Capitolo 5: Applicazione su opzioni europee
In questo capitolo viene descritto l' effetto della crisi di volatilità sui mercati finanziari a fine Agosto 2015, a seguito della svalutazione dello Yuan cinese datata 11 Agosto 2015, sul calcolo del Value At Risk di opzioni europee; in particolare, si effettua il calcolo di tale misura di rischio sulle VIX Options. 5.1 Opzioni considerate
Per lo svolgimento di questa applicazione sono state considerate le VIX Options, opzioni su indici di tipo europeo quotate sul Chicago Board Option Exchange, la più grande borsa valori per lo scambio di opzioni e creatore di opzioni quotate degli Stati Uniti.
5.1.1 Opzioni su indici
Sul mercato vengono scambiate diverse opzioni su indici; alcuni di questi indici descrivono i movimenti del mercato nel suo complesso, mentre altri si basano sulle performance del settore di riferimento, come, ad esempio, trasporti o telecomunicazioni. Tra le opzioni su indici negoziate nel Chicago Board Option Exchange si annoverano le opzioni europee sul Dow Jones Industrial Average (DJX), quelle sia americane che europee su Standard & Poor's 100, quelle europee su Standard & Poor's 500 e quelle europee sul VIX Index.
Queste tipologie di opzioni prevedono il regolamento in contanti, per cui, quando l' opzione call viene esercitata, il possessore riceve (S-X)*100 (un contratto d' opzione su indice è su 100 volte l' indice), mentre il writer paga ad esso tale ammontare. S corrisponde al valore dell'indice alla data di chiusura, mentre X corrisponde allo strike price. Nel caso dell' esercizio di un' opzione put, invece, il possessore di questa riceve dal writer (X-S)*100. I manager di portafoglio possono usare tali opzioni per limitare il rischio di downside, cioè il rischio
finanziario associato alle perdite.
5.1.2 VIX Index
Nel 1993 il Chicago Board Option Exchange (CBOE) ha introdotto il VIX index, originariamente programmato per misurare l' aspettativa di mercato in un arco di 30 giorni sulla volatilità dei prezzi delle opzioni sull'indice S&P 100. Nel 2003, il CBOE, in collaborazione con Goldman Sachs, ha aggiornato il VIX, che da allora si è basato sull'indice S&P 500 (SPX), l' indice di riferimento per l' equity degli Stati Uniti; il VIX dunque stima la volatilità attesa attraverso una media dei prezzi pesati di opzioni call e put su SPX su un ampio range di strike price.
Nel 2014 sono state introdotte nell' indice anche le SPX Weeklys; sono opzioni a scadenza settimanale, ad oggi disponibili su centinaia di indici, molto utilizzate nel risk management, che attualmente rappresentano un terzo di tutte le opzioni su SPX scambiate, con quasi più di 250'000'000 contratti scambiati al giorno. L' introduzione di questa tipologia di opzioni nel calcolo del VIX ha permesso a quest'ultimo di essere calcolato con delle serie di opzioni su S&P 500 che coincidono in modo più accurato con il periodo di riferimento di 30 giorni. Infatti, utilizzando opzioni su SPX con più di 23 e meno di 37 giorni alla scadenza, viene assicurato che il VIX rifletta sempre un interpolazione tra due punti della struttura a termine dell' S&P 500. Diversi investitori considerano il VIX il principale punto di riferimento a livello mondiale per capire la volatilità del mercato e le opinioni degli investitori.
L' indice Standard & Poor's 500 è un' indice pesato per la capitalizzazione di borsa di 500 titoli presi da un largo range di società, e tali titoli sono pesati per il valore totale di mercato delle azioni in circolazione; l' effetto di una variazione di prezzo di una componente di tale indice è proporzionale al valore totale dell' emissione, che corrisponde al prezzo delle azioni moltiplicato per il numero di azioni in circolazione. Queste poi sono sommate per tutti e 500 i titoli e divise per un valore base predeterminato.
Gli indici azionari, come l' S&P 500, sono calcolati utilizzando i prezzi dei titoli che li compongono; ogni indice osserva delle regole che determinano la selezione di questi ed una formula per calcolarne il valore.
Il VIX Index, invece, è un indice di volatilità costruito con opzioni, in cui il prezzo di ogni opzione riflette le aspettative del mercato sulla volatilità futura, e, in particolare, calcola la volatilità attesa in un intervallo temporale di 30 giorni dell' indice S&P 500.
Le componenti di calcolo del VIX Index sono le opzioni put e call con la scadenza più vicina (“near-term”), e quella della settimana successiva (“next-term”), nell' intervallo di più di 23 e meno di 37 giorni alla scadenza. Sono incluse le opzioni su SPX con date di scadenza fissate al terzo venerdì e le opzioni su SPX settimanali, che scadono ogni venerdì. Una volta ogni settimana le opzioni su SPX usate per calcolare l' indice passano a nuove scadenze contrattuali. Ad esempio, il secondo martedì di Ottobre il VIX Index sarebbe calcolato usando delle opzioni su SPX con scadenza a 24 (il più vicino) e 31 (la settimana successiva) giorni dopo; il giorno successivo, le opzioni su SPX che scadono 30 giorni dopo saranno le “near-term”, mentre quelle che scadono 37 giorni dopo saranno le “next-term”.
5.1.3 VIX Options
Nel 2006 il CBOE colloca sul mercato le VIX Options, opzioni che hanno come sottostante proprio l' indice di volatilità VIX; queste sono il primo prodotto basato sulla volatilità del mercato ad essere stato quotato in un mercato regolamentato dalla Securities and Exchange Commission (SEC). Sono opzioni di tipo europeo, e quindi esercitabili solo a scadenza; il CBOE Holdings sta comunque pianificando l' inserimento nel mercato di futures ed opzioni su VIX con scadenza settimanale, e ci si aspetta che le quotazioni avvengano per luglio. Gli intervalli di Strike Price minimi sono
• $ 1 quando lo Strike Price è minore di $ 200 • $ 5 quando lo Strike Price supera $ 200
La loro scadenza viene esplicitamente indicata, e solitamente corrisponde ad un Mercoledì; se tale giorno, od il Venerdì 30 giorni successivo, le contrattazioni sono chiuse perchè si tratta di un festivo, la scadenza corrisponde al giorno lavorativo subito precedente a quel Mercoledì. Tali opzioni possono avere fino a 6 scadenze settimanali e ne hanno 12 standard, cioè mensili; le 6 scadenze settimanali dovrebbero corrispondere alle 6 scadenze settimanali più vicine all'attuale data di quotazione, e le scadenze mensili non vengono conteggiate nelle 6 scadenze settimanali permesse. L' ultimo giorno di contrattazione è il giorno lavorativo precedente alla scadenza del contratto, mentre, quando viene modificata quest'ultima, l' ultimo giorno di contrattazione coincide con il giorno immediatamente precedente a quello regolarmente programmato per essere l' ultimo.
Il valore di liquidazione corrisponde ad una Special Opening Quotation (SOQ), cioè uno speciale valore calcolato sulla base dei prezzi di apertura, durante le ore in cui avvengono gli scambi di SPX, delle opzioni usate per il calcolo dell' indice alla data di liquidazione. I prezzi di apertura per ogni serie in cui non ci sono scambi corrispondono ad una media dei prezzi di domanda ed offerta. Il tempo alla scadenza utilizzato per il calcolo del SOQ deve considerare il numero effettivo di giorni e minuti fino alla scadenza per le serie di opzioni, per cui è chiaro che, ad esempio, se l' Exchange annunciasse un ritardo nella partenza delle contrattazioni, il tempo che manca alla scadenza usato deve essere ridotto. Tali serie possono essere reperite su https://cfe.cboe.com/products/vixsettleseries.aspx Il valore di liquidazione viene arrotondato al centesimo ($ 0.01) più vicino, e l' esercizio si effettua attraverso la consegna di contante il giorno lavorativo successivo alla scadenza. L' ammontare liquidato corrisponde alla differenza tra il valore di liquidazione ed il prezzo di esercizio dell' opzione, moltiplicato per $ 100.
5.2 La “crisi” cinese
In data 24 Agosto 2015, giornata definita dal giornale portavoce del partito comunista People's Daily “Il Lunedì Nero”, la borsa cinese ha registrato la sua più grande perdita da otto anni a questa parte. Il nervosismo da ciò prodotto ha oltrepassato i confini cinesi, per cui le valute dei paesi emergenti sono crollate, i prezzi delle materie prime hanno raggiunto i minimi dal 1999, l' indice giapponese NIKKEI è diminuito del 4.6%, il Dow Jones ha aperto con un ribasso di oltre 1000 punti, il DAX è sceso del 20% rispetto al suo picco, l' EUROFIRST 300 ha registrato la sua peggiore giornata dal 2009, mentre il VIX Index, una misura della paura percepita sui mercati, è salito ai massimi livelli dal 2011. Questi dati sono stati poi precursori di altri giorni caratterizzati da forte volatilità.
5.2.1 La svalutazione dello Yuan
La fonte del contagio è la Cina, in cui si è verificata, l' 11 Agosto, una sorprendente svalutazione dello Yuan, che, grazie ad una cattiva comunicazione, è stata vista come la prima mossa di una guerra di valute, creando una forte incertezza; il governo cinese ha tentato di sostenere i corsi azionari acquistando azioni per 156 miliardi di dollari, ma così facendo ha fatto diminuire il loro prezzo ancora di più. Di conseguenza, il mercato azionario ha perso più del 40% rispetto al picco di Giugno, le esportazioni sono diminuite, l' attività industriale è rallentata e si è indebolita ancora di più la valuta; il che ha comportato a sua volta un' influenza negativa sulle economie emergenti, specialmente quelle il cui modello di crescita dipende dalla domanda cinese di merce.
La caduta del mercato azionario cinese era considerata improbabile vista la situazione di inizio anno, ma comunque deve essere contestualizzata; solamente una piccola parte della ricchezza cinese, meno di un quinto, si trova sotto forma di azioni, e la borsa cinese è relativamente piccola rispetto all'economia, con un valore negoziabile pari a circa un terzo del PIL (rispetto a più del 100% di altre
economie); alcuni investitori andranno in default, avendo preso in prestito molte risorse per comprare azioni quando il periodo era positivo, ma questi rappresentano solo l' 1% degli asset totali detenuti dalle banche. La maggior parte della ricchezza viene detenuta in beni, soprattutto immobili; sono le case ed i terreni che rappresentano la grande maggioranza delle garanzie prestate nel sistema finanziario. Il futuro della Cina si basa poi sui servizi; a questo settore corrisponde una frazione di output molto maggiore rispetto a quello delle industrie, ed è in forte crescita, così come le vendite al dettaglio. Il paese presenta comunque una serie di debolezze: il carico mosso sulle rotaie è diminuito, il consumo di elettricità è anemico e la deflazione influisce sui prezzi di produzione e la crescita sarà molto minore rispetto alle previsioni del governo. Ulteriori turbolenze possono essere gestite dal governo tramite degli strumenti che la maggior parte dei paesi occidentali non può mettere in atto, come la possibilità di effettuare dei tagli ai tassi di interesse e ridurre la porzione di depositi che la banca deve indirizzare a riserva.
5.2.2 Le conseguenze su altri paesi
E' sempre presente, comunque, la paura che un rallentamento ancora più acuto sia dietro l' angolo, poiché il governo si trova a dover affrontare delle sfide economiche impegnative; questo sta infatti cercando di sviluppare delle riforme per far risollevare il paese e fargli trovare nuove fonti di crescita, come permettere alle aziende private di competere con quelle statali e promuovere leggi che diano più fiducia agli imprenditori per investire. Le agitazioni hanno però sollevato dei dubbi sulla capacità del governo di portarle avanti, visto anche l' intervento impreciso e tardivo di quest'ultimo sui mercati. In ogni caso, se la Cina modernizzasse la propria economia, ci sarebbero delle conseguenze negative per altri paesi. Infatti diversi paesi, dall'Angola all'Australia, si arricchiscono attraverso l' esportazione delle proprie risorse in Cina, così come diverse aziende, da quelle automobilistiche a quelle che operano nel settore del
lusso, guardano a questa come nuovo business. La Cina è uno dei paesi che contribuisce maggiormente alla crescita economica mondiale.
Con il rallentamento dell' economia cinese sono stati danneggiati i paesi emergenti, come Brasile, Indonesia e Zambia.
Questi sono stati anche danneggiati anche dall' annuncio della FED dell' aumento dei tassi di interesse, il primo dal 2006; questo grazie al programma Quantitative Easing (QE), un acquisto di acquisizione destinato a rendere la politica ancora più flessibile. Infatti proprio il basso rendimento dei titoli americani ha spinto gli investitori ad investire in paesi con offerte di rendimento più elevate, cioè i paesi emergenti. La prospettiva di un aumento dei tassi di interesse americani ha frenato l' afflusso di capitali verso i paesi emergenti, ed addirittura alcune risorse apportate in questi ultimi tornano indietro. Il dollaro è a sua volta aumentato, con una media ponderata del 17% rispetto alle valute dei suoi partner commerciali rispetto ai due anni precedenti e considerevolmente di più rispetto alle valute dei paesi emergenti; di conseguenza, le aziende ed i paesi con debiti denominati in tale valuta si trovano in condizioni difficoltose.
Il Brasile si trova in difficoltà, poiché la sua valuta è diminuita di valore per più di un terzo contro il dollaro nello scorso anno, la sua banca centrale ha aumentato i tassi di interesse per contrastare l' inflazione, l' economia è in recessione e gli investimenti nell' estrazione di petrolio off-shore stanno collassando; i paesi più resistenti al riequilibrio dell' economia cinese sono Singapore, Taiwan e Sud Corea, i quali hanno un solido avanzo nelle partite correnti e sane riserve di moneta straniera, e, come importatori di materie prime, traggono vantaggio dalla diminuzione del loro prezzo. Nonostante ciò, le loro valute si sono indebolite a seguito della svalutazione dello Yuan, e delle crepe si sono iniziate ad insinuare nelle loro economie.
5.2.3 Una nuova crisi?
di capitali dai mercati di tali paesi in prospettiva di una politica monetaria americana restrittiva. L' esperienza della crisi di fine anni '90 ha fatto si che molte valute oggi abbiano un regime flessibile, e che la maggior parte dei paesi asiatici abbia elevate riserve in valuta estera ed un avanzo delle partite correnti. Inoltre i sistemi finanziari sono gestiti in modo più solido e robusto.
Sembra poco probabile anche una crisi simile a quella del 2008, poiché il sistema bancario è più sano, e sono assenti quelle differenze di prezzo degli asset rischiosi, così come le interconnessioni tra le istituzioni finanziarie più vulnerabili.
5.3 Effetti sul VIX Index
L' andamento del VIX Index dal 31 Luglio 2015 al 30 Settembre 2015 è descritto nella FIG 5.1., in cui appare chiaro lo shock verificatosi in data 24 Agosto, il cosiddetto “Lunedì Nero”; in tale data, infatti, l' indice ha presentato un prezzo di chiusura di 40.74, con un aumento percentuale del 45.34% rispetto al 21 Agosto, un qualcosa che non succedeva dall' Ottobre 2011.
FIG 5.1. VIX Index dal 31 Luglio al 31 Settembre, Fonte: Yahoo Finance
Infatti, essendo il VIX un indice sulla volatilità implicita calcolato sulla base di opzioni su S&P 500 (SPX), se il mercato è stabile, il premio delle opzioni rimane basso, mentre se la volatilità implicita aumenta, allora anche i premi crescono
facendo salire l' indice. Quindi questo indice ha andamento inverso al S&P 500, poiché una diminuzione di tale indice comporta un aumento di volatilità.
FIG 5.2. S&P 500 Index dal 31 Luglio al 31 Agosto, Fonte: Yahoo Finance
5.4 Calcolo del VaR di VIX Options
L' obiettivo di questo esercizio è la stima del Value At Risk per le VIX Options (VIX) per due diverse date, una precedente al verificarsi dello shock, il 19 Agosto 2015, ed una proprio quando si è verificato tale shock, quindi il 24 Agosto, per due diversi strike price X.
5.4.1 I dati utilizzati
Per effettuare tale stima, si necessitano dati quali il tasso di interesse free risk, la scadenza, il numero di simulazioni, una serie di prezzi per il calcolo della deviazione standard, il prezzo del sottostante dell' opzione considerata ed il suo strike price.
• Il numero di simulazioni effettuate, S, sulla base di quanto già detto nel paragrafo 3.8.2, dovrebbe essere posto pari a 100000.
Le VIX Options considerate sono
• Opzioni put con data di contrattazione al 24-08-2015 e scadenza 18-09-2015, P pari a 40.74 e prezzi di esercizio pari a X1 = 75 ed X2 = 80.
• Opzioni call con data di contrattazione al 24-08-2015 e scadenza 18-09-2015, P pari a 40.74 e prezzi di esercizio pari a X1 = 75 ed X2 = 80.
• Opzioni put con data di contrattazione al 19-08-2015 e scadenza 16-09-2015, P pari a 15.25 e prezzi di esercizio pari a X1 = 15 ed X2 = 20.
• Opzioni call con data di contrattazione al 19-08-2015 e scadenza 16-09-2015, P pari a 15.25 e prezzi di esercizio pari a X1 = 15 ed X2 = 20.
Gli strike price sulla base dei quali calcolare i Value At Risk sono stati scelti sulla base delle opzioni che hanno presentato maggior volume di contrattazione. Questi dati sono stati ottenuti attraverso il sito marketdataexpress.com:
TAB 5.1(b). Call VIX Option con data di contrattazione 19/08/2015 e scadenza 16/09/2015
TAB 5.2(b). Put VIX Option con data di contrattazione 19/08/2015 e scadenza 16/09/2015
TAB 5.3. Call/Put VIX Option con data di contrattazione 24/08/2015 e scadenza 19/09/2015 Le scadenze T di ogni opzione sono state calcolate attraverso Matlab; infatti queste erano disponibili in formato datetime (yyyy-MMM-dd), per cui è stata fatta la differenza tra la data di scadenza (EXPR_DT) e la data di contrattazione (TRADE_DT), ottenendo quindi una variabile in formato duration (hh-mm-ss); una volta fatto questo è bastato eseguire il comando T = years (T).
Date di riferimento Scadenza (T)
24-08-2015 e scadenza 18-09-2015 0.0684
19-08-2015 e scadenza 16-09-2015 0.0767
Il tasso free risk considerato è Il tasso di interesse free risk utilizzato è il daily
treasury bill rate, ottenuto dal sito treasury.gov, con scadenza a 4 settimane.
DATES 4 WEEKS BANK DISCOUNT COUPON EQ. 13 WEEKS BANK DISCOUNT COUPON EQ. 26 WEEKS BANK DISCOUNT COUPON EQ. 08/19/2015 0.05 0.05 0.05 0.05 0.22 0.22 08/20/2015 0.01 0.01 0.02 0.02 0.21 0.21 08/21/2015 0.02 0.02 0.03 0.03 0.20 0.20 08/24/2015 0.02 0.02 0.06 0.06 0.20 0.20 08/25/2015 0.04 0.04 0.07 0.07 0.19 0.19
TAB 5.5. Daily Treasury Bill Rate dal 19 al 25 Agosto 2015 Fonte:treasury.gov
E' stato scelto tale tasso poiché per il calcolo del VIX, descritto nella brochure informativa fornita dalla stessa CBOE, i due tassi free risk utilizzati sono i rendimenti dei titoli equivalenti ai Treasury Bill con scadenza più vicino alla data di scadenza delle SPX Option rilevanti. Dunque i tassi free risk applicati saranno:
VIX Options call/put con data di contrattazione al 19/08
0.05 VIX Options call/put con data di contrattazione al
24/08
0.02
TAB 5.6. Tassi free risk utilizzati per il calcolo del VaR delle opzioni
La volatilità annuale viene calcolata sulla base dei rendimenti del titolo relativi all'anno precedente la data della stima; a loro volta, i rendimenti vengono calcolati tramite i prezzi di chiusura del VIX e dell' OEX. Tali dati sono stati ottenuti presso yahoofinance.com.
Infine, l' intervallo di confidenza considerato per il calcolo del Value At Risk è lo 0.01.
5.4.2 Codice Matlab per opzioni call/put europee
Per lo sviluppo di quello relativo alle opzioni europee ci si riferisce a quanto indicato nel libro “Financial Risk Forecasting: The Theory and Practice of Forecasting Market Risk with Implementation in R and Matlab” di Jon Danielsson.
function VaREUcall = calcolovarEUcallalternative(P,P1,X,T,r,S,p)
Returns=diff(log(P)); % Calcolo Rendimenti
s2=std(Returns); % Deviazione standard
sigma=sqrt(s2*250); % Varianza annuale
PossibleReturns=randn(S,1).*sqrt(s2)+r/365-0.5*s2; % Rendimenti simulati
Psim=P1.*(exp(PossibleReturns)); % Prezzi futuri
%% Calcolo dei Rendimenti Simulati Opzione Call
f=bs(X,P1,r,sigma,T); % Prezzo analitico Call ottenuto con formula di Black and Scholes
fsim=bs(X,Psim,r,sigma,T-(1/365)); % Prezzo Call simulato
q=sort(fsim.call - f.call); % Ordine di profitti e perdite simulati
%% Calcolo dei Rendimenti Simulati Opzione Put
f=bs(X,P1,r,sigma,T); % Prezzo analitico Put ottenuto con formula di Black and Scholes
fsim=bs(X,Psim,r,sigma,T-(1/365)); % Prezzo Put simulato
q=sort(fsim.put - f.put); % Ordine di profitti e perdite simulate
%% Calcolo del VaR
VaREUput= -q(p*S); %Calcolo Value At Risk
%% Rappresentazione grafica histogram(q,30) hold on plot([-VaREUput -VaREUput],[0 1100],'r') hold off xlabel('P/L') legend('Rendimenti','Value At Risk')
%% Formula di Black and Scholes per definire il prezzo dell' opzione
function res= bs(X,P1,r,sigma,T)
d1=(log(P1/X)+(r+(sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))); d2=d1-sigma*sqrt(T);
res.call=P1.*normcdf(d1,0,1)-X*exp(-r*T).*normcdf(d2,0,1); % calcolo prezzo Call
res.put=X.*exp(-r*T).*normcdf(-d2,0,1)-P1.*normcdf(-d1,0,1); % calcolo prezzo Put
res.delta.call=normcdf(d1,0,1); % Calcolo delta per un' opzione Call
res.delta.put=res.delta.call-1; % Calcolo delta per un' opzione Put
res.gamma=normpdf(d1,0,1)./(P1*sigma*sqrt(T)); % calcolo del Gamma
end end
5.5 Risultati
Riguardo al calcolo del Value At Risk delle opzioni europee, i risultati ottenuti immettendo i dati indicati nel paragrafo 5.4.1 sono
VaR di una Call VIX Option con data di contrattazione 19/08/2015 e
scadenza 16/09
4.8525 se X = 15 4.2641 se X = 20 VaR di una Put VIX Option con data di
contrattazione 19/08/2015 e scadenza 16/09
2.5667 se X = 15 2.7571 se X = 20 VaR di una Call VIX Option con data
di contrattazione 24/08/2015 e scadenza 18/09
9.3366 se X = 75 8.8945 se X = 80 VaR di una Put VIX Option con data di
contrattazione 24/08/2015 e scadenza 18/09
13.2549 se X = 75 13.9570 se X = 80
TAB 5.11. Risultati del calcolo del VaR per opzioni europee
I quali vengono illustrati nei grafici sottostanti:
FIG 5.4. VaR per call VIX Option con X=15 ed X = 20 contrattate in data 19/08/2015
FIG 5.5. VaR per put VIX Option con X=75 ed X = 80 contrattate in data 24/08/2015
Si è effettuato un confronto tra il Value At risk, cioè la perdita di portafoglio tale che esiste una probabilità p che si verifichino perdite uguali o maggiori ad essa, di un' opzione su indice, la VIX Option, riferita a due diverse date, una precedente ed una successiva allo shock di volatilità verificatosi a fine Agosto 2015. Dai risultati ottenuti è stato evidenziato il Value At Risk aumenta a seguito dello shock di volatilità che si è verificato in tale periodo. In particolare:
• Il Value At Risk delle opzioni call calcolato in data 24 Agosto aumenta, arrivando fino al doppio rispetto a quello del 19 Agosto.
• Il Value at Risk delle opzioni put passa da 2.6 circa del 19 Agosto ad oltre 13 del 24/8.
