con la Palte Taille 67.8 hm3 alla quota 250 m s.l.m
4.3.3. Applicazione delle similitudini alla diga de L’Eau d’Heure
Le caratteristiche del laboratorio sono alla base della scelta operata sulla scala cui s’intende realizzare il modello. In questo caso, il canale a disposizione è alto quarantatre centimetri, largo 40 centimetri e la portata massima è di quarantasette litri al secondo. Il fattore più limitante è dato dall’altezza del canale. In base all’ipotetica altezza di sormonto, considerando anche l’altezza della diga, è fissato il rapporto delle lunghezze e, di conseguenza, sono calcolati i rapporti di tutte le altre grandezze che regolano il fenomeno.
L’altezza della diga dell’Eau d’Heure è Hd =18 m, rispetto alla fondazione; la larghezza della cresta è 14,2 m, la larghezza alla base è di 82 m; la pendenza del paramento di monte è 1.75:1 (H:V) e quella del paramento di valle è 2:1. Le dimensioni principali sono mostrate nella sezione trasversale di figura 4.4.
In base alla limitazione dell’altezza del canale sperimentale si fissa l’altezza del modello fisico Hd,m=35 cm. Data l’altezza della diga Hd,p= 18 m otteniamo la scala delle lunghezze:
m 35 . 0 m 18 L L m p L = = λ Æ
Calcolando il deflusso sulla cresta della diga con la formula dello stramazzo in parte grossa, otteniamo che la portata per unità di lunghezza corrispondente al sormonto hf = 2.5 m è:
qp=0.385⋅ 2ghf ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ m s m3 Æ qp =6.75 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ m s m3
Ricordando che per la similitudine idrodinamica si ha il rapporto di scala delle portate:
2 5
L Q
=
λ
λ
nel caso della portata unitaria è2 3 L L 2 5 L q λ =λ λ = λ [53] 5 . 51 L = λ
Riassumiamo, quindi, le principali grandezze prototipo/modello nella seguente tabella:
GRANDEZZE RAPPORTO DI
SCALA
PROTOTIPO MODELLO
Altezza della diga [m] λL =51.5 18 0.35 Spessore della cresta [m] λL =51.5 14.2 0.28
Larghezza della base [m] λL =51.5 82 1.60
Portata unitaria [m3/s*m] λq=370 6.75 0.018
Portata nel canale1 [m3/s] λQ=19033 - 0.018⋅0.4=0.007
Massa volumica [Kg/m3]
λ
ρ=
1
2750 2750 Dimensione del materiale [m]λ
d=
λ
L 0.2 3.8*10-31 1 1.75 2 60 cm 28 cm 70 cm 35 cm Monte Valle Q = 7 l/s Argilla Sabbia dm = 3.8 mm
Figura 4. 6 – Sezione longitudinale del modello della diga dell’Eau d’Heure
Osservazione 1. Occorre verificare che il numero di Reynolds nel modello sia sufficientemente elevato. Ricordiamo che :
ν = µ ρ = V4Ri V4Ri Re con ν=1.007⋅10−6m2 s Poiché la lunghezza della diga è molto maggiore dell’altezza liquida
m 5 . 2 h Ri,p = f,p =
La velocità è 2.7m/s 5 . 2 75 . 6 h q V p , f p p = = = , pertanto si ha: 7 6 p 2.7 10 10 007 . 1 5 . 2 4 7 . 2 Re = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −
Per il modello sappiamo già che vale la relazione
Re p p Re Re λ = e quindi si ha: 4 7 m 4.2 10 370 10 7 . 2 Re = ⋅ = ⋅
Nonostante il grande divario tra il numero di Reynolds del prototipo e quello del modello
fisico è rispettata la disuguaglianza 2000 Re Re m p > ⎭ ⎬ ⎫
Osservazione 2. E’ necessario, inoltre, verificare che il numero di Reynolds al fondo sia maggiore di settanta sia per il prototipo che per il modello. Per la diga reale il numero Re è *p sicuramente molto elevato, allora si controlla solo il valore del modello. Il diametro del materiale del modello è d = 0.0038 m. Si ricorda che:
ν = U d Re * * e U* = gRiS Utilizzando: 53 n 0.02 d 1 21 n 1 16 = → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
= per il coefficiente di Manning
05 . 0 5 . 51 5 . 2 h
Ri,m = f,m = = m per il raggio idraulico e
s / m 38 . 0
Um = per la velocità sulla cresta
Si ottiene, grazie alla formula di Manning 23 i
R n U
S= ⋅ ⋅ − , S =0.056 e U* =0.04m/s Quindi si verifica che:
70 150 Re* = >
