Poiché log ( x 5 ) - log 5 5

ANALISI MATEMATICA – Prova parziale #3 [ fila A ]

1.

Poiché log ( x 5 ) - log 5 5

1 x

log   



 

   , applicando il teorema di Lagrange alla funzione log x nell’intervallo [ 5 , 5 + x ] si deduce l’esistenza di ξ  ( 5 , 5 + x ) tale che log ( x + 5 ) – log 5 = x / ξ .

Dall’informazione su ξ si ricava infine che è _x ^x _{ 5} ^  ^{x } ₅ ^x .

2.

Scriviamo il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 = 0 e grado n = 5 per la funzione data: il coefficiente di x ⁵ fornisce f ^{( 5 )} ( 0 ) / 5!.

log ( 3 x + 7 ) = log 7 + log ( 1 + 3/7 x ) =

= ^{x o ( x )}

7 3 5 1 7 x 3 4 1 - 7 x 3 3 1 7 x

3 2 1 - 7 x 3 7

log

5 4

4 3

3 2

2

 



 



 

 

 



 



 



 

 

 



  .

Moltiplicando per 2 x ² – 3 x + 2 , il coefficiente di x ⁵ è dato da :

5 4

3

7 3 5 2 7 3 4 3 7 3 3

2 



 



 

 

 



 

 

 



 .

3.

La funzione è 2π – periodica; possiamo quindi limitarci a studiarla per x  ^{[ -}  ^,  ^] .

C.E. ( - π/2 , π/2 ) SGN sempre positiva

LIM per x  -  / 2 f ( x )    asintoto verticale

per x   / 2 f ( x )  (ad es. utilizzando Hopital) disc. eliminabile 0

DRV f ‘ ( x ) =

x 2cos

2 senx x

sen

3/2

2  

Poiché nel C.E. è -1 < senx < 1 , la derivata è negativa e dunque la funzione è decrescente.

per x   / 2 f’ ( x )  (ad es. utilizzando Hopital) punto a tangente orizzontale 0

DRV ² f “ ( x ) =

x cos 4

) sen x - 1 ( ) 2 x sen (

5/2

2 

Nel C.E. la derivata seconda è positiva e dunque la funzione è convessa.

La funzione arcsen f ( x ) è definita dove f ( x ) assume valori in [-1 , 1 ]; dunque – sempre ricordando la periodicità – in [ 0 , π/2 ]. La funzione arse conserva la decrescenza della funzione f ( x ); inoltre per x = 0 arcsen f ( x ) vale π/2 , per x = π/2 vale 0.

4.

) x ( 9 o - x 3 1 x x

1 ^{2 2}

3    

1  3 x

 1 - x

- x

 o ( x

)

) x ( 2 o - x x ) x 1 (

log   ²  ^{2 log ( 1  2x 2 )  2 x 2 - 2 x 4  o ( x 4 )}

) x ( 6 o - x x

senx ⁴

3 

 ^{sen x 2  x 2  o ( x 4 )}

) x ( 24 o x 2 x - 1

cosx  ²  ⁴  ⁴ o ( x )

3 x 2 x 2 - 1 2x

cos  ²  ⁴  ⁴

) x ( 3 o

x 16 x 4 - 1 2x

cos ⁴

2 4

2   

) x ( 2 o x x 1

e ²

x    2  e ^{- 4 x}

 1  4 x ²  8 x ⁴  o ( x ⁴ )

In definitiva : f ( x ) ≅

8 9 /3 8x

3x

4

4 



 .

ANALISI MATEMATICA – Prova parziale #3 [ fila B ]

1.

Poiché log ( x 4 ) - log 4 4

1 x

log   



 

   , applicando il teorema di Lagrange alla funzione log x nell’intervallo [ 4 , 4 + x ] si deduce l’esistenza di ξ  ( 4 , 4 + x ) tale che log ( x + 4 ) – log 4 = x / ξ .

Dall’informazione su ξ si ricava infine che è _x ^x _{ 4} ^  ^{x  x} ₄ .

2.

Scriviamo il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 = 0 e grado n = 5 per la funzione data: il coefficiente di x ⁵ fornisce f ^{( 5 )} ( 0 ) / 5!.

log ( 4 x + 3 ) = log 3 + log ( 1 + 4/3 x ) =

= x o ( x )

5 4 5 1 3 x

4 4 1 - 3 x 4 3 1 3 x

4 2 1 - 3 x 4 3

log ^{5 5}

4 5 3 4

2 3 2

 



 



 

 

 



 



 



 

 

 



  .

Moltiplicando per x – x ² - 3 , il coefficiente di x ⁵ è dato da :

5 4

3

3 4 5 3 3

4 4 1 3

4 3

- 1 



 



 

 

 



 

 

 



 .

3.

La funzione è 2π – periodica; possiamo quindi limitarci a studiarla per x  ^{[ 0 , 2}  ^] .

C.E. ( 0 , π )

SGN sempre positiva

LIM per x  0 f ( x )    asintoto verticale per x   ^- f ( x )  (ad es. utilizzando Hopital) disc. eliminabile 0

DRV f ‘ ( x ) =

x 2sen

2 cosx x

cos

3/2

2  

Poiché nel C.E. è -1 < cosx < 1 , la derivata è negativa e dunque la funzione è decrescente.

per x  0 f’ ( x )  (ad es. utilizzando Hopital) punto a tangente orizzontale 0

DRV ² f “ ( x ) =

x sen 4

) x cos 1 ( ) 2 x cos (

5/2

2  

Nel C.E. la derivata seconda è positiva e dunque la funzione è convessa.

La funzione arcsen f ( x ) è definita dove f ( x ) assume valori in [-1 , 1 ]; dunque – sempre ricordando la periodicità – in [ π/2 , π ]. La funzione arcsen conserva la decrescenza della funzione f ( x ); inoltre per x = π/2 arcsen f ( x ) vale π/2 , per x = π vale 0.

4.

) x ( 8 o - x 2 1 x x

1 ²

2 





 ^{1  2 x 2  1 - x 2 - x} ₂ ^{4  o ( x 4 )}

) x ( 2 o - x x ) x 1 (

log   ²  ² o ( x )

2 x - x - ) x - 1 (

log ²  ^{2 4}  ⁴

) x ( 3 o x x

tgx   ³  ⁴ tg (3 x ² )  3 x ²  o ( x ⁴ )

) x ( 24 o x 2 x - 1

cosx ⁴

4

2  

 o ( x )

3 x x - 1 x

cos ⁴

2 4

2   

) x ( 2 o x x 1

e ²

2

x     e ^{2 x}

 1  2 x ²  4 x ⁴  o ( x ⁴ )

In definitiva : f ( x ) ≅

3 1 - 2 / x 5

6 / x 5

4

4 

 .