LLAA DDEERRIIVVAATTAA DDII UUNNAA FFUUNNZZIIOONNEE

Testo completo

(1)LA D E R IV A T A D I U N A F U N Z IO N E Teoria Il problema della tangente Uno dei problemi classici che portano al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto. La tangente ad una circonferenza è quella retta che interseca la circonferenza in un solo punto .. Questa definizione però non va bene per tutte le curve. Ci sono anche rette che intersecano una curva in un solo punto, ma non sono tangenti alla curva (per esempio, l’asse della parabola la interseca solo nel vertice, ma non è tangente).. La definizione corretta di retta tangente, valida per tutti i tipi di curve è la seguente:. La retta tangente a una curva in un punto è la posizione limite, se esiste, della retta secante al tendere (sia da destra sia da sinistra) di a .. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante.. Matematica. www.mimmocorrado.it. 1.

(2) Derivata di una funzione. Data una funzione = definita in certo dominio

(3) , , per trovare la retta tangente alla curva in un suo punto , , consideriamo un altro punto + ℎ , + ℎ ) della curva. Tracciamo la retta secante il grafico e la retta tangente al grafico nel punto .. Nel triangolo rettangolo la tangente dell’angolo acuto è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente, cioè: Tale espressione è detta rapporto incrementale ∆ + ℎ − . = = = della funzione relativo al punto . ℎ ∆ ∆ = + ℎ − è detto incremento della variabile dipendente .. ∆ = + ℎ − = ℎ è detto incremento della variabile indipendente .. Attribuendo a ℎ valori sempre piu piccoli, ( ℎ ⟶ 0 ), il punto si avvicina sempre di piu al punto . La retta secante tende a diventare la retta tangente alla curva in .. Il coefficiente angolare della retta secante , ossia il rapporto incrementale, tende al coefficiente angolare della tangente alla curva in . Definizione. Data una funzione = , definita in un intervallo

(4) , , si chiama derivata della funzione nel punto ∈

(5) , e si indica con ′ , il limite, se esiste ed è finito, per ℎ ⟶ 0 , del rapporto incrementale di . relativo a . + ℎ − . Tale limite è da considerarsi sia per ℎ > 0 , sia per ℎ < 0 . In simboli: ′ = "#$ % → ℎ Una funzione = si dice derivabile in un punto se esiste finita la derivata ′ . In particolare: -. -. la funzione è definita in un intorno del punto ;. esiste finito il limite del rapporto incrementale di relativo a . + ℎ − . % → ℎ "#$. Se il limite del rapporto incrementale non esiste o è infinito, si dice che la funzione non è derivabile in quel punto. Se la funzione è derivabile in ciascun punto ∈

(6) , si dice che essa è derivabile nell’intervallo

(7) , . I simboli utilizzati per indicare la derivata di una funzione sono:. Matematica. ) . www.mimmocorrado.it. ). * . +, +-. .. 2.

(8) La derivata sinistra e la derivata destra Poiché la derivata di una funzione è un limite (il limite del rapporto incrementale), ha senso definire la derivata sinistra e la derivata destra di una funzione. Definizione. + ℎ − . %→ ℎ + ℎ − . ′0 = "#$1 %→ ℎ. La derivata destra di una funzione in un punto è:. ′. = "#$/. La derivata sinistra di una funzione in un punto è:. Significato geometrico della derivata. La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa . In simboli: ′ = $ 23 . 4. La retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa ha equazione: − = $ ∙ − . dove $ = ′ 0 .. La funzione derivata ′ , al variare di , fornisce il coefficiente angolare di tutte le rette tangenti alla funzione . Punti stazionari. I punti stazionari sono quei punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela all’asse .. Questo si verifica quando l’equazione della tangente è del tipo = 0 + 6, ossia quando il coefficiente angolare della retta tangente è zero. Ricordando che ′ = $ 234 si ha la seguente definizione. Definizione. Un punto = di una funzione è detto punto stazionario o punto a tangente orizzontale se ) = 0 .. punto di MIN RELATIVO. Matematica. punto di MAX RELATIVO. punto di FLESSO. www.mimmocorrado.it. punto di FLESSO. 3.

(9) Punti di non derivabilità I punti di non derivabilità sono quei punti in cui il limite del rapporto incrementale non esiste o è infinito. Esaminiamo i diversi tipi di non derivabilità. Flessi a tangente verticale. Le rette secanti passanti per il punto tendono alla retta verticale = , man mano che gli ulteriori punti di intersezione si avvicinano a . Tutte queste rette secanti hanno coefficiente angolare sempre dello stesso segno. ′0 = ′. = +∞. La funzione ha nel punto di ascissa un flesso a tangente verticale se:. OPPURE. ′0 = ′. = −∞. ′0 = ′. = +∞. ′0 = ′. = −∞. Cuspidi. Le rette secanti passanti per il punto tendono alla retta verticale = , man mano che gli ulteriori punti di intersezione (punto variabile 8) si avvicinano a . Tutte le rette secanti passanti per il punto 8, a sinistra di , hanno il coefficiente angolare dello stesso segno; mentre tutte le rette secanti passanti per il punto 9, a destra di , hanno il coefficiente angolare dello stesso segno ma opposto a quello delle rette secanti passanti per 8. La funzione ha nel punto di ascissa una cuspide se:. ;′0 <= = −∞ Matematica. ∧. ;′. <= = +∞. ′0 = +∞ ′0 = −∞. ′0 = +∞. www.mimmocorrado.it. ∧. ′. = −∞. ∧. ′. = +∞. ∧. ′. = −∞. OPPURE. 4.

(10) Punti angolosi. ′0 ≠ ′. . La funzione ha nel punto di ascissa un punto angoloso se:. ′0 ≠ ′. . entrambe finite. OPPURE. ′0 ≠ ′. una finita e l’altra infinita. ′0 ≠ ′. una finita e l’altra infinita. entrambe finite. La continuità e la derivabilità di una funzione Teorema. ⇒. Se è derivabile nel punto Dimostrazione Dalla identità: Si ricava:. è continua nel punto . + ℎ − . + ℎ − . = ℎ ℎ. + ℎ − . ∙ℎ ; ℎ + ℎ − . + ℎ = + ∙ℎ ℎ Calcoliamo il limite di entrambi i membri: + ℎ − =. "#$ + ℎ =. %→. "#$ A +. %→. + ℎ − . ∙ ℎB ℎ. Per ipotesi è derivabile nel punto , quindi il limite Pertanto il limite del II membro è:. "#$ A +. %→. 1. + ℎ − . = ′ . % → ℎ "#$. + ℎ − . ∙ ℎB = + ) ∙ 0 = . ℎ. "#$ + ℎ = . Sostituendo nell’espressione 1 si ha:. %→. Infatti se poniamo + ℎ si ha:. %→. Tale espressione equivale a dire che la funzione la è continua nel punto . "#$ + ℎ =. "#$ = .. - → -4. Non vale il teorema inverso.. Matematica. www.mimmocorrado.it. 5.

(11) Le derivate fondamentali Dimostriamo le formule di derivazione delle funzioni più importanti. Queste formule permettono di calcolare le derivate delle funzioni senza dover calcolare il limite del rapport incrementale. Teorema. La derivata della funzione costante ;< = E è zero Dimostrazione. + ℎ − . F−F 0 = "#$ = "#$ = 0 . % → % → ℎ ℎ ℎ Questo risultato può essere ottenuto anche graficamente. Infatti la funzione = F rappresenta una retta orizzontale e pertanto la retta tangente ad essa è la retta stessa, la quale essendo orizzontale ha coefficiente angolare zero.. ) = "#$. % →. Teorema. La derivata della funzione ;< = < è ;′< = G Dimostrazione. + ℎ − . +ℎ− ℎ = "#$ = "#$ = "#$ 1 = 1 . % → % → % → ℎ % → ℎ ℎ Questo risultato può essere ottenuto anche graficamente. Infatti la funzione = rappresenta la bisettrice del primo e terzo quadrante. Pertanto la retta tangente ad essa è la retta stessa, la quale ha coefficiente angolare 1 .. ) = "#$. Teorema. La derivata della funzione ;< = <H è ;′< = H< Dimostrazione. + ℎ I − + ℎ − . I + ℎI + 2ℎ − I = "#$ = "#$ = % → % → % → ℎ ℎ ℎ ℎI + 2ℎ ℎ ∙ ℎ + 2. = "#$ = "#$ ℎ + 2 = 2 . = "#$ % → % → % → ℎ ℎ ) = "#$. Teorema. La derivata della funzione ;< = <K è ;′< = K<H Dimostrazione. + ℎ L − + ℎ − . L + ℎL + 3ℎ I + 3ℎI − L = "#$ = "#$ = % → % → % → ℎ ℎ ℎ ℎL + 3ℎ I + 3ℎI ℎ ∙ ℎI + 3 I + 3ℎ. = "#$ = "#$ = "#$ ℎI + 3 I + 3ℎ = 3 I . % → % → % → ℎ ℎ. ) = "#$. Teorema. La derivata della funzione ;< = < N è ;′< = N ∙ < N0G. con O ∈ P − Q0R Dimostrazione + ℎ S − + ℎ − . ) = "#$ = "#$ = % → % → ℎ ℎ S +

(12) T S0T ℎ +

(13) I S0I ℎI + . . . +

(14) S0I I ℎS0T +

(15) S0T ℎS − S = "#$ = % → ℎ

(16) T S0T ℎ +

(17) I S0I ℎI + . . . +

(18) S0I I ℎS0T +

(19) S0T ℎS0T = "#$ = % → ℎ ℎ ∙

(20) T S0T +

(21) I S0I ℎ + . . . +

(22) S0I I ℎS0I +

(23) S0T ℎS0T. = = "#$ % → ℎ = "#$

(24) T S0T +

(25) I S0I ℎ + . . . +

(26) S0I I ℎS0I +

(27) S0T ℎS0T =

(28) T ∙ S0T = O ∙ S0T . % →. Matematica. www.mimmocorrado.it. 6.

(29) O Perchè nello sviluppo della Potenza di un binomio

(30) T = U V = O 1 O O O S∙S0T. S∙S0T ∙S0I. S∙S0T ∙S0I ∙ ∙ ∙ S0W.T. Mentre

(31) I = U V =

(32) L = U V = . . .

(33) W = U V = I T∙I∙L W! 2 3 F Teorema. La derivata della funzione ;< = < Y è ;′< = Y < Y0G con Z ∈ [ e > 0 Caso particolare G. La derivata della funzione ;< = √< è ;′< = H√< H. Dimostrazione. T. = ^√ = I. ) =. ⇒. 1 T 1 T0T I = 0 I = 2 2. Teorema. La derivata della funzione ;< = _N <. è ;′< =. Dimostrazione. f ' ( x) = lim h →0. G. T 2 I. h →0. h →0. 1. ⇒. t 1 x.  = lim log e 1 +   t t →∞. 1.  1  t = lim log e 1 +   t . Teorema. La derivata della funzione ;< = _bcd < Dimostrazione Essendo log a x =. Matematica. log e x log e a. log e. ⇒. D log e x = D. 2√. .. x+h x = h. ponendo. h →0. t →∞. 1. 1. 1 x+h x+h h   hh = lim log e = lim  log e  = lim log e 1 +  h x x    x h →0. =. ∀< ∈ a. <. log e ( x + h ) − log e x f (x + h ) − f (x ) = lim = lim h h. h →0. 1. h 1 = x t. ⇒. h=. x t. 1. x 1  = log e e x = x . G. è ;′< = < _N d. ∀< ∈ a. 1 1 1 1 1 ⋅ log e x = ⋅ D log e x = ⋅ = ⋅ log a e log e a log e a log e a x x. www.mimmocorrado.it. 7.

(34) Teorema. La derivata della funzione ;< = e<. è ;′< = e<. Dimostrazione. f ' ( x) = lim h →0. f (x + h ) − f (x ) e x +h − e x = lim h h h →0. Teorema. La derivata della funzione ;< = d<. = lim h →0. ex ⋅eh − ex e h −1 = lim e x = ex h h h →0. è ;)< = d< ∙ _N d. Dimostrazione. + ℎ − .

(35) -.% −

(36)

(37) -

(38) % − 1 = "#$ = "#$ =

(39) - ∙ "O % → % → % → ℎ ℎ ℎ

(40) % − 1 "#$ = "O % → ℎ. ) = "#$ fghiℎè Teorema. La derivata della funzione ;< = klN < Dimostrazione. f ' ( x) = lim h →0. = lim h →0. e lim h →0. è ;) < = mbk <. f (x + h ) − f (x ) sen( x + h ) − sen x sen x ⋅ cos h + cos x ⋅ sen h − sen x = lim = lim = h h h h →0. h →0. cos h - 1 sen h  sen x ⋅ (cos h - 1) + cos x ⋅ sen h sen h  = lim senx ⋅ + cos x = cos x poiché lim =1  h h  h h  h →0. h →0. cos 2 h - 1 cos h - 1 − sen 2 h sen h sen h 0 = lim = lim = lim − ⋅ =− 1 ⋅ = 0 h ⋅ (cos h + 1) h h ⋅ (cos h + 1) h cos h + 1 2 h →0. Teorema. La derivata della funzione ;< = nop < Dimostrazione. f ' ( x) = lim h →0. = lim h →0. h →0. h →0. è ;) < = − pqr <. f (x + h ) − f (x ) cos ( x + h ) − cos x cos x ⋅ cos h − sen x ⋅ sen h − cos x = lim = lim = h h h h →0. h →0. cos x ⋅ (cos h - 1) − sen x ⋅ sen h cos h - 1 sen h   = lim cosx ⋅ − sen x = - sen x h h  h  h →0. Teorema. La derivata della funzione ;< = dN < Dimostrazione D tg x = D. Matematica. G. è ;) < = mbkH <. s. ∀< ≠ H + Es. cos x ⋅ cos x − (− sen x ) ⋅ sen x 1 sen x cos 2 x + sen 2 x = = = cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 x. www.mimmocorrado.it. 8.

(41) TEOREMI SULLE DERIVATE. Derivata della somma. D. [ f (x). + g (x) ] = f I (x) + g I (x). Dimostrazione D[ f ( x ) + g( x )] = lim. [ f (x + h ) + g (x + h )] − [ f (x ) + g (x )]. h →0. = lim. [ f (x + h ) − f (x )] + [g (x + h ) − g (x )]. h→0. h. h. =. f (x + h ) − f (x ) g (x + h ) − g (x ) + lim = f I ( x ) + gI ( x ) h h h→0 h→0. = lim. Derivata del prodotto. D. [ f (x) ⋅. g (x) ] = f I (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g I (x). Dimostrazione D[ f ( x ) ⋅ g( x )] = lim. h→0. [ f (x + h ) ⋅ g (x + h )]− [ f (x ) ⋅ g (x )] = h. aggiungendo e sottraendo. f ( x + h ) ⋅ g( x ). f (x + h ) ⋅ g (x + h ) − f (x ) ⋅ g (x ) + f (x + h ) ⋅ g (x ) − f (x + h ) ⋅ g (x ) = h h→0. = lim. f (x + h ) ⋅ [g (x + h ) − g (x )] + g( x ) ⋅ [ f (x + h ) − f (x )] = h h→0. = lim. = lim f (x + h ) ⋅ h→0. g (x + h ) − g (x ) f (x + h ) − f (x ) + lim g (x ) ⋅ = f ( x ) ⋅ g I ( x ) + f I ( x ) ⋅ g( x ) h h h→0. Derivata del prodotto di una costante per una funzione. D. [ k ⋅ g (x) ] =. k ⋅ f I (x). Dimostrazione k ⋅ f ( x + h) − k ⋅ f ( x ) k ⋅ f ( x + h) − k ⋅ f ( x ) f ( x + h) − f ( x ) = lim = lim k ⋅ = k ⋅ f I(x) h h h h →0 h→0 h→0. D [k ⋅ f ( x )] = lim. Derivata del quoziente  f(x)  f I ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x ) D = [g ( x )] 2  g(x)  Dimostrazione. f ( x + h) f ( x ) f ( x + h ) ⋅ g( x ) − g( x + h ) ⋅ f ( x ) − f(x) g( x + h ) g( x ) g( x + h ) ⋅ g( x ) D = lim = lim = g(x) x → 0 h h x→ 0. aggiungendo e sottraendo. f ( x ) ⋅ g( x ). 1 f ( x + h ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g( x ) − g( x + h ) ⋅ f ( x ) + f ( x ) ⋅ g( x ) = g( x + h ) ⋅ g( x ) x→ 0 h. = lim. 1 f ( x + h) − f ( x ) g( x + h ) − g( x )   g( x ) ⋅ − f( x)   = h h x → 0 g( x + h ) ⋅ g( x ) . = lim. =. [. 1 g( x ) ⋅ f I ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x ) g( x ) ⋅ g( x ). Matematica. ]=. g( x ) ⋅ f I ( x ) − f ( x ) ⋅ gI ( x ). [g( x )]2. .. www.mimmocorrado.it. 9.

(42) Derivata del reciproco di una funzione 1 ′. =− I . Dimostrazione. *. Applicando la derivata del quoziente di due funzioni si ha:. *. 1 0 ∙ − 1 ∙ ′. ′. = = − I I . Derivata della funzione composta. D g [ f (x)] = g I [f(x)] ⋅ f I (x) Esempio. D ln sen x =. 1 ⋅ cos x = cotg x . sen x. Derivata della funzione inversa. D f (x) =. 1 g (y) I. DOVE. g( y ) = f −1 ( y ). Esempio. SIA y = arcsen x . LA FUNZIONE INVERSA È x = sen y D arcsen x =. Matematica. 1 1 = = D sen y cos y. 1 1 − sen y 2. =. DEFINITA IN.  π π − 2 , 2  ⇒  . 1 1 − x2. www.mimmocorrado.it. 10.

(43) T AB E L L A DE L L E PR I N CI P AL I R E G OL E DI DE R I V AZ I O NE D f( x). D g [ f (x)] = g I [f(x)] ⋅ f I (x). D COSTANTE = 0 D x n = n x n-1. D [f (x)] n = n [f (x)] n-1 • f I ( x). 1 1 =− x x2. D. D nx =. D. n p. x. D. f I (x) 1 D =− f ( x) [f ( x)]2. 1. D n f (x) =. n x n −1. =. n. p n. 1 D. 2 x. D cotg x = −. D log a x =. 1. 1. f I (x) cos 2 f ( x) f I (x) sen 2 f ( x). f I ( x) D log a x = f ( x ) ⋅ log e a. 1 x. D log e f (x) =. f I ( x) f ( x). D a x = ax ⋅ log e a. D a f (x) = a f (x) • log e a •f I (x). D e x = ex. D e f (x) = f I (x) • e f (x). 1. D arcsen x =. D arccos x = −. D arctg x =. f I ( x). D arcsen f (x) =. 1− x2. 1 − [f ( x)]2. 1. D arccos f (x) = −. 1− x2. 1 D arctg f (x) =. 1+ x2. D arccotg x = − D x x = x x • ( 1 + log e x). Matematica. 2 f (x). D cotg f (x) = −. 1 1 log a e = x x ⋅ log e a. D log e x =. f I (x). f (x) =. D tg f (x) =. = −(1 + cotg 2 x). sen 2 x. nn [f ( x)]n −p. D sen f (x) = f (x) • cos f (x) D cos f (x) = − f I (x) • sen f (x). = 1 + tg 2 x. cos 2 x. p ⋅ f I ( x). I. D sen x = cos x D cos x = − sen x D tg x =. nn f ( x) n −1. p D n [f ( x)] =. n x n −p. x=. f I (x). 1. 1 − [f ( x)]2 f I (x). 1 + [f ( x)] 2. D arccotg x = −. 1+ x2. f I (x). f I (x) 1 + [f ( x )] 2.  g (x) I  D [f (x)] g (x) = [ f (x)] g (x) ⋅  g I (x) ⋅ log e f (x) + ⋅ f (x) f (x)  . www.mimmocorrado.it. 11.

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