CAPITOLO 1

CAPITOLO 1

1.1 Approssimazione di Ottica Geometrica

Lo studio dell’interazione della radiazione elettromagnetica con gli elementi presenti nell’ambiente è stata condotta considerando il metodo di analisi della propagazione delle radiazioni ad alta frequenza che si basa sui principi dell’Ottica Geometrica (GO). Tale approssimazione è valida quando, come nel caso in esame, le dimensioni lineari degli elementi presenti nello scenario e il raggio di curvatura delle superfici non piane sono molto maggiori della lunghezza d’onda della radiazione. In questo caso è possibile, quindi, schematizzare la radiazione e.m. emessa dalla sorgente trasmittente tramite dei raggi. Questa rappresentazione semplificata e funzionale consente di applicare le leggi note per le onde piane e quelle valide in casi di riflessione su una superficie di incidenza piana. Si ipotizza, inoltre, una analisi in campo lontano, con l’antenna trasmittente sufficientemente distante dall’interfaccia di riflessione.

La tecnica ivi utilizzata per il calcolo del contributo di campo riflesso da una superficie piana liscia prevede l’applicazione del Metodo delle Immagini e l’utilizzo dei coefficienti di riflessione di Fresnel invece delle espressioni generali di Ottica Geometrica. Questa scelta è resa possibile dal fatto che la Teoria delle Immagini deriva dall’applicazione delle leggi di GO nel caso di riflessione di onde piane su superfici piane lisce. In questo lavoro si ipotizza siano soddisfatte le condizioni di propagazione di onda piana, in campo lontano, e che le superfici di incidenza possano essere considerate non rugose. In base a tali assunzioni, si evince che è possibile, in questo caso, utilizzare indistintamente sia i metodi di analisi basati sull’ Ottica Geometrica sia quelli che considerano il Metodo delle Immagini poiché convergeranno alle medesime soluzioni. In questo lavoro di tesi, lo studio della propagazione sarà condotto applicando il Metodo delle Immagini, poiché permette una trattazione in cui l’onere computazionale è minore [10].

La Figura 1.1 mostra la situazione di un’onda piana incidente su di una superficie liscia in un punto P. Quando il raggio che rappresenta la radiazione incide sulla superficie, parte dell’energia ad

esso associata viene trasmessa oltre l’ostacolo e parte viene invece riflessa in direzione tale da rispettare le leggi dell’ottica. In questo caso si trascura il contributo legato alla radiazione trasmessa

oltre la superficie di incidenza, concentrando l’attenzione esclusivamente sul fenomeno della riflessione. Come precedentemente osservato, nello studio della propagazione della radiazione si fa uso del Metodo delle Immagini, di seguito esposto.

Il punto S rappresenta la posizione nella quale si trova il centro di fase dell’antenna

trasmittente ed in esso è collocata l’origine del sistema di coordinate relativo all’antenna stessa. In prossimità dell’elemento radiante è presente un’interfaccia piana, sulla quale il raggio incidente viene riflesso nel punto P. In Figura 1.1 viene indicata la posizione del trasmettitore immagine I rispetto alla reale antenna trasmittente posta in S. La coordinata I è funzionale all’individuazione

del percorso di propagazione dell’energia riflessa. Il punto di osservazione O individua le

coordinate in cui è valutato il contributo di radiazione riflessa.

L’analisi del campo irradiato nello spazio è svolta considerando un modello a facce piane (plane facets) che fornisce una descrizione geometrica dell’ambiente. Il sistema di assi di riferimento è di tipo facet-fixed (Xf, Yf, Zf) (Figura 1.2), solidale con le interfaccia di incidenza della radiazione. Da tale sistema di riferimento deriva l’altro sistema di assi che sarà usato in questa analisi ed è quello solidale alla sorgente immagine I, noto con sistema image-fixed (Xi, Yi, Zi) (Figura 1.3) [3]. Facet P (ε , σ , µ) I S O X Z Y

Figura 1.1 – Definizione del punto immagine I rispetto all’antenna

X Y Z Zf Yf Xf Antenna Facet

Figura 1.2 – Assi di riferimento facet-fixed

In Figura 1.2 sono rappresentati gli assi di riferimento facet-fixed (Xf, Yf, Zf), i quali hanno l’origine in comune con gli assi di riferimento dell’antenna trasmittente (X, Y, Z) con la sola differenza che l’asse Zf è assunto perpendicolare all’interfaccia di riflessione.

La Figura 1.3 invece mostra la posizione degli assi image-fixed definiti dalla traslazione degli assi facet-fixed. Il centro degli assi image-fixed è nel centro di fase della sorgente immagine. Si considerano questi riferimenti perché facilitano il calcolo dei campi riflessi nel caso in cui sia presente un numero elevato di punti di osservazione [4].

Facet S Zf Xf Yf Antenna S Xi Image antenna Zi Yi

1.2 Campo irradiato da un dipolo corto in presenza di un piano di riflessione

Secondo il sistema di riferimento facet-fixed il campo incidente E Pˆ ( )i valutato in un generico

punto P(rf , ϑf , φf ) appartenente alla superficie di interfaccia è dato da :

exp( ) ˆ ˆ ˆ ( ) [ ( , )_{f f}( , ) ] f i f f f f f f f j r E P E E r ϑ φ

β

ϑ φ ϑ

ϑ φ φ

β

ϑ φ

ϑ φ

dove (rf , ϑf , φf) indicano le coordinate sferiche del punto P nel sistema facet-fixed mentre Eϑ_f e

f

Eφ rappresentano le componenti di campo irradiato dall’antenna trasmittente posta in S, nello

stesso riferimento. Si noti l’uguaglianza tra i versori relativi agli assi di riferimento

i r

s s f i

u =u = − = −φ φ .

Figura 1.4 – Vettori di polarizzazione soft e hard per il raggio incidente e riflesso

In Figura 1.4 sono rappresentate le direzioni dei raggi incidente E Pˆ ( )i e riflesso E Oˆ ( )r

associati al campo elettromagnetico, rispettivamente individuate dai versori rˆfe ˆr . Sono, inoltre, i evidenziate le relative componenti in polarizzazione parallela (soft), indicate con ˆi

s

u eˆf s

u , e quelle in polarizzazione perpendicolare (hard), indicate con ˆi

h

u e ˆf h

u , entrambe espresse rispetto al piano di incidenza (facet).

1.3 Metodo delle immagini

Coerentemente con quanto affermato dal postulato di Fermat, secondo il quale, scelti due punti qualsiasi P1 e P2, la luce seguirà una geodetica cioè il percorso che minimizza il cammino ottico tra i due punti, considerando l’approssimazione di Ottica Geometrica, è possibile definire il campo riflessoEˆr( , ,rf ϑ ϕf f) nel punto di osservazione O(rf , ϑf , φf) (Figura 1.4). Tale campo è

valutato considerando un’antenna equivalente nel punto immagine I, attraverso il seguente modello

radiativo riferito, stavolta al sistema image-fixed:

i

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

dove Eˆt_i( , )ϑ ϕ indica il campo elettrico trasmesso dalla sorgente I e [i i ri, ϑi, φi ] sono le coordinate

sferiche del punto O nel sistema image-fixed. Γs( )ϑi e con Γh( )ϑi rappresentano, rispettivamente, le

componenti di polarizzazione perpendicolare (soft) e di polarizzazione parallela (hard) del coefficiente di riflessione Γ all’interfaccia.

Dall’espressione (1.2), applicando il Metodo delle Immagini, si evince che, nel punto di osservazione O, il campo riflesso Eˆr( , ,rf ϑ ϕf f) è equivalente a quello ottenuto nello stesso punto dal

campo Eˆi(ri,ϑ ϕ , irradiato dall’antenna I, il cui sistema di coordinate associato è il sistema image-i, )i

fixed. Per problemi legati a riflessioni di ordine superiore al primo si può applicare la stessa

procedura utilizzata nel caso di riflessione del primo ordine.

Ad esempio, nella valutazione del contributo di campo riflesso con contributo di riflessione del secondo ordine, la procedura è applicata considerando come elemento radiante l’immagine del reale trasmettitore.

1.4 I coefficienti di Fresnel

I coefficienti di riflessione di Fresnel nella componente di polarizzazione perpendicolare (hard) e in quella di polarizzazione parallela (soft) sono quantità complesse definite rispettivamente come: ( ) cos( ) 2₂( ) cos( ) ( ) r r h r r sen sen ε ϑ ε ϑ ϑ ε ϑ ε ϑ − − Γ = + − (1.4) ( ) cos( ) 2₂( ) cos( ) ( ) r s r sen sen ϑ ε ϑ ϑ ϑ ε ϑ − − Γ = + − (1.5)

dove ϑ indica l’angolo formato dal raggio incidente con la normale alla superficie. Quando un raggio colpisce la superficie, parte dell’energia da esso trasportata è trasmessa oltre l’ostacolo e parte è riflessa con un angolo tale da rispettare la legge di Snell:

sen( i)=sen( r) (1.6)

Gli angoli i e r sono evidenziati nella Figura 1.5 riportata di seguito.

Figura 1.5 – Angolo di incidenza i e angolo di riflessione r

r

ε

0 r jσ ε _ω ε = −_ε (1.7)

Le grandezze e rappresentano rispettivamente la costante dielettrica e la conducibilità elettrica proprie della superficie mentre 0 è la permittività dielettrica del vuoto pari a 8.8541 10-12 C2/m2N. La quantità w è la frequenza angolare relativa all’onda trasmessa e pari a w=2

π

Le equazioni (1.4) – (1.6) valgono nell’ipotesi in cui i materiali dielettrici su cui incide l’onda non siano ferromagnetici, ovvero, si considerano tutte le costanti di permeabilità magnetica relativa unitarie. Inoltre è stata introdotta una ulteriore semplificazione per la valutazione di tali coefficienti dovuta all’ipotesi che le superfici sulle quali incide l’onda abbiano spessore infinito. In tal modo riflessioni multiple dovute a discontinuità di materiale possono essere trascurate.

Il vettore di campo riflesso Er in un punto P è calcolato come prodotto tra il vettore del campo incidente Ei e la matrice di riflessione di Fresnel Γ :

E

Γ

E

Scomponendo il campo Ei secondo la componente parallela e quella perpendicolare rispetto all’interfaccia, si ricavano le corrispondenti componenti parallela e perpendicolare di Er, attraverso la relazione:

(1.9)

In definitiva, secondo l’approssimazione in Ottica Geometrica, il campo riflesso nel punto di osservazione O è rappresentato dalla seguente espressione:

ˆ ( )r h

( ) (

)

( ) (

)

(

)

dove il numero d’onda è così definito:

β

2

π

λ

=

1.5 Approssimazione a superficie riflettente liscia

0 0 r i s s s r i h h h E E E E Γ = _Γ

Una delle assunzioni necessarie per poter applicare i coefficienti di Fresnel nella presente analisi è che la superficie su cui l’onda elettromagnetica viene riflessa sia liscia. In questa situazione, le onde incidenti sono riflesse solo nella direzione speculare a quella di arrivo e tutta l’energia dell’onda è concentrata in quella direzione. Nel caso di superficie rugosa, invece, non tutta l’energia è concentrata nella direzione speculare a quella di incidenza, ma parte di essa viene diffusa in tutte le altre direzioni.

Nel caso in cui la riflessione avvenga su superfici rugose e l’analisi del campo irradiato sia condotta utilizzando ancora i coefficienti di Fresnel, come risultato finale si otterrà una sovrastima dell’ampiezza del campo elettrico riflesso effettivo.

Per il criterio di Rayleigh una superficie è considerata rugosa se la variazione tra la minima e la massima altezza h della superficie soddisfa la relazione:

8cos

h

λ

ϑ

≥ (1.12)

dove è la lunghezza d’onda associata all’onda incidente e ϑ è l’angolo di incidenza [6].

1.6 Andamento del coefficiente di riflessione nel caso di incidenza obliqua al

variare dei parametri elettrici e geometrici

Le componenti in polarizzazione parallela e in polarizzazione perpendicolare del coefficiente di riflessione sono funzioni complesse dei parametri costitutivi dei mezzi nei quali avviene la propagazione e dell’angolo di incidenza dell’onda sulle interfacce. Al variare dei parametri elettrici dello scenario, ci aspettiamo di ottenere un andamento del modulo del campo elettrico crescente, sia al crescere della conducibilità elettrica e sia al crescere della permittività dielettrica della superficie di incidenza. Questo lo si può dedurre osservando l’andamento del modulo dei coefficienti di riflessione nel caso di incidenza obliqua, in entrambe le polarizzazioni parallela e perpendicolare valutati alla frequenza di lavoro di 1.8 GHz. Attraverso i grafici riportati di seguito (Figure 1.5 - 1.12) si vuole in particolare evidenziare l’entità dell’influenza esercitata dalla e da su .

Nei grafici di Figura 1.5 -1.8 si riporta l’andamento del modulo e della fase del coefficiente di riflessione, nelle componenti di polarizzazione parallela e perpendicolare, per alcuni valori indicativi di permittività dielettrica, fissando la conducibilità elettrica a 0.001 S/m. Tali andamenti

sono espressi in funzione dell’angolo di incidenza i .Il valore di conducibilità considerato è realistico e, ad esempio, è caratteristico di un’area cittadina industriale in condizioni meteorologiche serene, alla frequenza delle microonde.

-3 .4 2 9 -2 .8 5 7 -2 .2 8 6 -1 .7 1 4 -1 .1 4 3 -0 .5 7 1 4 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 E p s R = 2 , S ig m a = 0 .0 01 S /m E p s R = 1 5 , S ig m a = 0 .00 1 S /m E p s R = 3 0 , S ig m a = 0 .00 1 S /m E p s rR = 8 0 , S ig m a = 0 .0 01 S /m P h{ ΓΓΓΓ P ar } [ R ad ] θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.5 – Andamento della fase del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione parallela al variare

dell’angolo di incidenza per valori crescenti di r con fissato.

3 .1 3 5 3 .1 3 6 3 .1 3 7 3 .1 3 8 3 .1 3 9 3 .1 4 3 .1 4 1 3 .1 4 2 -2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 E ps R = 2 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E ps R = 1 5 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E ps R = 3 0 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E ps R = 8 0 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m P h{ ΓΓΓΓ P er p } [ R ad ] θθθθIn c [D e g]

Figura 1.6 – Andamento della fase del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione perpendicolare al

variare dell’angolo di incidenza per valori crescenti di r con fissato.

Nella Figura 1.7 sono mostrati alcuni andamenti del modulo del coefficiente di riflessione in polarizzazione parallela al variare dell’angolo di incidenza. Si nota come, per ognuna di queste rappresentazioni, esista un particolare angolo di incidenza della radiazione sull’interfaccia per cui il modulo si annulla. In questa situazione non si ha riflessione nel mezzo in cui è presente la sorgente

e.m. . Questo angolo è detto angolo di Brewster. Nel Par.2.3 si analizzeranno in dettaglio le particolarità di questo fenomeno.

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 E p s R = 2 , S ig m a = 0 .0 01 S /m E p s R = 1 5 , S ig m a = 0 .00 1 S /m E p s R = 3 0 , S ig m a = 0 .00 1 S /m E p s R = 8 0 , S ig m a = 0 .00 1 S /m M od {ΓΓΓΓ P ar } θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.7 – Andamento del modulo del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione parallela al variare

dell’angolo di incidenza per valori crescenti di r con fissato.

Dalla Fig. 1.8 si nota come, in corrispondenza dell’angolo di Brewster, il modulo del coefficiente di riflessione in polarizzazione verticale (i.e. parallela) si annulla. Per angoli maggiori di tale angolo, l’andamento della funzione si modifica, invertendo la concavità e aumentando la rapidità di salita. Al contrario, l’andamento del modulo in polarizzazione orizzontale (i.e. perpendicolare), in prossimità dell’angolo di Brewster, mantiene un andamento monotono.

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 E p s R = 2 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E p s R = 1 5 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E p s R = 3 0 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m E p s R = 8 0 , S ig m a = 0 .0 0 1 S /m M od {ΓΓΓΓ P er p } θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.8 – Andamento del modulo del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione perpendicolare al

Di seguito si riportano anche i grafici relativi all’andamento del modulo e della fase di , nelle due componenti di polarizzazione, per alcuni valori significativi di conducibilità elettrica, fissando la permittività dielettrica relativa a 10 (Figure 1.9 - 1.12). Tale quantità è un possibile valore in scenari urbani industriali, alle frequenze delle microonde.

-3 -2 -1 0 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 S ig m a = 1 0 e xp -6 S /m , E p sR = 1 0 S ig m a = 0 .0 0 1 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 0 S /m , E p sR = 10 S ig m a = 1 0 e xp + 5 S /m , E p sR = 1 0 P h{ΓΓΓΓ P ar } [R ad ] θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.9 – Andamento della fase del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione parallela al variare

dell’angolo di incidenza per valori crescenti di con r fissato.

3 .0 9 3 .1 3 .1 1 3 .1 2 3 .1 3 3 .1 4 3 .1 5 0 2 0 4 0 6 0 8 0 S ig m a = 1 0 e x p -6 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 0 .0 0 1 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 0 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 e x p + 5 S /m , E p s R = 1 0 P h{ ΓΓΓΓ P er p } [ R ad ] θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.10 – Andamento della fase del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione perpendicolare al

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 S ig m a = 1 0 e x p -6 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 0 .0 0 1 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 0 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 e x p + 5 S /m , E p s R = 1 0 M od {ΓΓΓΓ P ar } θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.11 – Andamento del modulo del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione parallela al

variare dell’angolo di incidenza per valori crescenti di con r fissato.

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 S ig m a = 1 0 e x p -6 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 0 .0 0 1 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 0 S /m , E p s R = 1 0 S ig m a = 1 0 e x p -5 S /m , E p s R = 1 0 M od {ΓΓΓΓ P er p } θθθθIn c [D e g ]

Figura 1.12 – Andamento del modulo del coefficiente di riflessione nel caso di polarizzazione perpendicolare al