4.1 Analisi statistica del campo elettrico riflesso all’interfaccia al variare della permittività dielettrica

CAPITOLO 4

4.1 Analisi statistica del campo elettrico riflesso all’interfaccia al variare della permittività dielettrica

In questo paragrafo si concentra l’attenzione sull’andamento del campo elettrico alla superficie di incidenza al variare della permittività relativa

. Si considera uno degli ambiente di più comune interesse cioè quello caratterizzante scenari urbani, in cui abbiamo assunto come valore di conducibilità elettrica caratteristico =0.0001 S/m. Note le d.d.p. delle componenti di | | nelle due polarizzazioni, attraverso il passaggio intermedio di approssimazione di queste con opportune funzioni analitiche di tipo esponenziale, si ricavavano le corrispondenti d.d.p. associate ai campi elettrici. Tali quantità, valutate sulle superfici di riflessione sono ricavate applicando il teorema della trasformazione di variabili casuali [5]. Questa trasformazione è lecita in quanto entrambe le d.d.p. in esame sono continue e monotone. Queste considerazioni sono svolte trascurando il contributo di fase dei campi, poiché dalle simulazioni, si riscontra che la variazione delle fasi in relazione a

è trascurabile. Infatti, dallo studio delle rispettive d.d.p. , si nota come la distribuzione sia concentrata intorno al valore 180° nel caso di polarizzazione perpendicolare e nell’intorno di 0°

nel caso di polarizzazione parallela, con angoli di incidenza minori di quello di Brewster e nell’intorno di 180° per angoli maggiori.

L’espressione che permette la trasformazione di variabile dal modulo del coefficiente di riflessione in polarizzazione parallela al modulo del campo elettrico all’interfaccia nella stessa polarizzazione è riportata di seguito :

1 ( )

( )

( )

' ( )

par par

par par

par E par

par

g E

f

f E

g

− Γ

Γ =

= Γ

Γ (4.1)

L’approssimazione della d.d.p. del modulo di

è data dalla funzione esponenziale (4.2) con

coefficienti e opportuni, successivamente riportata:

( ) exp( * )

par par par

f _Γ Γ = α Γ ζ (4.2)

La relazione che lega il modulo del campo elettrico e il modulo del coefficiente di riflessione nella stessa polarizzazione è la seguente:

E R

= E z ⁱ Γ par ² + Γ E x par ^{i 2} (4.3)

dove il campo riflesso all’interfaccia è stato valutato approssimando l’onda incidente con un’onda piana (ipotesi sempre valida localmente).

Da questa formula si ricava l’espressione inversa di |

| in funzione di |E

|:

2

2 2 2 2

par par

R R

par z i x i i z x i

E E

E E E E

Γ = =

+ + (4.4)

Da notare come la relazione che lega |

| a |E

| sia di proporzionalità, motivata dalla scelta di considerare un unico raggio riflesso dalla superficie incidente e di trascurare i contributi di fase, in questo contesto statisticamente poco significativi.

Infatti, come abbiamo osservato, nell’intervallo di osservazione e per le ipotesi iniziali assunte, la fase non varia sensibilmente al variare dei valori di permittività, ma è concentrata, per ogni situazione considerata, intorno ad un solo valore. Questa caratteristica ci ha motivato a considerare sufficientemente valida l’approssimazione

=|

|. Stesse considerazioni ci hanno a spinto a trattare analogamente le grandezze in polarizzazione perpendicolare.

La derivata g’(|

|) rispetto a |

| è definita dall’espressione:

( )

(

)

(

)

' ( )

i i

z x par

i i

par z x

i i

z x par

E E

g E E

E E

+ Γ

Γ = = +

+ Γ (4.5)

Sostituendo le Eq. (4.5) – (4.2) in (4.1) otteniamo:

2 2

2 2

*exp *

( )

i i

z x

E E

par

par par par

i i

z x

E par

E E E

f E α ^ζ

+

Γ =

Γ +

= (4.6)

Analoga trattazione si può fare per la d.d.p. del modulo del campo elettrico riflesso in

polarizzazione perpendicolare in funzione della d.d.p. di |

|, ottenuta dalla trasformazione di variabili aleatorie riportata di seguitio:

1 ( )

( )

( )

' ( )

perp perp

perp perp

perp E perp

perp

g E

f E f

g −

Γ

Γ =

= Γ

Γ

(4.7)

Anche per l’analisi dell’andamento della d.d.p. di |

|, si considera la corrispondente funzione approssimante in forma chiusa definita da opportuni valori dei coefficienti e . Questi ultimi sono ricavati dalla minimizzazione del Chi-quadro nel test statistico corrispondente:

( ) exp( * )

perp

perp perp

f _Γ Γ = γ Γ δ (4.8)

La relazione che lega |E

| a |

| è indicata di seguito:

E _{R perp} = E ⁱ _{y perp} Γ ² = E ⁱ _y Γ _perp (4.9)

Da questa espressione si ricava |

| in funzione di |E

|:

_perp ^{R perp}

i y

E

Γ = E (4.10)

La relazione che lega |

| a |E

| è ancora di proporzionalità, come nel caso già considerato di componenti in polarizzazione parallela.

La derivata g’(|

|) dell’espressione |E

|=g(|

|) rispetto a (|

|) è definita dall’equazione:

g ' ( Γ _perp ) = E ⁱ _y (4.11)

Sostituendo le Eq. (4.8) – (4.11) in (4.1) otteniamo:

_{( )} ^*exp (

^* )

perp perp

perp iy

E perp i

y E

E

f E

E γ δ

Γ =

= Γ (4.12)

Con E

, E

e E

si sono indicate le componenti del campo elettrico incidente secondo il sistema di riferimento cartesiano (O,x,y,z). Le loro espressioni sono riportate di seguito:

( ( ( ) ( ) ) )

0

exp cos

i

y i i i

E E j xsen z

r β ϑ ϑ

= − + (4.13)

( ) ( ( ( ) ( ) ) )

0

cos exp cos

x

i

i i i i

E E j xsen z

r ϑ β ϑ ϑ

= − + (4.14)

( )

( ( ( ) ( ) ) )

0

exp cos

i

z i i i i

E sen E j xsen z

ϑ r β ϑ ϑ

= − − + (4.15)

Da tali espressioni si ricavano i rispettivi moduli:

0

i 0

y r

E = E (4.16)

( )

0

0 cos

x i r i

E = E ϑ (4.17)

( )

0

i 0

z i

r

E = E sen ϑ (4.18)

Con r

abbiamo indicato la distanza del trasmettitore dal punto di incidenza.

Le Equazioni (4.4) – (4.9) evidenziano come il legame tra i moduli dei coefficienti di riflessione e i moduli dei campi all’interfaccia di incidenza, nelle rispettive polarizzazioni, sia di tipo proporzionale. Tale proprietà permette di concludere che, statisticamente, entrambe queste grandezze, con le ipotesi di validità assunte, hanno lo stesso comportamento esponenziale. Le quantità che varieranno sono solo le intensità dei rispettivi moduli e l’ampiezza del loro intervallo di definizione, facilmente calcolabili una volta nota la costante di proporzionalità che le lega.

4.2 Studio statistico del campo elettrico riflesso all’interfaccia al variare della conducibilità elettrica

In questo paragrafo si riportano le valutazioni in merito all’andamento del campo elettrico alla superficie di incidenza considerando variazioni della conducibilità elettrica. Anche in questo caso, come nella precedentemente sezione, si concentra l’attenzione su uno specifico ambiente, quello caratterizzante scenari urbani, in cui abbiamo fissato come valore di permittività dielettrica

=3.

Note le d.d.p. delle componenti di | | nelle due polarizzazioni, attraverso il passaggio intermedio di approssimazione di queste con opportune funzioni analitiche definite come somme di delta e di esponenziali (Eq. 3.1), si ricavavano le corrispondenti d.d.p. associate ai campi elettrici. Tali quantità, valutate sulle superfici di riflessione sono ricavate applicando il teorema della trasformazione di variabili casuali [5]. Tale trasformazione è lecita anche in questo contesto in quanto entrambe le d.d.p. in esame sono continue e monotone a tratti, nei sottointervalli esaminati.

L’analisi attuata trascura i contributi di fase relativi ai campi, poiché dalle simulazioni, si riscontra

che la variazione delle fasi in relazione a è trascurabile. Le funzioni delta sono scalate

opportunamente nella loro ampiezza e traslate sul dominio di definizione in relazione alla

trasformazione di variabili da moduli dei coefficienti di riflessione a moduli di campi elettrici. Le

equazioni valide per le funzioni esponenziali che consentono la trasformazione di variabile dal

modulo del coefficiente di riflessione in polarizzazione parallela al modulo del campo elettrico

all’interfaccia nella stessa polarizzazione e quelle relative alla polarizzazione perpendicolare sono

ancora le Eq. 4.1 – Eq. 4.18 considerate con i relativi parametri opportunamente calcolati. Il

legame intercorrente tra i moduli dei coefficienti di riflessione e i moduli dei campi all’interfaccia

di incidenza, nelle rispettive polarizzazioni, è, quindi, di tipo proporzionale. Statisticamente, quindi,

gli andamenti dei moduli dei campi elettrici conservano lo stesso andamento esponenziale rispetto

alle d.d.p. dei , presentando variazioni rispetto a questi ultimi solo sulle intensità dei rispettivi

moduli e sull’ampiezza del loro intervallo di definizione. I parametri e relativi alle approssimazioni di E

e di E

sono facilmente calcolabili noti quelli relativi a

e

e nota la costante di proporzionalità che li lega.

4.3 Studio del campo elettrico sullo scenario

Il campo elettrico associato al raggio riflesso secondo la polarizzazione parallela in un punto Q dell’interfaccia, posto a distanza r

dal punto di riflessione P, è espresso dalla formula (4.19):

(

)

1 2

( ) ( ) exp

par par

R R

E Q = E P r r + r − j r β (4.19)

Il campo elettrico associato al raggio riflesso secondo la polarizzazione perpendicolare in un punto Q dell’interfaccia, posto a distanza r

dal punto di riflessione P è espresso dalla formula (4.20):

(

)

1 2

( ) ( ) exp

perp perp

R R

E Q E P r j r

r r β

= + − (4.20) Si è indicato con r

la distanza del punto di riflessione P dal trasmettitore e con E

il campo riflesso sulla superficie di incidenza

Focalizzando l’attenzione sullo scenario caratteristico di ambienti urbani, abbiamo analizzato il comportamento statistico del modulo del campo elettrico ricevuto ai ricevitori, in entrambe le polarizzazioni. Rimane valida l’ipotesi di analisi in campo lontano ovvero la distanza r della sorgente e.m. rispetto al punto in cui viene calcolato il campo è tale che

r 2 λ

π . Si è ipotizzato di usare come trasmettitore un dipolo a /2 verticale, alla frequenza di 1.8 GHz posto a 2 m di altezza.

In questo caso la lunghezza d’onda sarà pari a =16.67 cm, quindi /2=8.33 cm . Il diagramma di irradiazione che caratterizza tale antenna ha la seguente espressione:

cos( cos( )) ( ) 2

f ( )

sen

π ϑ

ϑ ⁼ ϑ (4.21)

L’angolo ϑ è individuato dall’angolo compreso tra la parte superiore al centro di fase del dipolo e dalla direzione del raggio di incidenza.

Per come l’antenna trasmittente è stata collocata, cioè in posizione verticale, osserviamo

come solo il campo elettrico in polarizzazione parallela presenti un valore di modulo significativo,

al contrario del contributo in polarizzazione perpendicolare dove tale quantità è, invece, trascurabile.

La superficie su cui incidono e riflettono i raggi è ipotizzata liscia, trascurando in tal modo eventuali fenomeni legati alla diffrazione. Il modello trasmissivo utilizzato è quello a due raggi, in cui sono considerati solo il raggio diretto, in visibilità ottica da trasmettitore a ricevitore, e quello riflesso dal suolo [7].

Fig.4.1 – Modello a due raggi

I ricevitori in cui si è valutato il campo elettrico totale ricevuto sono posti lungo la

perpendicolare all’antenna e all’altezza di 1.5m dal suolo. La distanza complessiva analizzata è pari

a d m, coperta da n ricevitori posti alla distanza di d

l’uno dall’altro. L’antenna trasmittente dista

dal primo ricevitore in schiera di una quantità pari a d

m.

d ^t d d ^r

T ^x

h ^r R ¹ R ² R ³ R ^n-1 R ⁿ

h ^t θ r

Fig.4.2 – Scenario della simulazione

Abbiamo osservato come considerando il campo elettrico alla superficie di riflessione oppure in un punto dello spazio dopo la riflessione non si modificano le caratteristiche statistiche della propagazione. Il motivo per cui tale proprietà è mantenuta, sebbene sia cambiato il punto in cui il campo è valutato, consiste nel constatare come queste due grandezze differiscono tra loro solo per un fattore di spreading nei moduli e a uno sfasamento, entrambi deterministici e fissati dalla distanza tra l’interfaccia e il ricevitore .

Nella valutazione del campo complessivamente giunto ai ricevitore osserviamo, inoltre, come le variazioni statistiche di cui è affetto il modulo del campo elettrico totale sono causate esclusivamente dalla componente di campo riflesso poiché la componente di campo diretto non dipende dalla conducibilità elettrica né dalla costante dielettrica relativa della superficie di incidenza. del raggio. Quest’ultimo contributo si modifica solo deterministicamente nella fase e nel modulo poiché varia solo con la distanza.

Durante questo studio è stato ipotizzato che nella costante di fase, definita come k = + α j β ,

il contributo della costante di attenuazione α sia trascurabile, ovvero non si verifichino perdite per

attenuazione α durante la propagazione. Questa condizione è realistica nella situazione in cui si

consideri propagazione in spazio libero con condizioni climatiche serene. In caso, ad esempio, di

pioggia, invece, si nota come l’attenuazione introdotta sull’ampiezza dell’onda e.m. non sia più

trascurabile e si verifichi inoltre un cambiamento della sua polarizzazione.

4.3.2 Campo elettrico al variare della permittività dielettrica relativa

In questo paragrafo abbiamo analizzato l’andamento del valore minio e del valore massimo del coefficiente di riflessione in polarizzazione parallela , al variare del punto di incidenza sulla superficie (Fig. 4.3). Conseguentemente abbiano rilevato il comportamento statistico dei valori massimi e minimi delle componenti di campo elettrico riflesso valutate sui ricevitori presenti sullo scenario (Fig. 4.4). In Fig. 4.5 abbiamo, infine, riportato gli andamenti dei moduli dei campi elettrici massimi e minimi complessivamente ricevuti ai ricevitori mentre in Fig. 4.6 sono state confrontate queste ultime grandezze con l’andamento del modulo di campo elettrico complessivo ottenuto dal simulatore Emvirnoment. Come intuibile, solo le componenti in polarizzazione parallela delle quantità in esame assumono valori significativi, poiché il trasmettitore è un dipolo corto posizionato verticalmente.

Per svolgere questa analisi abbiamo fissato il numero di ricevitori a n=600, distanziati tra loro di d

=0. 01 m,coprendo quindi una distanza complessiva d=6 m . La distanza tra trasmettitore e ricevitore è stata assunta pari a 1m, le altezze del trasmettitore e del ricevitore, come già detto, sono state considerate pari a 2m e 1.5m, rispettivamente.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1 2 3 4 5 6 7

ModG ParMax ModG ParMin

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.3 – fascia di coefficientidi riflessione massimi e minini nel caso di permittività variabile

La fascia di valori possibili del modulo del coefficiente di riflessione, ci consente, per

semplice ispezione visiva, di valutare, al variare della posizione, quale sia la possibile entità dei

contributi del campo riflesso all’interfaccia. È da notare come, per ogni punto in cui sono stati valutai i coefficienti, la d.d.p. legata al valore che assumono in fascia, è di tipo, approssimatamente, esponenziale, come dimostrato nei capitoli precedenti. Di conseguenza, anche i possibili valori di campo elettrico riflesso sulla superficie di incidenza risultano confinati tra i due andamenti di campo massimo e campo minimo. I grafici relativi a tali considerazioni sono riportati di seguito.

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

1 2 3 4 5 6 7

C ampoRiflMin C ampoRifM ax

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.4 – campi riflessi al ricevitore espressi in V/m

Le informazioni così rappresentate , relative a tali quantità, sono di immediata evidenza.

Infatti, già solo da una prima ispezione visiva, è possibile conoscere i valori che il modulo di campo riflesso può assumere al variare della distanza.

Dopo aver considerato gli andamenti delle d.d.p. dei campi riflessi all’interfaccia, abbiamo valuto i contributi di campo minimo e massimo complessivamente ricevuto su ogni ricevitore presente sullo scenario. Tali andamenti sono stati rappresentati nei grafici riportati successivamente.

Tali curve rappresentano, per ogni punto dell’ambiente in esame, i limiti superiore e inferiore di modulo di campo elettrico complessivo ricevuto ai ricevitori. Si ricorda che il campo ricevuto ai ricevitori è stato valutato come somma del contributo deterministico del raggio in visibilità ottica tra trasmettitore e ricevitore e del contributo di campo riflesso ricavato dalle considerazioni statistiche precedentemente enunciate.

.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1 2 3 4 5 6 7

CampoRicParMin CampoRicParmax

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.5 – campi totali ricevuti espressi in V/m

La fascia individuata dagli andamenti dei valori di modulo campo massimo e minimo ricevuti di Fig. 4.5 permette, già da una prima ispezione visiva, di capire entro quale limite sia contenuta l’entità dell’intensità del campo nei vari punti dello spazio. Questa analisi può, inoltre, essere utile per controllare se i limiti imposti dalle normative vigenti per il controllo dell’intensità di emissione e.m. irradiata sono rispettati o meno nella zona da noi presa in esame, sotto le condizioni di trasmissione considerate [vedi Appendice D].

Il grafico riportato successivamente contiene gli andamenti ottenuti col modello elaborato in

questo studio e, sovrapposto ad essi, l’andamento deterministico del modulo di campo elettrico

ricevuto ottenuto col simulatore EMvironment, sotto le stesse condizioni di lavoro.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1 2 3 4 5 6 7

F CampoRicParmax CampoRicParMin

Distanza al trasmetttore (m)

Fig.4.6 – campi totali ottenuti dal modello statistico sovrapposti al campo ottenuto dal simulatore (espressi in V/m)

Come si può notare dalla fig. 4.6, l’andamento relativo al campo ottenuto col simulatore (in figura 4.6 è rappresentato in nero) è contenuto nell’intervallo di valori massimi e minimi calcolati secondo la trattazione statistica condotta in questo lavoro. Questo consente di concludere che il modello statistico, in questo studio, elaborato è consistente con la realtà.

Si nota, inoltre, come, per ogni punto dello scenario considerato, i valori di campo contenuti nella fascia sono caratterizzati da una d.d.p. di verificarsi che segue, con buona approssimazione, un andamento esponenziale troncato,i cui estremi sono i valori di massimo e minimo individuati dalla fascia stessa.

4.3.2 Campo elettrico al variare della conducibilità elettrica

In questo paragrafo si conduce una trattazione sui coefficienti di riflessione e sui campi

ricevuti ai ricevitori al variare dell’angolo di incidenza sulla superficie di interfaccia, considerando

variazioni di conducibilità elettrica. L’analisi svolta è analoga a quella sviluppata nel paragrafo

precedente, in relazione alle variazioni di permittività dielettrica. Il modello considerato è, anche in

questo caso, quello mostrato in fig. 4.1 e lo scenario in studio è quello rappresentato in fig. 4.2. Le

condizioni operative di lavoro sono le stesse del caso precedente. Il contesto di analisi è ancora un

comune ambiente urbano che, realisticamente, abbiamo assunto essere caratterizzato da una

permittività dielettrica pari a 3. Si considerano le stesse ipotesi di lavoro della caso di variazioni

statistica della permittività, precedentemente analizzato.

Di seguito sono riportati i grafici relativi alla variazione dei valori minimi e massimi del modulo del coefficiente di riflessione in polarizzazione parallela al variare della posizione dei ricevitori.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5 6 7

GammaParMax GammaParMin

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.7 – fascia di coefficientidi riflessione massimi e minini nel caso di permittività variabile

La fig. 4.7 mostra come il limite superiore assumibile dal modulo di sia unitario, in ogni punto dello spazio considerato. Questo è legato alla scelta, nell’analisi svolta, di un intervallo ampio di definizione dell’esponente di il cui estremo superiore è un valore elevato, tipico di conduttori perfetti. Questo giustifica l’andamento del modulo di massimo in prossimità del valore unitario.

Successivamente si riportano i grafici relativi al solo il contributo del campo riflesso ai

ricevitori.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

1 2 3 4 5 6 7

C ampoRiflMax C ampoRiflMin

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.8 – campi riflessi al ricevitore espressi in V/m

L’andamento di Fig. 4.8 è simile a quello riscontrato in fig. 4.4 . Valgono per questo grafico le stesse considerazioni fatte per il precedente. Abbiamo poi valutato la somma massima e minima dei contributi di campo diretto e di quello riflesso al variare della posizione dei ricevitori. Gli andamenti ottenuti dall’analisi sono riportati di seguito. L’andamento in rosso è relativo al modulo del campo massimo ricevuto ai ricevitori, l’andamento in nero è relativo al modulo del campo minimo ricevuto ai ricevitori

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1 2 3 4 5 6 7

Distanza dal trasmettitore (m)

Fig.4.9 – campi totali ricevuti espressi in V/m

La fig. 4.9 evidenzia una forte similitudine con la fig. 4.5. questo è dovuto al fatto che il contributo deterministico legato al campo diretto è predominante rispetto a quello del campo riflesso, data la vicinanza dell’antenna trasmittente ai ricevitori.

La Fig. 4.10 permette un confronto tra gli andamenti dei moduli dei campi complessivamente ricevuti ai ricevitori ed ottenuti secondo questa analisi e l’andamento del modulo del campo elettrico ottenuto col il simulatore Emvironment.

L’andamento in rosso è relativo al modulo del campo massimo ricevuto ai ricevitori, l’andamento in nero è relativo al modulo del campo minimo ricevuto ai ricevitori e quello in verde è relativo al campo totale ai ricevitori ottenuto con il simulatore.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1 2 3 4 5 6 7

Distanza dal trasmettitore

Fig.4.10 – campi totali ottenuti dal modello statistico sovrapposti al campo ottenuto dal simulatore (espressi in V/m)

Si può notare come l’andamento di campo ricevuto ricavato col simulatore sia consistente coi

risultati ottenuti col modello statistico elaborato in questo lavoro di tesi.